2020版新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.3.2补集及综合应用课件新人教B版必修1:90张PPT
文档属性
| 名称 | 2020版新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.3.2补集及综合应用课件新人教B版必修1:90张PPT |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-12 00:00:00 | ||
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文档简介
课件90张PPT。第2课时
补集及综合应用 1.全集的概念及符号表示
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.全集通常用U表示.2.补集及其性质
(1)定义(2)性质：【思考】
?UA，A，U三者之间有什么关系？
提示：A?U，?UA?U，A∪(?UA)=U，A∩(?UA)=?.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)?UU=?，?U ?=U. ( )
(2)若A?B?U，则?UA??UB. ( )
(3)若x∈U，则x∈A或x∈?UA，二者必居其一. ( ) 提示：
(1)√.由集合补集的定义可知两个等式都成立.
(2)√.画出维恩图可知，此说法正确.(3)√.根据补集的定义可知，此说法正确.2.设集合U=R，M={x|x>2或x<0}，则?UM= ( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|0C.{x|x<0或x>2} D.{x|x≤0或x≥2}【解析】选A.如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM={x|0≤x≤2}.3.已知全集U={x|-5【解析】易知U={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，
A={0，1，2}，故?UA={-4，-3，-2，-1，3，4}.
答案：{-4，-3，-2，-1，3，4}类型一 补集的运算
【典例】1.(2018·浙江高考)已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则?UA= ( )
A.? B.{1，3}
C.{2，4，5} D.{1，2，3，4，5}2.若集合A=[-1，1)，当S分别取下列集合时，求?SA.
(1)S=R.(2)S=(-∞，2].(3)S=[-4，1].【思维·引】
1.根据补集的定义直接写出.
2.画数轴表示集合S和集合A，观察数轴结合补集的定义求出?SA.【解析】1.选C.因为全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，所以?UA={2，4，5}.2.(1)把集合A表示在数轴上如图所示.由图知?SA=(-∞，-1)∪[1，+∞).(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示.由图易知?SA=(-∞，-1)∪[1，2].(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示.由图知?SA=[-4，-1)∪{1}.【内化·悟】
借助数轴求集合的补集时要关注什么问题？
提示：(1)注意全集是什么.(2)端点的画法及取到与否.【类题·通】
求集合补集的依据及处理技巧
(1)依据：集合补集的定义.
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助维恩图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.
【习练·破】
1.若全集U={0，1，2，3}且?UA ={2}，则集合A的真子集共有 ( )
A.3个 B.5个 C.7个 D.8个【解析】选C.因为U={0，1，2，3}且?UA={2}，
所以A={0，1，3}，所以集合A的真子集共有7个.2.已知全集U=[-3，+∞)，集合A=(-3，4]，则?UA=________.?【解析】借助数轴得?UA={-3}∪(4，+∞).
答案：{-3}∪(4，+∞)【加练·固】
已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， ?UA={2，4，6}，?UB={1，4，6}，求集合B.【解析】
方法一：因为A={1，3，5，7}， ?UA={2，4，6}，
所以U={1，2，3，4，5，6，7}.
又?UB={1，4，6}，所以B={2，3，5，7}.方法二：满足题意的维恩图如图所示.由图可知B={2，3，5，7}.类型二 集合交、并、补的综合运算
角度1 借助维恩图进行集合的基本运算
【典例】1.如图所示，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩?IS D.(M∩P)∪?IS2.若设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，4，5}.世纪金榜导学号
(1)计算?UA，?UB，A∪B，A∩B.
(2)计算(?UA)∪(?UB)，(?UA)∩(?UB)，?U(A∪B)，?U(A∩B).【思维·引】
1.根据交、并、补集的定义，逐个检验.
2.进行集合的交、并、补混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算.【解析】1.选C.阴影部分是M与P的公共部分，且在S的外部.2.(1)因为U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，
B={2，4，5}，
所以?UA={3，4}，?UB={1，3}，
A∪B={1，2，4，5}，A∩B={2，5}.
