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数学归纳法
从前有个财主,请来一位先生教儿子识字。先生写一横,告诉他的儿子是“一”字;写两横,告诉是个“二”字;写三横,告诉是个“三”字。学到这里,儿子就告诉父亲说:“我已经会了,不用先生再教了。”财主很高兴,就把先生给辞退了。有一天,财主要请一位姓万的朋友,叫儿子写请帖……
1.创设情境、引入新课
同学们你知道他是怎么写“万”字的吗?
请问:他应用了什么数学推理?
归纳推理
发现问题:由归纳推理得到的结论不一定正确
12 - 1+11=11,
22 - 2+11=13,
32 - 3+11=17
42 - 4+11=23
52 - 5+11=31
都是质数,于是有人用归纳推理提出猜想:
任何形如n2 - n+11(n∈N*)的数都是质数
因为n=11时,
n2- n+11=112- 11+11
=121是一个合数
1.创设情境、引入新课
猜想对吗?
1.创设情境、引入新课
1.创设情境、引入新课
这个归纳推理所得结论正确吗?
提出问题:有没有一种数学方法能通过有限步来证明此类无限的问题?
为了回答这个问题,我们先来做个著名游戏,看能不能从中受到启发
游戏判定:所有骨牌倒下即为成功.
2.活动体验、探究原理
多米诺骨牌游戏
请结合刚才的游戏体验,思考并讨论下列问题:
任给n张骨牌排成一列,要保证所有骨牌全部倒下(即游戏成功),需要满足哪些条件?
2.活动体验、探究原理
结论:
“任给n张骨牌倒下”的条件:
(1)保证第1张骨牌倒下
(2)第k张骨牌倒下导致第k+1张骨牌倒下
多米诺骨牌原理
(1)保证第1张骨牌倒下
(2)第k张骨牌倒下
导致第k+1张骨牌倒下
任意正整数n等式成立
类比
类比
(1)n=1时等式成立
(2)n=k时等式成立
推出n=k+1时等式成立
3.类比抽象、形成概念
解决问题
多米诺骨牌原理 任意正整数n命题成立
(1)第1张骨牌倒下
(2)第k张骨牌倒下
导致第k+1张股骨牌倒下
(1)n=1时命题成立
(2)假设n=k时命题成立
推出n=k+1时命题成立
由(1)(2)可得,命题对于任意正整数n成立
数学归纳法
n=1命题成立
n=2命题成立
n=3命题成立
n=4命题成立
n=5命题成立
?
……
4.分析概念、形成方法
反思:第(2)步实质的作用是什么?
第(2)步证明的是递推关系
形成方法
多米诺骨牌原理 任意正整数n命题成立
(1)第1张骨牌倒下
(2)第k张骨牌倒下
导致第k+1张股骨牌倒下
(1)n=1时命题成立
(2)假设n=k时命题成立
验证n=k+1时命题成立
由(1)(2)可得,命题对于任意正整数n成立
数学归纳法
n=1命题成立
n=2命题成立
n=3命题成立
n=4命题成立
n=5命题成立
?
……
(1)证明起点
(2)证明递推关系
4.分析概念、形成方法
对任意正整数n成立.
例:运用数学归纳法证明:
5.例题呈现、巩固知识
应用方法
用数学归纳法证明:
证明:
当n=k+1时
(2)假设当n=k (k?N*)时,等式成立,即
(1)当n=1时,
(n?N*)
左边=
等比数列求和!
=右边,
即当n=k+1时等式也成立。
根据(1)和(2)可知,等式对任何n?N*成立。
错解!
错因:没有用到假设!
思考1
左边=1,
右边=1,
等式成立。
思考2:试问等式2+4+6+…+2n=n2+n+1成立吗?某同学用数学归纳法给出了如下的证明,请问该同学得到的结论正确吗?
解:设n=k时成立,即
这就是说,n=k+1时也成立
2+4+6+…+2k=k2+k+1
则当n=k+1时, 2+4+6+…+2k+2(k+1)
=k2+k+1+2k+2
=(k+1)2+(k+1)+1
所以等式对任何n∈N*都成立
事实上,当n=1时,左边=2,右边=3
左边≠右边,等式不成立
该同学在没有证明当n=1时,等式是否成立的前提下,就断言等式对任何n∈N*都成立,为时尚早
错解!
1.数学归纳法能够解决哪一类问题?
用于证明某些与正整数有关的数学命题。
2.数学归纳法证明命题的步骤?
(1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确;
(2)假设当n取k时结论正确,推导n取k+1时
结论也正确.
3.数学归纳法证明命题最关键步骤是哪一步?
在第二步推导中归纳假设要用到。
6.课堂小结
4.本节课我们经历了什么样的学习过程?
6.课堂小结
我们的学习过程经历了“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、形成方法、应用方法”的科学探究过程,这是对数学研究的一般科学方法。
谢 谢!