2020版新教材高中数学第三章函数3.1.3.2函数奇偶性的应用课件新人教B版必修1:51张PPT

课件51张PPT。第2课时　
函数奇偶性的应用　类型一　利用函数的奇偶性求解析式
【典例】已知f(x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f(x)=x2-2x-3，求f(x)的解析式. 世纪金榜导学号【思维·引】利用奇偶性分别求出当x=0，x<0时的解析式.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
若x<0，则-x>0，
则f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3，
又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3，
故f(x)=-x2-2x+3，所以函数f(x)= 【内化·悟】
对于奇函数，怎样处理在x=0处的解析式？
提示：考查在x=0处是否有意义，如果有则f(0)=0.【类题·通】
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x).【习练·破】
f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时f(x)=x(1+x3)，则当x<0时f(x)为 (　　)　　　　　　
A.x(1+x3) B.-x(1-x3)
C.x(1-x3) D.-x(1+x3)【解析】选C.根据题意，x<0，则-x>0，
则f(-x)=(-x)[1+(-x)3]=-x(1-x3)，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=x(1-x3).【加练·固】
　 　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-x+1.
(1)求f(0)的值.
(2)求f(x)在R上的解析式.【解析】(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(-x)=-f(x)，令x=0，得f(-0)=-f(0)，
即f(0)=0，故f(0)=0；(2)当x<0时，-x>0，f(-x)=[(-x)2-(-x)+1]=x2+x+1，
又由函数f(x)为奇函数，
则f(x)=-f(-x)=-x2-x-1，
又由f(0)=0，则f(x)= 类型二　函数奇偶性与单调性关系的应用
【典例】1.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，
x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有 <0，
则 (　　)　　　　　　　A.f (3)B.f (1)C.f (-2)D.f (3)世纪金榜导学号
A.(-3，2) B.(-2，3)
C.(-2，2) D.[-3，2]【思维·引】1.先得出函数的单调性，再利用奇偶性转化到一个单调区间上比较.
2.利用奇偶性得出函数在R上的单调性，结合图像确定2x+1的范围，从而求x的范围.【解析】1.选A.根据题意，函数f(x)为偶函数，
则f(-2)=f(2)，函数f(x)满足：对任意x1，x2∈
[0，+∞)(x1≠x2)，有 <0，则函数f(x)
在[0，+∞)上为减函数，
则f(3)则f(3)单调递增，则在(-∞，0)上是减函数，f(2x+1)-3若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么在区间[-b，-a]上的单调性是怎样的？如果函数f(x)是奇函数呢？提示：偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么在区间[-b，-a]上的单调性是减函数.若函数f(x)是奇函数，则在区间[-b，-a]上也是增函数.【类题·通】
奇偶性与单调性的关系
1.关系：
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；
(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2.应用：
(1)奇函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接得到 a，b的大小关系；
(2)偶函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑|a|，|b|的关系.【习练·破】
1.已知函数f(x)是定义在区间[-2，2]上的偶函数，
当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，如果不等式
f(1-m)A. B.[1，2]
C.(-∞，0) D.(-∞，1)【解析】选A.根据题意，函数f(x)是定义在区间
[-2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)是减函
数则f(1-m)-1≤m< ，则m的取值范围为2.已知奇函数f(x)为R的减函数，若f(3a2)+f(2a-1)
≥0，则实数a的取值范围是________.?【解析】因为奇函数f(x)为R上的减函数，
所以不等式f(3a2)+f(2a-1)≥0，
等价为f(3a2)≥-f(2a-1)=f(1-2a)，
即3a2≤1-2a，即3a2+2a-1≤0得(a+1)(3a-1)≤0，得-1≤a≤ ，
即实数a的取值范围是
答案： 【加练·固】
函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞，0]上为增函数，若f(a)≤f(3)，则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤3　　　　　　 B.a≥-3
C.a≤-3或a≥3 D.-3≤a≤3【解析】选C.根据题意，函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞，0]上为增函数，则其在[0，+∞)上是减函数，若f(a)≤f(3)，则f(|a|)≤f(3)，即|a|≥3解可得a≤-3或a≥3.类型三　函数的单调性、奇偶性的综合应用
角度1　探究函数的图像及性质
【典例】研究函数y=x- 的性质，并作出函数的图像. 世纪金榜导学号
【思维·引】按照定义域→奇偶性→单调性→图像的顺序进行探究.【解析】函数的定义域为D={x|x≠0}，从而可知
函数的图像有左右两部分.
设f(x)=x- ，则对任意x∈D都有-x∈D，
而且f(-x)=-x+
所以函数y=x- 是奇函数，函数的两部分图像关于
原点对称.任取x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，f(x2)-f(x1)=

=(x2-x1)+ =(x2-x1)+
所以 =1+ ，因为x1，x2∈(0，+∞)，
所以 >0所以函数y=x- 在(0，+∞)上是增函数.
列出部分函数值如下表所示，描点作图.再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，【素养·探】
在探究函数的图像和性质时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过探究函数的性质，进一步得到函数的图像.
将本例中的函数变为y= ，试探究函数的性质，并作出函数的图像.(参考公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))【解析】函数的定义域为D={x|x≠0}，从而可知函数的图像有左右两部分.
设f(x)= ，则对任意x∈D，都有-x∈D，
而且f(-x)= =-f(x)，所以函数y= 是奇函数，函数的两部分图像关于
原点对称.因为x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，
f(x2)-f(x1)= 所以 因为x1，x2∈(0，+∞)，
所以 <0，所以函数y= 在(0，+∞)上是减函数.列出部分函数值如下表所示，描点作图.再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，角度2　研究函数的对称性
【典例】求证二次函数f(x)=-x2+2x+3关于x=1对称. 世纪金榜导学号
【思维·引】分别计算f(1+h)，f(1-h)【证明】任取h∈R，因为f(1+h)=-(1+h)2+2(1+h)+3
=-h2+4，
f(1-h)=-(1-h)2+2(1-h)+3=-h2+4，
所以f(1+h)=f(1-h)，所以函数的图像关于x=1对称.【类题·通】
1.如何探究函数的性质及图像
主要从以下几个方面进行探究，定义域、奇偶性、单调性.如果具有奇偶性，则只探究y轴右侧的函数性质及图像，y轴左侧的可以根据奇偶性得到.2.关于函数的对称性
函数f(x)若对于任意x∈R，a是常数，
(1)关于直线x=a对称：
?f(a+x)=f(a-x)(f(2a-x)=f(x))，(2)关于点(a，b)对称：
?f(a+x)+f(a-x)=2b(f(2a-x)+f(x)=2b)，
特别地：关于点(a，0)对称，则f(a+h)=-f(a-h).【习练·破】
求证：函数f(x)= 的图像关于(-1，1)对称.【证明】任取h∈R，因为f(-1+h)=
f(-1-h)=
所以f(-1+h)+f(-1-h)=
所以函数f(x)= 的图像关于(-1，1)对称.【加练·固】
试探究函数f(x)=x|x|-2x的性质，作出图像并写出单调区间和值域.【解析】函数的定义域为R，任取x∈R，则-x∈R，
且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x
=-f(x)，
所以函数f(x)=x|x|-2x是奇函数，
当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x是二次函数，对称轴为x=1，f(1)=1-2=-1，与x轴交于(0，0)，
(2，0)，作出函数图像如图，再根据函数是奇函数
得函数的图像，如图所示：由图可知，函数的单调增区间为(-∞，-1]或
[1，+∞)，单调减区间为[-1，1]，值域为R.