(2)(?UA)∪(?UB)={1，3，4}，(?UA)∩(?UB)={3}，
?U(A∪B)={3}，?U(A∩B)={1，3，4}.【素养·探】
在集合交、并、补的综合运算问题中，经常利用核心素养中的直观想象，利用维恩图和数轴描述、分析集合的运算问题.
在本例2(2)的基础上，猜测一个一般性的结论，并利用维恩图证明.【解析】由此可猜测：(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)；
(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B).
证明如下：
用维恩图表示(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)，有用维恩图表示(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)有：角度2 借助数轴进行集合的基本运算
【典例】1.(2018·天津高考)设全集为R，集合A={x|0A.{x|0C.{x|1≤x<2} D.{x|01.先计算?RB，再计算A∩(?RB).
2.画数轴，先计算A∩B，?UA，?UB，再计算(?UA)∪B，A∩(?UB).【解析】1.选B.因为集合B={x|x≥1}，
所以?RB={x|x<1}，所以A∩(?RB)={x|0所以?UA=(-∞，-2]∪[3，4]，
?UB=(-∞，-3)∪(2，4].
A∩B=(-2，2]，
所以(?UA)∪B=(-∞，2]∪[3，4]，
A∩(?UB)=(2，3). 【类题·通】
求集合交、并、补运算的方法【习练·破】
1.全集U={x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A={1，9}，A∩B={3}，(?UA)∩(?UB)={4，6，7}，求集合A，B.【解析】方法一：根据题意作出维恩图如图所示. 由图可知A={1，3，9}，B={2，3，5，8}. 方法二：因为(?UB)∩A={1，9}，
(?UA)∩(?UB)={4，6，7}，所以?UB={1，4，6，7，9}.
又因为U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以B={2，3，5，8}.
因为(?UB)∩A={1，9}，A∩B={3}，所以A={1，3，9}. 2.已知全集U=[-1，4]，A=[-1，1]，B=(0，3]，求?UA，(?UB)∩A.【解析】因为U=[-1，4]，A=[-1，1]，
B=(0，3]，结合数轴(如图).可知?UA=(1，4]，
?UB=(3，4]∪[-1，0].结合数轴(如图).可知(?UB)∩A=[-1，0].【加练·固】已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=
{x|-1所以A∩B={x|-13}.
又P=所以(?UB)∪P= .
又?UP=
所以(A∩B)∩(?UP)
={x|-1【典例】1.已知全集U={2，0，3-a2}，P={2，a2-a-2}，
且?UP={-1}，则实数a的值为________.2.已知集合A=[2，+∞)，B=[-1，5]. 世纪金榜导学号
(1)求(?RA)∩B.
(2)若D=[1-a，1+a]，且D∪(?RB)=?RB，求实数a的取值范围.【思维·引】1.由?UP={-1}得，-1∈U，且-1?P，0∈P，列方程求a的值.
2.(1)先计算?RA，再计算(?RA)∩B.
(2)由D∪(?RB)=?RB，确定D与?RB的关系.【解析】1.因为?UP={-1}，所以-1∈U，且-1?P，0∈P.
所以 解得a=2.
经检验，a=2符合题意，故实数a的值为2.
答案：22.(1)因为集合A=[2，+∞)，B=[-1，5].
所以?RA=(-∞，2)，(?RA)∩B=[-1，2).
(2)因为D=[1-a，1+a]且D∪(?RB)=?RB，
?RB=(-∞，-1)∪(5，+∞)，所以D??RB，
当D=?时，1-a>1+a，解得a<0，成立；当D≠?时， 或 ，无解.
综上，实数a的取值范围是(-∞，0).【内化·悟】
对于含有参数的交、并、补问题，依据题目条件求出参数值后，还要注意什么问题？
提示：需将参数值代回检验，舍去不符合题意的参数值.【类题·通】
由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般借助数轴分析法求解.【发散·拓】补集思想的应用
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.【延伸·练】
已知集合A={x|x2+ax+1=0}，B={x|x2+2x-a=0}，C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围. 【解析】假设三个方程均无实根，则有
即 解得-三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有
一个集合不是空集.
