2020版新教材高中数学第三章函数3.1.2.2函数的最大值、最小值课件新人教B版必修1:72张PPT
文档属性
| 名称 | 2020版新教材高中数学第三章函数3.1.2.2函数的最大值、最小值课件新人教B版必修1:72张PPT |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-12 23:04:29 | ||
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文档简介
课件72张PPT。第2课时
函数的最大值、最小值1.函数的最值【思考】
最值点是点吗？
提示：不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量x的值.2.直线的斜率
(1)直线斜率的定义
平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当x1≠x2时，称 为直线的斜率，记作
②当x1=x2时，称直线的斜率不存在.(2)直线的斜率与函数单调性的关系
①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0.
②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.3.函数的平均变化率
(1)平均变化率的定义：若I是函数y=f(x)的定义域的
子集，对任意x1，x2∈I，且x1≠x2，
记y1=f(x1)，y2=f(x2)，
称 为函数在区间[x1，x2](x1[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率.(2)函数的平均变化率与函数的单调性【思考】
(1)为什么函数图像上任何两点确定的直线的斜率一定存在？提示：函数是定义在数集A上，因为集合元素的互异性，定义域内的任何两个自变量都不相等，即不会出现x1=x2的情况，因此函数图像上任何两点确定的直线的斜率一定存在.
(2)函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变换趋势是什么？
提示：函数图像从左向右逐渐上升.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何函数都有最大值、最小值. ( )
(2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的.
( )(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率. ( )提示：(1)×.如函数y= 既没有最大值，也没有最小
值.
(2)×.函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可
以有多个最值点.
(3)×.过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因
为根据函数的定义，一定有x1≠x2.2.过函数图像上两点A(-1，3)，B(2，3)的斜率
=________.?
【解析】
答案：03.函数f(x)=-2x+1，x∈[1，2]的最大值为________，最大值点为________.?
【解析】函数f(x)=-2x+1为减函数，故最大值为f(1)=-1，最大值点为1.
答案：-1 1类型一 利用函数的图像求最值
【典例】1.已知函数f(x)在区间[-2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为 ( )A.-3，5 B.-3，f(5)
C.-2，5 D.-2，f(5)2.已知函数f(x)= 世纪金榜导学号
(1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.
(2)由图像指出函数f(x)的最值点，求出最值.【思维·引】1.根据最值的几何意义确定最值.
2.(1)根据一次、二次函数图像的关键点作图.
(2)利用最值的几何意义确定最大、小值、最值点.【解析】1.选D.由函数f(x)的图像可知最小值点为
-2，最大值为f(5).2.(1)由题意，当x∈[-1，2]时，f(x)=-x2+3，为二次函数的一部分；
当x∈(2，5]时，f(x)=x-3，为一次函数的一部分；
所以，函数f(x)的图像如图所示：(2)由图像可知，最大值点为0，最大值为3；最小值点为2，最小值为-1.【内化·悟】
最值点与最值的意义相同吗？
提示：不同，最值点是取最值时自变量的值，而最值是函数值.【类题·通】
图像法求最值、最值点的步骤【习练·破】
已知函数f(x)= 则f(x)的最小值、最大
值点分别为________，________.?【解析】作出函数f(x)的图像(如图).由图像可知，当x=±1时，f(x)取最大值，最小值为0，故f(x)的最小值为0，最大值点为±1.
答案：0 ±1【加练·固】
已知函数f(x)= 求函数f(x)的最
大值、最小值.【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x=2时，f(x)取最大值为2；
当x= 时，f(x)取最小值为
所以f(x)的最大值为2，最小值为 类型二 函数的平均变化率与单调性、最值
【典例】已知函数f(x)= 世纪金榜导学号
(1)判断函数f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用平
均变化率证明其结论.
(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值.【思维·引】(1)根据当x变大时，y值的变化判断单调性，并用平均变化率证明.
(2)根据单调性确定在哪一点处取最大、最小值，再求最值.【解析】(1)f(x)在区间[0，+∞)上是增函数.
