3.4.1 函数与方程 课件（22张PPT）

(共22张PPT)
下列方程有解吗？
抢答

利用函数性质判定方程解的存在
学习目标
①理解零点的概念，明确方程的根与函数的零点的联系与区别。
②准确理解零点存在性定理，并学会利用零点存在性定理判断零点的存在性。
③学会结合函数图像与性质判断方程的根的个数，用多种方法求方程的根和函数的零点。
探究一
对照函数 的图像，回答以下问题：
1.函数图像与x轴的交点坐标是什么？
2.方程 的解是多少？
3.函数 的图像与x轴的交点和方程的解有什么关系。
结论：

（-2,0）,（6,0）
x=-2或x=6
函数y=f(x)图像与x轴交点的横坐标 对应方程f(x)=0的解。
我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
求函数y= f(x)的零点，就是求函数与x轴交点的横坐标，就是求方程f(x)=0的实数根。
不是所有函数都有零点。
函数的零点不是点，而是实数。
下午
早上
早上
下午
图1
图2
想一想：小马渡过河了吗？

X
y
0
探究二
对照函数 的图像，回答以下问题：
1.函数 的零点是什么？
2.观察图像，在图像与x轴的每个交点附近，两侧的函数值的符号有什么特点？
结论：

-2和6
异号
若要判断区间[a,b]上一定存在零点，
条件：区间端点函数值异号，即f(a)·f(b)<0.
探究三
对照函数 的图像，回答以下问题：
1.该函数在x=-1和x=1处的函数值异号吗？
2.该函数在区间[-1,1]上存在零点吗？
结论：

异号
不存在
若要判断区间[a,b]上一定存在零点，
条件1：端点函数值异号，即f(a)·f(b)<0.
条件2：图像连续不断。
探究四
观察右侧函数图像，思考以下问题:
1.该函数是否满足f(a)f(b)<0?
2.该函数图像在区间[a,b]上是否连续不断？
3.该函数在区间[a,b]上是否只存在一个零点？
结论：

满足
是
存在5个
当函数在区间[a,b]上满足两端点函数值f(a)f(b)<0且图像连续不断时，零点可能不只一个。
零点存在性定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即对应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解。
小试牛刀
1.函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）

小试牛刀
1.函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）
解：函数 的图像在R上连续,

∴f(-1)·f(0)<0

∴函数在区间[-1,0]有零点。

小试牛刀

解：函数 的图像连续，
f(1)=-10,f(2)=19,∴f(1)·f(2)<0
∴函数 在（1,2）内存在零点，
即方程 在（1,2）内存在实数解。
探究五
对照函数 的图像，回答以下问题：
1.该函数在区间[-3,7]上图像连续吗？
2.该函数在区间[-3,7]上的两个端点处函数值符号异号吗？
3.该函数在区间（-3,7）上存在零点吗？
结论：

连续
不异号
存在
当函数在区间不满足零点存在性定理时，也可能存在零点。
探究六
观察右侧两幅函数图像，回答以下问题：
1.图1所示函数在区间[a,b]是否满足零点存在性定理？
2.图1所示函数在区间[a,b]有几个零点？
3.图2所示函数在区间[a,b]是否满足零点存在性定理？
4.图2所示函数在区间[a,b]有几个零点？
结论：

是
1个
5个
是
若函数在满足零点存在性定理的同时，还在区间上单调，则函数在区间内只有一个零点。
前后呼应
你现在能解决这个问题了吗？
判断方程 是否有解？有几个解？






①画函数图像
观察是否与x轴有交点





②零点存在性定理
函数 的图像连续且单调递增
且f(-1)=-0.5,f(0)=1 ∴f(-1)f(0)<0
∴函数 在区间(-1,0)上有一个零点
方程 在（-1,0）有一个解
课堂小结
1.本节课我们学到了哪些知识？





一个定理
一个概念
零点存在性定理
零点
课堂小结
2.本节课我们用到了哪些数学思想？





化归与转化思想
01
02
03
数形结合的思想
函数与方程思想
课后作业
必做题：
1.课本119页A组第1,2题。
2.判断函数 的零点个数，并指出零点所在的一个区间。
选做题：
若函数f(x)=ax+3a+1(a≠0）在[-2,1]上存在一个零点，求实数a的取值范围。
课后思考
能否利用本节课所学的知识进一步解决函数零点问题，知道是否存在零点，如何利用零点存在性定理得到零点更具体的位置？
谢谢