2020版新教材高中数学第三章函数3.1.1.2函数概念的综合应用课件新人教B版必修1:69张PPT

课件69张PPT。第2课时　
函数概念的综合应用1.同一个函数【思考】
函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.2.常见函数的定义域和值域【思考】
　求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域时为什么分a>0和a<0两种情况？提示：当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物
线，观察图像得值域为
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，观察
图像得值域为 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数. (　　)(2)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t不是同一个函数.
(　　)
(3)函数f(x)= +1的值域是(-∞，1)∪(1，+∞).
(　　)提示：(1)×.例如f(x)= 与g(x)= 的定义域与值
域相同，但这两个函数不是同一个函数.
(2)×.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域都是R，对
应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数.
(3)√.因为 ≠0，所以 +1≠1.2.若函数y=x2-3x的定义域为{-1，0，2，3}，则其值
域为 (　　)
A.{-2，0，4} B.{-2，0，2，4}
C. D.[0，3]【解析】选A.依题意，当x=-1时，y=4；
当x=0时，y=0；
当x=2时，y=-2；
当x=3时，y=0.
所以函数y=x2-3x的值域为{-2，0，4}.3.设函数f(x)=2x+3的值域是[-1，5]，则其定义域为_______.?
【解析】由-1≤2x+3≤5，解得-2≤x≤1，即函数定义域为[-2，1].
答案：[-2，1]类型一　判断两个函数是否是同一个函数
【典例】1.若函数f(x)=( )2与g(x)=x(x∈D)是同一
个函数，则D可以是 (　　)
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.[0，+∞) D.(-∞，0]2.判断下列各组中的两个函数是同一个函数的为
(　　)
世纪金榜导学号
(1)y1= y2=x-5.
(2)y1= (3)f(x)=x，g(x)=
(4)f(x)= F(x)=
A.(1)、(2) B.(2)、(3)
C.(4) D.(3)【思维·引】
1.根据相等函数的定义域相同求D.
2.先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.【解析】1.选C.函数f(x)的定义域为[0，+∞)，
即D=[0，+∞).2.选C.对于(1)，两个函数的定义域不同，所以不是同
一个函数；对于(2)，两个函数的定义域不同，如当
x=-1时函数y1= 无意义，但y2=
有意义，所以不是同一个函数；对于(3)，g(x)=
=|x|，两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函
数；对于(4)，f(x)= 所以两个
函数定义域相同，对应关系相同，是同一个函数.【内化·悟】
判断两个函数是否是同一个函数的步骤是什么？
提示：先分别求出两个函数的定义域，若定义域相同则考查解析式是否相同.【类题·通】
判断函数是同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否是同一函数的三个步骤.(2)两个注意点.
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示解析式无关.【习练·破】
下列各组函数中表示同一个函数的是 (　　)
A.y= 与y=x+3
B.y= 与y=x-1C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)
D.y=2x+1，x∈Z与y=2x-1，x∈Z
【解析】选C.选项A中两函数的定义域不同；选项B，D中两函数的对应关系不同.【加练·固】
判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由.
(1)f(x)=2x+1(x∈R)，g(x)=2x+1(x∈N*).
(2)f(x)=x2，g(x)=
(3)y= y=x-1.【解析】(1)对应关系一致，但定义域不同，因而不是同一个函数.
(2)定义域相同，但对应关系不一致，因而不是同一个函数.(3)y= =|x-1|，与函数y=x-1的对应关系不
一致，所以两个函数不是同一个函数.类型二　利用函数的解析式求值(式)
【典例】已知f(x)= g(x)=x2+2.
(1)求f(2)，g(2)，f(g(2))；(2)求f(g(x)).【思维·引】
(1)将x分别替换成2求出f(2)，g(2)，再求f(g(2)).