证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠x2，f(x2)-f(x1)=
所以 因为x1，x2∈[0，+∞)，所以(x1+1)(x2+1)>0，所以
>0，所以函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函
数f(x)在区间[2，9]上的最大值为
f(9)= 最小值为f(2)= 【内化·悟】
利用单调性求最值的关键是什么？
提示：准确确定函数的单调性.【类题·通】
利用函数的平均变化率证明单调性的步骤
(1)任取x1，x2∈D，且x1≠x2.
(2)计算f(x2)-f(x1)，
(3)根据x1，x2的范围判断 的符号，确定函数的单
调性.【习练·破】
已知函数f(x)= x∈[3，7].
(1)判断函数f(x)的单调性，并用平均变化率加以证明.
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函数f(x)在区间[3，7]内单调递减，证明
如下：
在[3，7]上任意取两个数x1和x2，且x1≠x2，
因为f(x1)= f(x2)=
所以f(x2)-f(x1)= 所以
因为x1，x2∈[3，7]，所以x1-2>0，x2-2>0，
所以 <0，函数f(x)为[3，7]上的减函数.(2)由单调函数的定义可得f(x)max=f(3)=4，f(x)min
=f(7)= 【加练·固】
设函数f(x)=2-
(1)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性并用平均变化
率加以证明.
(2)求函数f(x)在区间[2，5]上的最大值与最小值.【解析】(1)函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，下证之.设x1，x2是(0，+∞)上的任意两个实数，且x1≠x2，则f(x2)-f(x1)=
所以
因为x1，x2∈(0，+∞)，所以 >0所以函数f(x)在
(0，+∞)上为增函数.(2)由(1)可知函数f(x)在[2，5]上为增函数，
所以f(x)max=f(5)= f(x)min=f(2)= 类型三 常见的函数最值问题
角度1 不含参数的最值问题
【典例】函数f(x)=-2x2+x+1在区间[-1，1]上最小值点________，最大值为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题.【解析】函数f(x)=-2x2+x+1的对称轴为x=
函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为-1，最
大值为
答案：-1 角度2 含参数的最值问题
【典例】设a为实数，函数f(x)=x2-|x-a|+1，x∈R.
世纪金榜导学号
(1)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小
值.
(2)当0(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值.【解析】(1)当a=0，x∈[0，2]时函数f(x)=x2-x+1，
因为f(x)的图像抛物线开口向上，对称轴为x=
所以，当x= 时f(x)值最小，最小值为
当x=2时，f(x)值最大，最大值为3.(2)f(x)=
①当x≥a时，f(x)=x2-x+a+1=
因为0a，则f(x)在[a，+∞)上的最小
值为 ②当x因为0则f(x)在(-∞，a]上的最小值为
综上，f(x)的最小值为 【素养·探】
在解决含参数的最值问题时，常常用到核心素养中的逻辑思维，利用分情况讨论，分别表示不同情况下的最值.
将本例的函数改为f(x)=x2-2ax+1，试求函数在区间[0，2]上的最值.【解析】函数的对称轴为x=a，
(1)当x<0时，f(x)在区间[0，2]是增函数，
所以f(x)min=f(0)=1；
当0≤x≤2时，f(x)min=f(a)=-a2+1；当x>2时，f(x)在区间[0，2]是减函数，
所以f(x)min=f(2)=5-4a，
所以f(x)min= (2)当x≤1时，f(x)max=f(2)=5-4a；
当x>1时，f(x)max=f(0)=1，所以f(x)max= 【类题·通】
一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值.(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像
开口向上、对称轴为x=m，区间[a，b]为例，
①最小值：f(x)min= ②最大值：f(x)max=
当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨
论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.【习练·破】
1.函数f(x)=x2-3x-4在区间[0，2]上的最小值点为________，最大值为________.?【解析】函数的对称轴为x= 开口向上，
所以最小值点为 最大值为f(0)=-4.
