2020版新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.3.2充要条件课件新人教B版必修1:62张PPT

课件62张PPT。第2课时　
充 要 条 件　1.充要条件【思考】
符号“?”的含义是什么？
提示：“?”表示“等价”，如“A与B等价”指的是“如果A，那么B”，同时有“如果B，那么A”，或者说“从A推出B”，同时可“从B推出A”.2.充分性、必要性的其他情况【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当
p成立. (　　)
(2)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的
充要条件. (　　)(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件. (　　)提示：(1)√.当p是q的充要条件时，p?q，且q?p，
故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确.
(2)√.若p q或q p，则p不是q的充分条件，
或p不是q的必要条件，故此说法正确.
(3)√.因为p?q，q?r，所以p?r，所以p是r的充
要条件.2.“a+b<0”是“a<0，b<0”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a与b异号且负数绝对值大时，也有
a+b<0，所以“a+b<0” “a<0，b<0”，
显然“a<0，b<0”?“a+b<0”，所以“a+b<0”
是“a<0，b<0”的必要不充分条件.3.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是 (　　)　　　　　　　　　　
A.x<0，y<0 B.x<0，y>0
C.x>0，y>0 D.x>0，y<0
【解析】选B.第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0.类型一　充分条件和必要条件的综合判断
【典例】1.“b2=ac”是“ = 成立”的(　　)
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件2.下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？ 世纪金榜导学号
(1)p：x≠0，q：x+|x|>0.
(2)p：a>0，q：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解.(3)p：ab>0，a，b∈R，q：|a+b|=|a|+|b|.
(4)p：c=0，q：y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点.【思维·引】1.依据等式两边同乘以非零实数，等式仍成立判断.
2.依据“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”的定义判断.【解析】1.选C.b2=ac = ，如b=0，c=0时，b2=ac，而 ， 无意义.但 = ?b2=ac，
所以“b2=ac”是“ = ”的必要不充分条件.2.(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0，如x=-1≠0，
但是x+|x|=0，所以p q，
由x+|x|>0可得x>0，可推出x≠0，所以q?p，
所以p是q的必要不充分条件.(2)当a>0时，关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一
解x=- ，所以p?q，
若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，
推不出a>0，所以q p，
所以p是q的充分不必要条件.(3)当ab>0时，|a+b|=|a|+|b|成立，所以p?q，因为a=0时，也有|a+b|=|a|+|b|，
所以q p，所以p是q的充分不必要条件.(4)当c=0时，函数y=ax2+bx的图象经过原点；
当y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点时，
0=a×02+b×0+c，所以c=0，
所以p?q，所以p是q的充要条件.【内化·悟】
根据充分必要条件的定义和判断方法，你能总结一个记忆口诀吗？
提示：顺向为充(即若p?q，则p是q的充分条件)，逆向为必(即若p?q，则q是p的必要条件).【类题·通】
　从命题角度判断p是q的充分必要条件
(1)原理：
判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.(2)方法：
①若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；
③若二者都成立，则p与q互为充要条件.【习练·破】
下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？(1)p：x2=3x+4，q：x= .
(2)p：a是自然数，q：a是正数.
(3)p：a=1，q：a的倒数是其本身.
(4)p：点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等，q：a=1或a=0.【解析】(1)当x=-1时，x2=3x+4成立，但是x=
不成立，所以p q，由x= 两边平方可得
x2=3x+4，所以q?p，所以p是q的必要不充分条件.
(2)0是自然数，但是0不是正数，
所以p q，1.5是正数，但是1.5不是自然数，
所以q p，所以p是q的既不充分也不必要条件.(3)倒数是其本身的数有±1，所以q p，且p?q，
所以p是q的充分不必要条件.(4)当a=1，点P(1，1)到两坐标轴距离相等；
当a=0，点P(2，-2)到两坐标轴距离相等；
当点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等时，
|2-a|=|3a-2|，解得a=1或a=0.
