2020版新教材高中数学第三章函数3.1.1.4分段函数课件新人教B版必修1:67张PPT

课件67张PPT。第4课时　
分 段 函 数1.分段函数的定义
一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.【思考】
分成两段的分段函数是两个函数吗？
提示：不是，分段函数是一个函数，只是在不同的取值范围上对应方式不一样.2.几个特殊的函数
(1)高斯取整函数
y=[x]，定义域为R，值域为Z.
(2)狄利克雷函数
D(x)= 定义域为R，值域为{0，1}.(3)常数函数
y=c，c为常数，定义域为R，值域为{c}，图像为垂直于y轴的直线.【思考】
能否用图像表示狄利克雷函数？
提示：不能，无法作出狄利克雷函数的图像.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)分段函数y= 的定义域为(-∞，1]. (　　)
(2)函数y=|x|不是分段函数. (　　)
(3)常数函数的图像是垂直于x轴的直线.　 (　　)提示：(1)×.分段函数y= 的定义域为
(-∞，1]∪[1，+∞)=R.
(2)×.函数y=|x|= 是分段函数.
(3)×.常数函数的图像是垂直于y轴的直线.2.已知函数f(x)= 则f(f(-3))的值为
________.?【解析】因为f(x)=
所以f(-3)=-3+4=1，
f(f(-3))=f(1)=1-4=-3.
答案：-33.设函数f(x)= 若f(x0)=8，则x0=______.?【解析】由题意，得(1)当x0≤2时，有 +2=8，解之
得x0=± ，而 >2不符合，所以x0=- .
(2)当x0>2时，有2x0=8，解之得x0=4.
综上所述，得x0=4或- .
答案：4或- 类型一　分段函数的图像
【典例】高斯取整函数y=[x]又称“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；称函数y=为“上取整函数”，其中表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]=1，[-1.3]=-2，<-2.3>=-2，<2.3>=3.(1)函数f(x)=，x∈[-2，2]，求
(2)试作出函数y=[x]+的图像，其中-1≤x≤1.【思维·引】
1.根据两个取整函数的定义由内向外求值.
2.先将函数的解析式分段表示，再作图.【解析】(1)函数f(x)=，x∈[-2，2]，
因为
则< >=<3>=3，
则 因为
则< >=< >=2，
则 =2.(2)当x=-1时，[-1]=-1，<-1>=-1，
此时y=[x]+=-1-1=-2，
当-1=0，
此时y=[x]+=-1+0=-1，
当x=0时，[0]=0，<0>=0，此时y=[x]+=0，
当0=1，
此时y=[x]+=0+1=1，
当x=1时，[1]=1，<1>=1，
此时y=[x]+=1+1=2，则y=[x]+= 作图：【内化·悟】
作分段函数的图像的关键是什么？
提示：确定解析式.【类题·通】
分段函数图像的作法
(1)若函数的解析式中含有如取整、取绝对值等运算符号，则分情况去掉，分段表示解析式.
(2)分段描点作图.
(3)检查图像接点处点的虚实，做到不重不漏.【习练·破】
(2019·石嘴山高一检测)已知函数f(x)=x|x-m|(x
∈R)，且f(1)=0.
(1)求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x).
(2)在如图给定的直角坐标系内作出函数f(x)的草图(不用列表).【解析】(1)因为f(1)=0，所以|m-1|=0，即m=1，
所以f(x)=x|x-1|= (2)函数图像如图：【加练·固】
　 　 已知函数f(x)=|x-1|.
(1)用分段函数的形式表示该函数.
(2)在右边所给的坐标系中画出
该函数的图像.【解析】(1)y=
(2)作图：类型二　分段函数的解析式及应用
【典例】1.设f(x)= 则f(5)的值为
(　　)
A.10 B.11 C.12 D.132.设f(x)= 则使得f(m)=1成立的m值是
(　　)
A.10 B.0，10
C.-2，0，10 D.-1，1，113.如图，定义在[-1，+∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】
1.先求f(5+6)，再求f(f(5+6)).
2.分段令f(m)=1，解方程求m.