则a的取值范围为【习练·破】
已知集合A=(-∞，a)，B=(-∞，1)∪(3，+∞).
若A∩(?RB)=?，求实数a的取值范围.【解析】?RB=[1，3]，利用数轴画出集合A与?RB，如图.因为A∩(?RB)=?，所以应满足a≤1，故a的取值范围是(-∞，1].【加练·固】
已知全集U=[-6，5]，M=(-3，2]，N=(0，2).
(1)求M∩(?UN).
(2)若C=[a，2a-1]且C?(?UM)，求a的取值范围.【解析】(1)全集U=[-6，5]，
M=(-3，2]，
N=(0，2)，
所以?UN=[-6，0]∪[2，5]，
所以M∩(?UN)=(-3，0]∪{2}.(2)因为C=[a，2a-1]，?UM=[-6，-3]∪(2，5]，且C?(?UM)，
当C=?时，a>2a-1，解得a<1；
当C≠?且C?(?UM)时， 或
解得2综上所述：a的取值范围是(-∞，1)∪(2，3].类型四 集合的基本运算在实际问题中的应用
【生活情境】
某校随机抽取50名学生调查对A，B两事件的态度，有
如下结果：赞成A的人数是这50名学生的 ，其余的
不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另
外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的 多1人.你能说出对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？
【转化模板】
1. ——由题意，A和B都赞成对应交集、A和B都不赞
成对应并集的补集，所以可建立集合模型求解.
2. ——设50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全
体为集合A，赞成B的学生全体为集合B.3. ——已知全集U中有50个元素，集合A中的元素个
数是全集的 ，集合B中的元素比集合A中的元素多
3个，集合A∪B相对于全集U的补集的元素个数比集合
A∩B的元素的个数的 多1人.求集合A和集合B元素的
个数.4. ——设对A，B都赞成的学生人数为x.已知赞成A
的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33， 记
50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，
赞成B的学生全体为集合B.用维恩图表示如图所示.已知对A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为 +1，
赞成A而不赞成B的人数为30-x，
赞成B而不赞成A的人数为33-x.
依题意(30-x)+(33-x)+x+ =50，解得x=21.5. ——对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有
8人.
补集及综合应用 1.全集的概念及符号表示
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.全集通常用U表示.2.补集及其性质
(1)定义(2)性质：【思考】
?UA，A，U三者之间有什么关系？
提示：A?U，?UA?U，A∪(?UA)=U，A∩(?UA)=?.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)?UU=?，?U ?=U. ( )
(2)若A?B?U，则?UA??UB. ( )
(3)若x∈U，则x∈A或x∈?UA，二者必居其一. ( ) 提示：
(1)√.由集合补集的定义可知两个等式都成立.
(2)√.画出维恩图可知，此说法正确.(3)√.根据补集的定义可知，此说法正确.2.设集合U=R，M={x|x>2或x<0}，则?UM= ( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|0
A={0，1，2}，故?UA={-4，-3，-2，-1，3，4}.
答案：{-4，-3，-2，-1，3，4}类型一 补集的运算
【典例】1.(2018·浙江高考)已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则?UA= ( )
A.? B.{1，3}
C.{2，4，5} D.{1，2，3，4，5}2.若集合A=[-1，1)，当S分别取下列集合时，求?SA.
(1)S=R.(2)S=(-∞，2].(3)S=[-4，1].【思维·引】
1.根据补集的定义直接写出.