所以p?q，所以p是q的充要条件.【加练·固】
　 　下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？(1)p：x=y，q：
(2)p：∠1=∠2，q：∠1与∠2是对顶角.
(3)p：反比例函数y= 的图象在第二、四象限，
q：m<5.
(4)p：a>1，q：a> .【解析】(1)当a=0时，x=y
?x=y，所以p是q的必要不充分条件.
(2)对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
所以p q，且q?p，所以p是q的必要不充分条件.(3)反比例函数y= 的图象在第二、四象限?
m-5<0?m<5，所以p是q的充要条件.
(4)当a>1时，
所以a> ，所以p?q，
当a=- 时，a> ，所以q p，
所以p是q的充分不必要条件.类型二　充要条件的证明
【典例】已知关于x的方程ax2+bx+c=0(※)，判断a+b+c=0是否是方程(※)有一个根为1的充要条件. 世纪金榜导学号
【思维·引】从充分性和必要性两个方面进行证明.【证明】因为a+b+c=0，
所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0中，
得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程(※)有一个根为1，
所以a+b+c=0?方程(※)有一个根为1，因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.
所以有a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.
所以方程(※)有一个根为1?a+b+c=0，
从而a+b+c=0?方程(※)有一个根为1，
因此a+b+c=0是方程(※)有一个根为1的充要条件.【素养·探】
在与充要条件的证明有关的问题中，经常利用核心
素养中的逻辑推理，通过命题真假的证明，判断充
分、必要条件，提高分析、推理、论证的能力.
将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一
个负根”，“a+b+c=0”改为“ac<0”，如何判断？【证明】因为ac<0，所以Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根，由根与系数关系
可知这两个根的积为 <0，
所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，
所以ac<0?方程(※)有一个正根和一个负根，因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，
由根与系数关系可知这两个根的积为 <0，
所以ac<0.所以方程(※)有一个正根和一个负根?
ac<0，从而ac<0?方程(※)有一个正根和一个负
根，因此ac<0是方程(※)有一个正根和一个负根的
充要条件.【类题·通】
　充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.【习练·破】
已知x，y都是非零实数，且x>y，判断xy>0是否是
的充要条件.【证明】由xy>0及x>y，得
所以xy>0?
即 <0，
又由x>y，得y-x<0，所以xy>0.
所以 ?xy>0，从而xy>0? ，
所以xy>0是 的充要条件.【加练·固】
求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件.【解析】①当a=0时，解得x=-1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤ .
反之，若a≤ ，则方程至少有一个负的实根.
因此，关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充
要条件是a≤ .类型三　用集合观点解充分条件、必要条件问题
【典例】1.已知p：点M(1-a，2a+6)在第四象限，
q：a<1，则p是q的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件2.已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】1.第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0.依据“小范围”推“大范围”，“大范围”推不出“小范围”判断；
2.先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于m的不等式(组)进行求解.【解析】1.选A.因为点M(1-a，2a+6)在第四象限，
所以 解得a<-3.
因为(-∞，-3) (-∞，1)，
所以p?q，q p，
所以p是q的充分不必要条件.2.p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即[1-m，1+m] [-2，10]，
故有 解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3].【素养·探】
在与用集合观点解充分条件、必要条件问题中，经常
利用核心素养中的直观想象，通过研究充分条件和必
要条件与集合关系，培养借助集合解决问题的能力.
将本例2的“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充
分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.【解析】p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A B.
所以 解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是[9，+∞).【类题·通】
　从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件其中p：A={x|p(x)成立}，q：B={x|q(x)成立}.【习练·破】
设p：实数x满足a0)，q：实数x满足2所以q对应的集合是p对应集合的真子集，
所以(2，5] (a，4a)则 得 得 即实数a的取值范围是 【加练·固】
已知p：-1所以p对应的集合是q对应集合的真子集，
所以(-1，3) [k-2，k+5]，
所以
?-2≤k≤1.
所以实数k的取值范围是[-2，1].