答案： -42.已知函数f(x)=x2-x+1，求f(x)在闭区间[t，t+1]
(t∈R)上的最小值.【解析】函数f(x)=x2-x+1= 其对称轴为x=
(1)当t≥ 时，f(x)在[t，t+1]上是增函数，
所以f(x)min=f(t)=t2-t+1；(2)当t+1≤ 即t≤- 时，f(x)在[t，t+1]上是减
函数，所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1；(3)当t<上单调递减，在 上单调递增，所以f(x)min=
综上f(x)min= 【加练·固】
函数y=-x2+6x+9在区间[a，b](a以函数在[a，b]单调递增.
所以
解得 或 又因为a答案：-2 0
函数的最大值、最小值1.函数的最值【思考】
最值点是点吗？
提示：不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量x的值.2.直线的斜率
(1)直线斜率的定义
平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当x1≠x2时，称 为直线的斜率，记作
②当x1=x2时，称直线的斜率不存在.(2)直线的斜率与函数单调性的关系
①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0.
②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.3.函数的平均变化率
(1)平均变化率的定义：若I是函数y=f(x)的定义域的
子集，对任意x1，x2∈I，且x1≠x2，
记y1=f(x1)，y2=f(x2)，
称 为函数在区间[x1，x2](x1
(1)为什么函数图像上任何两点确定的直线的斜率一定存在？提示：函数是定义在数集A上，因为集合元素的互异性，定义域内的任何两个自变量都不相等，即不会出现x1=x2的情况，因此函数图像上任何两点确定的直线的斜率一定存在.
(2)函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变换趋势是什么？
提示：函数图像从左向右逐渐上升.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何函数都有最大值、最小值. ( )
(2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的.
( )(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率. ( )提示：(1)×.如函数y= 既没有最大值，也没有最小
值.
(2)×.函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可
以有多个最值点.
(3)×.过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因
为根据函数的定义，一定有x1≠x2.2.过函数图像上两点A(-1，3)，B(2，3)的斜率
=________.?
【解析】
答案：03.函数f(x)=-2x+1，x∈[1，2]的最大值为________，最大值点为________.?
【解析】函数f(x)=-2x+1为减函数，故最大值为f(1)=-1，最大值点为1.
答案：-1 1类型一 利用函数的图像求最值
【典例】1.已知函数f(x)在区间[-2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为 ( )A.-3，5 B.-3，f(5)
C.-2，5 D.-2，f(5)2.已知函数f(x)= 世纪金榜导学号
(1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.
(2)由图像指出函数f(x)的最值点，求出最值.【思维·引】1.根据最值的几何意义确定最值.
2.(1)根据一次、二次函数图像的关键点作图.
(2)利用最值的几何意义确定最大、小值、最值点.【解析】1.选D.由函数f(x)的图像可知最小值点为
-2，最大值为f(5).2.(1)由题意，当x∈[-1，2]时，f(x)=-x2+3，为二次函数的一部分；
当x∈(2，5]时，f(x)=x-3，为一次函数的一部分；
所以，函数f(x)的图像如图所示：(2)由图像可知，最大值点为0，最大值为3；最小值点为2，最小值为-1.【内化·悟】
最值点与最值的意义相同吗？
提示：不同，最值点是取最值时自变量的值，而最值是函数值.【类题·通】
图像法求最值、最值点的步骤【习练·破】
已知函数f(x)= 则f(x)的最小值、最大
值点分别为________，________.?【解析】作出函数f(x)的图像(如图).由图像可知，当x=±1时，f(x)取最大值，最小值为0，故f(x)的最小值为0，最大值点为±1.
答案：0 ±1【加练·固】
已知函数f(x)= 求函数f(x)的最
大值、最小值.【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x=2时，f(x)取最大值为2；
当x= 时，f(x)取最小值为
所以f(x)的最大值为2，最小值为 类型二 函数的平均变化率与单调性、最值
【典例】已知函数f(x)= 世纪金榜导学号
(1)判断函数f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用平
均变化率证明其结论.
(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值.【思维·引】(1)根据当x变大时，y值的变化判断单调性，并用平均变化率证明.
(2)根据单调性确定在哪一点处取最大、最小值，再求最值.【解析】(1)f(x)在区间[0，+∞)上是增函数.