2.画数轴表示集合S和集合A，观察数轴结合补集的定义求出?SA.【解析】1.选C.因为全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，所以?UA={2，4，5}.2.(1)把集合A表示在数轴上如图所示.由图知?SA=(-∞，-1)∪[1，+∞).(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示.由图易知?SA=(-∞，-1)∪[1，2].(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示.由图知?SA=[-4，-1)∪{1}.【内化·悟】
借助数轴求集合的补集时要关注什么问题？
提示：(1)注意全集是什么.(2)端点的画法及取到与否.【类题·通】
求集合补集的依据及处理技巧
(1)依据：集合补集的定义.
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助维恩图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.
【习练·破】
1.若全集U={0，1，2，3}且?UA ={2}，则集合A的真子集共有 ( )
A.3个 B.5个 C.7个 D.8个【解析】选C.因为U={0，1，2，3}且?UA={2}，
所以A={0，1，3}，所以集合A的真子集共有7个.2.已知全集U=[-3，+∞)，集合A=(-3，4]，则?UA=________.?【解析】借助数轴得?UA={-3}∪(4，+∞).
答案：{-3}∪(4，+∞)【加练·固】
已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， ?UA={2，4，6}，?UB={1，4，6}，求集合B.【解析】
方法一：因为A={1，3，5，7}， ?UA={2，4，6}，
所以U={1，2，3，4，5，6，7}.
又?UB={1，4，6}，所以B={2，3，5，7}.方法二：满足题意的维恩图如图所示.由图可知B={2，3，5，7}.类型二 集合交、并、补的综合运算
角度1 借助维恩图进行集合的基本运算
【典例】1.如图所示，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩?IS D.(M∩P)∪?IS2.若设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，4，5}.世纪金榜导学号
(1)计算?UA，?UB，A∪B，A∩B.
(2)计算(?UA)∪(?UB)，(?UA)∩(?UB)，?U(A∪B)，?U(A∩B).【思维·引】
1.根据交、并、补集的定义，逐个检验.
2.进行集合的交、并、补混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算.【解析】1.选C.阴影部分是M与P的公共部分，且在S的外部.2.(1)因为U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，
B={2，4，5}，
所以?UA={3，4}，?UB={1，3}，
A∪B={1，2，4，5}，A∩B={2，5}.
(2)(?UA)∪(?UB)={1，3，4}，(?UA)∩(?UB)={3}，
?U(A∪B)={3}，?U(A∩B)={1，3，4}.【素养·探】
在集合交、并、补的综合运算问题中，经常利用核心素养中的直观想象，利用维恩图和数轴描述、分析集合的运算问题.
在本例2(2)的基础上，猜测一个一般性的结论，并利用维恩图证明.【解析】由此可猜测：(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)；
(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B).
证明如下：
用维恩图表示(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)，有用维恩图表示(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)有：角度2 借助数轴进行集合的基本运算
【典例】1.(2018·天津高考)设全集为R，集合A={x|0
2.画数轴，先计算A∩B，?UA，?UB，再计算(?UA)∪B，A∩(?UB).【解析】1.选B.因为集合B={x|x≥1}，
所以?RB={x|x<1}，所以A∩(?RB)={x|0
?UB=(-∞，-3)∪(2，4].
A∩B=(-2，2]，
所以(?UA)∪B=(-∞，2]∪[3，4]，
A∩(?UB)=(2，3). 【类题·通】
求集合交、并、补运算的方法【习练·破】
1.全集U={x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A={1，9}，A∩B={3}，(?UA)∩(?UB)={4，6，7}，求集合A，B.【解析】方法一：根据题意作出维恩图如图所示. 由图可知A={1，3，9}，B={2，3，5，8}. 方法二：因为(?UB)∩A={1，9}，
(?UA)∩(?UB)={4，6，7}，所以?UB={1，4，6，7，9}.
又因为U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以B={2，3，5，8}.
因为(?UB)∩A={1，9}，A∩B={3}，所以A={1，3，9}. 2.已知全集U=[-1，4]，A=[-1，1]，B=(0，3]，求?UA，(?UB)∩A.【解析】因为U=[-1，4]，A=[-1，1]，
B=(0，3]，结合数轴(如图).可知?UA=(1，4]，
?UB=(3，4]∪[-1，0].结合数轴(如图).可知(?UB)∩A=[-1，0].【加练·固】已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=
{x|-1
又P=所以(?UB)∪P= .