3.第一段为一次函数，第二段为二次函数，待定系数法求解析式.【解析】1.选B.因为f(x)=
所以f(5)=f(f(11))=f(9)=f(f(15))
=f(13)=11.2.选C.当m<1时，f(m)=(m+1)2=1，
所以m=-2或m=0，
当m≥1时，f(m)= =1，所以m=10，
综上：m的取值为：-2，0，10.3.当-1≤x≤0时，设解析式为y=kx+b(k≠0)，
则 解得 所以y=x+1，
当x>0时，设解析式为y=a(x-2)2-1(a>0)，因为图像过点(4，0)，所以0=a(4-2)2-1，
解得a= 所以f(x)=
答案：f(x)= 【内化·悟】
已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？
提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定义域.【类题·通】
1.分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.分段函数求自变量值的方法
分段令f(x)等于已知的函数值，解方程求根，验证求出的根是否在该段的自变量范围内，不在范围内的舍去.3.求分段函数的解析式的方法
首先确定每一段上函数的类型，利用待定系数法求每一段上的解析式，其次写函数的解析式时，要注意图像中连接点的虚实，以确定自变量范围中端点的取舍.【习练·破】
1.已知函数f(x)= 若f(x)=5，则x的值是
(　　)
A.-2 B.2或
C.2或-2 D.2或-2或 【解析】选A.由题意，当x≤0时，f(x)=x2+1=5，得
x=±2，又x≤0，所以x=-2；当x>0时，f(x)=-2x=5，
得x= 舍去.2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________.?【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，
所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得
f(x)=
答案：f(x)= 【加练·固】
　 　已知函数f(x)= 则f(f(5))=
(　　)
A.0　　　B.-2　　　C.-1　　　D.1【解析】选C.因为5>0，将x=5代入函数解析式，得f(5)=3-5=-2，所以f(f(5))=f(-2)，
因为-2<0，将x=-2代入函数解析式，
得f(-2)=(-2)2+4×(-2)+3=-1.类型三 分段函数的综合问题
角度1　范围问题
【典例】已知f(x)= 则不等式x+(x+2)·f(x+2)
≤5的解集是世纪金榜导学号(　　)
A.[-2，1] B.(-∞，-2]
C. D. 【思维·引】
分x+2≥0，x+2<0两种情况解不等式.【解析】选D.(1)当x+2≥0，即x≥-2时，
f(x+2)=1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x+x+2≤5，
所以x≤ 即-2≤x≤ (2)当x+2<0，即x<-2时，f(x+2)=-1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x-(x+2)≤5，
即-2≤5成立，所以x<-2.
综上，不等式的解集为 【素养·探】
在分段函数求范围的过程中，常常用到核心素养中的
数学运算，通过分情况后代入解析式，解不等式求范
围.
若将本例中的条件改为“已知f(x)= ”试求不
等式的解集.【解析】(1)当x+2≥1，即x≥-1时，f(x+2)=1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x+x+2≤5，
所以x≤ 即-1≤x≤ (2)当x+2<1，即x<-1时，f(x+2)=-1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x-(x+2)≤5，
即-2≤5，所以x<-1.综上，不等式的解集为 角度2　值域问题
【典例】已知函数f(x)= 世纪金榜导学
号
(1)求 的值.
(2)画出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.【思维·引】
(1)先求 再求
(2)从左向右，图像分别为射线、抛物线、射线，分段
作出图像，观察图像的最高点、最低点，然后确定值
域.【解析】(1)
(2)由图像可知，函数的值域是(-∞，1].【类题·通】
1.已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论.
(2)然后代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出字母的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.2.分段函数的值域
(1)利用不等式的性质分段求出值域，再取各段上值域的并集，即为函数的值域.
(2)作出分段函数的图像，由图像观察函数值的取值范围.【习练·破】
1.已知f(x)= 使f(x)≥-1成立的x的取值
范围是 (　　)
A.[-4，2) B.[-4，2]
C.(0，2] D.(-4，2]【解析】选B.因为f(x)≥-1，
所以 或
所以-4≤x≤0或0答案：[6，10]【加练·固】
　 　已知f(x)=
(1)画出函数f(x)的图像.
(2)求f(x)的定义域和值域.【解析】(1)作出f(x)的图像，如图所示.(2)观察函数图像可知，函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1].