证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠x2，f(x2)-f(x1)=
所以 因为x1，x2∈[0，+∞)，所以(x1+1)(x2+1)>0，所以
>0，所以函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函
数f(x)在区间[2，9]上的最大值为
f(9)= 最小值为f(2)= 【内化·悟】
利用单调性求最值的关键是什么？
提示：准确确定函数的单调性.【类题·通】
利用函数的平均变化率证明单调性的步骤
(1)任取x1，x2∈D，且x1≠x2.
(2)计算f(x2)-f(x1)，
(3)根据x1，x2的范围判断 的符号，确定函数的单
调性.【习练·破】
已知函数f(x)= x∈[3，7].
(1)判断函数f(x)的单调性，并用平均变化率加以证明.
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函数f(x)在区间[3，7]内单调递减，证明
如下：
在[3，7]上任意取两个数x1和x2，且x1≠x2，
因为f(x1)= f(x2)=
所以f(x2)-f(x1)= 所以
因为x1，x2∈[3，7]，所以x1-2>0，x2-2>0，
所以 <0，函数f(x)为[3，7]上的减函数.(2)由单调函数的定义可得f(x)max=f(3)=4，f(x)min
=f(7)= 【加练·固】
设函数f(x)=2-
(1)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性并用平均变化
率加以证明.
(2)求函数f(x)在区间[2，5]上的最大值与最小值.【解析】(1)函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，下证之.设x1，x2是(0，+∞)上的任意两个实数，且x1≠x2，则f(x2)-f(x1)=
所以
因为x1，x2∈(0，+∞)，所以 >0所以函数f(x)在
(0，+∞)上为增函数.(2)由(1)可知函数f(x)在[2，5]上为增函数，
所以f(x)max=f(5)= f(x)min=f(2)= 类型三 常见的函数最值问题
角度1 不含参数的最值问题
【典例】函数f(x)=-2x2+x+1在区间[-1，1]上最小值点________，最大值为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题.【解析】函数f(x)=-2x2+x+1的对称轴为x=
函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为-1，最
大值为
答案：-1 角度2 含参数的最值问题
【典例】设a为实数，函数f(x)=x2-|x-a|+1，x∈R.
世纪金榜导学号
(1)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小
值.
(2)当0
因为f(x)的图像抛物线开口向上，对称轴为x=
所以，当x= 时f(x)值最小，最小值为
当x=2时，f(x)值最大，最大值为3.(2)f(x)=
①当x≥a时，f(x)=x2-x+a+1=
因为0
值为 ②当x
综上，f(x)的最小值为 【素养·探】
在解决含参数的最值问题时，常常用到核心素养中的逻辑思维，利用分情况讨论，分别表示不同情况下的最值.
将本例的函数改为f(x)=x2-2ax+1，试求函数在区间[0，2]上的最值.【解析】函数的对称轴为x=a，
(1)当x<0时，f(x)在区间[0，2]是增函数，
所以f(x)min=f(0)=1；
当0≤x≤2时，f(x)min=f(a)=-a2+1；当x>2时，f(x)在区间[0，2]是减函数，
所以f(x)min=f(2)=5-4a，
所以f(x)min= (2)当x≤1时，f(x)max=f(2)=5-4a；
当x>1时，f(x)max=f(0)=1，所以f(x)max= 【类题·通】
一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值.(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像
开口向上、对称轴为x=m，区间[a，b]为例，
①最小值：f(x)min= ②最大值：f(x)max=
当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨
论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.【习练·破】
1.函数f(x)=x2-3x-4在区间[0，2]上的最小值点为________，最大值为________.?【解析】函数的对称轴为x= 开口向上，
所以最小值点为 最大值为f(0)=-4.
答案： -42.已知函数f(x)=x2-x+1，求f(x)在闭区间[t，t+1]
(t∈R)上的最小值.【解析】函数f(x)=x2-x+1= 其对称轴为x=
(1)当t≥ 时，f(x)在[t，t+1]上是增函数，
所以f(x)min=f(t)=t2-t+1；(2)当t+1≤ 即t≤- 时，f(x)在[t，t+1]上是减
函数，所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1；(3)当t<
综上f(x)min= 【加练·固】
函数y=-x2+6x+9在区间[a，b](a
所以
解得 或 又因为a