又?UP=
所以(A∩B)∩(?UP)
={x|-1
且?UP={-1}，则实数a的值为________.2.已知集合A=[2，+∞)，B=[-1，5]. 世纪金榜导学号
(1)求(?RA)∩B.
(2)若D=[1-a，1+a]，且D∪(?RB)=?RB，求实数a的取值范围.【思维·引】1.由?UP={-1}得，-1∈U，且-1?P，0∈P，列方程求a的值.
2.(1)先计算?RA，再计算(?RA)∩B.
(2)由D∪(?RB)=?RB，确定D与?RB的关系.【解析】1.因为?UP={-1}，所以-1∈U，且-1?P，0∈P.
所以 解得a=2.
经检验，a=2符合题意，故实数a的值为2.
答案：22.(1)因为集合A=[2，+∞)，B=[-1，5].
所以?RA=(-∞，2)，(?RA)∩B=[-1，2).
(2)因为D=[1-a，1+a]且D∪(?RB)=?RB，
?RB=(-∞，-1)∪(5，+∞)，所以D??RB，
当D=?时，1-a>1+a，解得a<0，成立；当D≠?时， 或 ，无解.
综上，实数a的取值范围是(-∞，0).【内化·悟】
对于含有参数的交、并、补问题，依据题目条件求出参数值后，还要注意什么问题？
提示：需将参数值代回检验，舍去不符合题意的参数值.【类题·通】
由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般借助数轴分析法求解.【发散·拓】补集思想的应用
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.【延伸·练】
已知集合A={x|x2+ax+1=0}，B={x|x2+2x-a=0}，C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围. 【解析】假设三个方程均无实根，则有
即 解得-
一个集合不是空集.
则a的取值范围为【习练·破】
已知集合A=(-∞，a)，B=(-∞，1)∪(3，+∞).
若A∩(?RB)=?，求实数a的取值范围.【解析】?RB=[1，3]，利用数轴画出集合A与?RB，如图.因为A∩(?RB)=?，所以应满足a≤1，故a的取值范围是(-∞，1].【加练·固】
已知全集U=[-6，5]，M=(-3，2]，N=(0，2).
(1)求M∩(?UN).
(2)若C=[a，2a-1]且C?(?UM)，求a的取值范围.【解析】(1)全集U=[-6，5]，
M=(-3，2]，
N=(0，2)，
所以?UN=[-6，0]∪[2，5]，
所以M∩(?UN)=(-3，0]∪{2}.(2)因为C=[a，2a-1]，?UM=[-6，-3]∪(2，5]，且C?(?UM)，
当C=?时，a>2a-1，解得a<1；
当C≠?且C?(?UM)时， 或
解得2
【生活情境】
某校随机抽取50名学生调查对A，B两事件的态度，有
如下结果：赞成A的人数是这50名学生的 ，其余的
不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另
外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的 多1人.你能说出对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？
【转化模板】
1. ——由题意，A和B都赞成对应交集、A和B都不赞
成对应并集的补集，所以可建立集合模型求解.
2. ——设50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全
体为集合A，赞成B的学生全体为集合B.3. ——已知全集U中有50个元素，集合A中的元素个
数是全集的 ，集合B中的元素比集合A中的元素多
3个，集合A∪B相对于全集U的补集的元素个数比集合
A∩B的元素的个数的 多1人.求集合A和集合B元素的
个数.4. ——设对A，B都赞成的学生人数为x.已知赞成A
的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33， 记
50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，
赞成B的学生全体为集合B.用维恩图表示如图所示.已知对A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为 +1，
赞成A而不赞成B的人数为30-x，
赞成B而不赞成A的人数为33-x.
依题意(30-x)+(33-x)+x+ =50，解得x=21.5. ——对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有
8人.