(2)将x替换成 代入化简.【解析】(1)f(2)= g(2)=22+2=6，
把g(2)=22+2=6代入f(x)=
得f(g(2))=f(6)=
(2)f(g(x))=f(x2+2)= 【内化·悟】
函数f(x)中的x只能是数字吗？
提示：可以是数字，也可以是字母、式子.【类题·通】
利用函数的解析式求值
函数解析式中的x可以是数字、字母、式子，只要将数字、字母、式子整体代入，即可化简求值，代入遵循从里向外的代入顺序.【习练·破】
设f(x)= 其中x≠0，且x≠1.则f(f(x))=______.?【解析】由f(x)= 则f(f(x))=
答案： 【加练·固】
　 　设函数f(x)=3x2-1，则f(a)-f(-a)的值是 (　　)
A. 0　　B. 3a2-1　　C. 6a2-2　　D. 6a2【解析】选A.f(a)-f(-a)
=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.类型三　求函数的值域
角度1　利用不等式的性质求值域
【典例】1.已知函数f(x)= 则f(x)的值域是(　　)2.求函数f(x)= 的值域. 世纪金榜导学号【思维·引】
1.利用不等式的性质推导 的范围或变形后利用
方程有解求值域.
2.对解析式变形后利用不等式的性质求值域.【解析】1.选C.方法一：因为x2+2≥2，所以
所以f(x)的值域为 方法二：设t是所求值域中的元素，则关于x的方程
应该有解，即x2= -2应该有解，所以 -2≥0，
即 解得0因为f(x)= 因为x≠1，所以 ≠0，所以f(x)≠5，
所以函数f(x)= 的值域为(-∞，5)∪(5，+∞).【素养·探】
利用不等式求值域时，常常用到核心素养中的数学运
算，利用解析式的变形，推导解析式的范围.
将本例2中的函数变为f(x)= 试求值域.【解析】f(x)= 的定义域为
因为f(x)=
所以f(x)≠ 所以函数的值域为 角度2　配方法求值域
【典例】求下列函数的值域 世纪金榜导学号
(1)f(x)=x2-2x+2.(2) f(x)= 【思维·引】
(1)先配方再求值域.
(2)先换元，再配方求值域.【解析】(1)函数的定义域为R，
因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，
所以函数的值域为[1，+∞).(2)因为函数有意义当且仅当x+1≥0，
即x≥-1，
故函数的定义域是[-1，+∞).
设t= 则x=t2-1(t≥0)，于是g(t)=
又因为t≥0，故g(t)≥
所以函数的值域是 【类题·通】
求函数值域的常用方法
(1)利用不等式的性质：结合定义域，利用x的变形，推导解析式的范围.
(2)利用方程有解：设值域内的元素t，用t表示x，根据x的范围求t的范围，即值域.(3)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.
(4)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确
定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+
(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常
用换元法.(5)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.【发散·拓】
　　对于形如y= 的函数，还可以把已知函
数转化为关于变量的二次方程，再利用方程有解，即
判别式非负.从而求得原函数值域的方法叫判别式法.【延伸·练】
　试用此法求函数y= 的值域.【解析】易知函数的定义域是R，
由y= 得yx2-x+y=0，
当y=0时，x=0，所以y可以为0；当y≠0时，Δ=1-4y2≥0，
所以
综上可得，所求函数的值域为 【习练·破】
(2019·天津高一检测)求下列函数的值域.
(1)f(x)= (2)y= 【解析】(1)f(x)= 的定义域为R，
x2+x+1=
所以
所以f(x)= 的值域为 (2)令t= (t≥0)，则x=1-t2，换元可得函数的解
析式：g(t)=1-t2+4t
=-(t-2)2+5，又因为t≥0，故g(t)≤5，.
所以函数的值域是(-∞，5].【加练·固】
　 　求下列函数的值域.
(1)y=
(2)y=
(3)y=3x2-x+2.【解析】(1)方法一：由x2≥0及4-x2≥0，
观察得 ∈[0，2]，
故此函数的值域为[0，2].方法二：由 x2≥0得-x2≤0，得4-x2≤4，
所以0≤ ≤2，
故此函数的值域为[0，2].(2)y=
因为 所以y≠
所以函数的值域为 (3)函数y=
值域为