2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4.1均值不等式课件新人教B版必修1:49张PPT

课件49张PPT。2.2.4　均值不等式及其应用
第1课时　均值不等式1.均值不等式(基本不等式)
(1)算术平均值与几何平均值(2)均值不等式【思考】
(1)算术平均值的实质是什么？
提示：数a，b在数轴上对应的点的中点坐标.
(2)均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.(3)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？
请举例说明.
提示：不能，如 是不成立的.2.均值不等式与最值
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.【思考】
通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？
提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”，“二定”，“三相等”.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与 成立的条件是相
同的. (　　)
(2)当a>0，b>0时a+b≥2 . (　　)
(3)当a>0，b>0时ab≤ . (　　)(4)函数y=x+ 的最小值是2. (　　)提示：(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式 成立的条件是a>0，b>0.
(2)√.均值不等式的变形公式.
(3)√.均值不等式的变形公式.
(4)×.当x<0时，x+ 是负数.2.下列不等式正确的是 (　　)
【解析】选C.因为a2>0，所以 成立.3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.?
【解析】当a2+1=2a，即(a-1)2=0时“=”成立，此时a=1.
答案：a=1类型一　对均值不等式的理解
【典例】1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒
成立的是 (　　)
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C. D. 2.不等式a+1≥2 (a>0)中等号成立的条件是(　　)
世纪金榜导学号
A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2【思维·引】利用均值不等式时需注意使用条件.【解析】1.选D.对于A项，当a=b时，应有a2+b2=2ab，
所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同
号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为
ab>0，所以 ，所以 .2.选C.因为a>0，根据均值不等式 ，当且仅
当a=b时等号成立，故a+1≥2 中等号成立当且仅当
a=1.【内化·悟】
1.使用均值不等式的前提条件是什么？
提示：a>0，b>0.
2.均值不等式中，等号成立的条件是什么？
提示：a=b【类题·通】
在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.
一正，a，b均为正数；
二定，不等式一边为定值；
三相等，不等式中的等号能取到，即a=b有解.【习练·破】
设0 ，同样由0等式可得， ，综上， .类型二　直接利用均值不等式求最值
【典例】1.设x>0，y>0，且x+y=18，则xy的最大值为
(　　)
A.80 B.77 C.81 D.822.当x>1时， 的最小值为________. 世纪金榜导
学号?【思维·引】根据已知条件，直接利用均值不等式求最值.【解析】1.选C.因为x>0，y>0，所以 ，即xy
≤ =81，当且仅当x=y=9时，(xy)max=81.2.令t= ，
因为x-1>0，所以t≥ +2=8，当且仅当x-1
= ，即x=4时，t的最小值为8.
答案：8【内化·悟】
能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？
提示：一般条件中有“和为定值”或“积为定值”，要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”.【类题·通】
利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点
1.两种类型
(1)若a+b=p(两个正数a，b的和为定值)，则当a=b时，
积ab有最大值 ，可以用均值不等式 求得.(2)若ab=S(两个正数的积为定值)，则当a=b时，和a+b
有最小值2 ，可以用均值不等式a+b≥ 求得.2.一个关注点
不论哪种情况都要注意等号取得的条件.【习练·破】
已知a>0，b>0，ab=4，m=b+ ，n=a+ ，求m+n的最小
值.【解析】因为m=b+ ，n=a+ ，
所以m+n=b+ +a+ .
由ab=4，那么b= ，所以b+ +a+
= =5，当且仅当 即a=2
时取等号.所以m+n的最小值是5.【加练·固】
已知a>0，b>0，则 的最小值是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.5【解析】选C.因为a>0，b>0，
所以
≥4 =4，当且仅当
即a=b=1时，等号成立.类型三　间接利用均值不等式求最值
角度1　“不正”问题
【典例】已知x<0，则3x+ 的最大值为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值.【解析】因为x<0，所以-x>0.
则
≤ =-12，当且仅当 =-3x，即x=-2时，
3x+ 取得最大值为-12.
答案：-12【内化·悟】
使用均值不等式的前提条件必须是所给的式子均大于0吗？
提示：当所给式子均小于0，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化.角度2　“不定”问题
【典例】(1)已知x>2，求x+ 的最小值.
(2)已知0学号【思维·引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值.【解析】(1)因为x>2，所以x-2>0，所以x+ =x-2+
+2≥ +2=4，
所以当且仅当x-2= (x>2)，
即x=3时，x+ 的最小值为4.(2)因为00，所以 x(1-2x)= ×
2x(1-2x)≤ ，
所以当且仅当2x=1-2x ，
即x= 时， x(1-2x)的最大值为 .【素养·探】
本例考查利用均值不等式求最值，突出考查了逻辑推
理与数学运算的核心素养.
若把本例(1)改为：已知x< ，
试求4x-2+ 的最大值.【解析】因为x< ，所以4x-5<0，5-4x>0.
所以4x-5+3+
=1.
当且仅当5-4x= 时等号成立，又5-4x>0，
所以5-4x=1，x=1时，4x-2+ 的最大值是1.【类题·通】
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.【习练·破】
已知x>0，求2-x- 的最大值.【解析】因为x>0，所以x+ ≥4，
所以2-x- ≤2-4=-2，
所以当且仅当x= (x>0)即x=2时，2-x- 的最大值是
-2.