2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4.2均值不等式的应用课件新人教B版必修1:36张PPT

课件36张PPT。第2课时　
均值不等式的应用　类型一　“常数代换法” 求最值
【典例】若点A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则
的最小值为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】由已知条件得到m，n的关系，构造均值不等式求最值.【解析】因为A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，
所以m+n=1，而 ≥2+2=4，
当且仅当m=n= 时取“=”，所以 的最小值为4.
答案：4【内化·悟】
“常数代换法”适合什么样的问题求解？
提示：有条件的求最值问题.【类题·通】
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.
(4)利用均值不等式求最值.【习练·破】
已知x ，y均为正数，且 =1，求x +y的最小值.【解析】x+y=(x+y)
=10+ ≥10+2 =16，
当且仅当 = 且 =1，
即x=4， y=12时取等号，所以x+y的最小值为16.【加练·固】
若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
(　　)
A. 　　　B. 　　　C.5　　　D.6【解析】选C.由x+3y=5xy，
可得 =1，
所以3x+4y=(3x+4y)·
=
≥ =5，当且仅当x=1，y= 时取等
号，故3x+4y的最小值是5.类型二　利用均值不等式证明不等式
【典例】已知a，b，c均大于0，且a+b+c=1，
世纪金榜导学号
求证： ≥9.【思维·引】将“1”换为a+b+c，转化成积为常数的特点，利用均值不等式证明.【证明】因为a，b，c均大于0且a+b+c=1，所以
≥3+2
+2+2=9.当且仅当a=b=c= 时，等号成立.【内化·悟】
结合均值不等式判断： 和 的大小关系.
提示： ≤ .【类题·通】
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.【习练·破】
已知a，b，c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥
8abc.【证明】因为a，b，c都是正数，
所以a+b≥2 >0，b+c≥2 >0，c+a≥2 >0，所
以(a+b)(b+c)(c+a)≥2 ·2 ·2 =8abc，即
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc，当且仅当a=b=c时等号成立.【加练·固】
已知a，b，c为正数，
求证： ≥3.【证明】左边=
= .
因为a，b，c为正数，
所以 ≥2(当且仅当a=b时取“=”)；
≥2(当且仅当a=c时取“=”)；
≥2(当且仅当b=c时取“=”).从而 ≥6(当且仅当a=b=c时取等号).
所以 -3≥3，
即 ≥3.类型三　均值不等式的实际应用
【典例】玩具所需成本费用为P元，且P与生产套数x的
关系为P=1 000+5x+ x2，而每套售出的价格为Q元，
其中Q(x)=a+ (a，b∈R)， 世纪金榜导学号
(1) 问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本
费用最少？(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值.(利润=销售收入-成本)【思维·引】列出每套玩具的成本费用 以及利润
x·Q(x)-P的式子，可进行求解.【解析】(1)每套玩具所需成本费用为
+5=25，当 ，即x=100时
等号成立，故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.(2)利润为x·Q(x)-P
=
= x2+(a-5)x-1 000，由题意得
解得a=25，b=30.【内化·悟】
均值不等式的实际问题中的应用的关键是什么？
提示：结合实际问题建立对应的函数关系，把实际问题中的最值问题抽象成函数的最大、最小值问题.【类题·通】
应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.【习练·破】
近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万
元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自
动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：
万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成
正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假
设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的
水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面
积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)=
(x≥0，k为常数).记y(单位：万元)为该企业安装这种
净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.(1) 试解释C(0)的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简.
(2) 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【解析】(1) C(0)表示不安装净水设备时每年缴纳的
水费为4万元.
因为C(0)= =4，所以k=1 000.
所以y=0.2x+ ×4=0.2x+ ，x≥0﹒(2) y=0.2 -1≥0.2×40-1=7.
当x+5= ，即x=15时，ymin=7，
所以当x为15平方米时，y取得最小值，最小值为7万元.