高一数学苏教版必修五第一章1．2：余弦定理及其应用学案（含答案）

模块一 余弦定理
一、趣味链接
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的视角，最后通过计算求出山脚的长度BC。



二、探索新知
如右图，在一个中三边长有关系如下：
那么，在一般的中有没有类似关于三条边长的数量关系呢？

如图，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把分成两个直角三角形：

解：在中，；
在中，．
所以，化为：；
整理可得：
同理可得，在一般中有如下结论成立：



三、感悟定理
考虑到三角形边长结论中含有角度的余弦值，请你试用向量的方法
证明：在任意中，成立。





余弦定理：表述了三角形的边与对角的关系；


四、课堂小结
1．三角形的三个内角：，．
2． 余弦定理：；；
.
3．余弦定理的常见变形：；；
.

五、课堂练习
1．在中，,则 .

2．在中，若三边满足，则 .

3．在中，已知,这个三角形是 三角形.

4．在中，,上的中线长为2，求.





模块二 余弦定理及其应用
利用余弦定理，我们要解决如下问题（解三角形与实际应用）（“”，“”）：
1．已知两边及夹角，求其它两边和一角；
2．已知三条边长，求三角形的内角；
3．利用余弦定理解实际应用题。

余弦定理与边角关系
例1．已知中，，求的最大角.



三角恒等变换与正余弦定理综合
例2．在中，已知，且，试确定的形状.


例3．在中，，求的大小.



余弦定理与实际应用
例4．某缉私船在处发现北偏东45°相距9海里的处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问缉私船最快需要多少时间能追赶上该走私船？







课 后 作 业
1． 在中，，，，则____________.

2．在中，已知三边长分别是，，则最大角的度数为_______.

3．在中，已知，则角的值为 .

4．在中，，则 ．

5．设的内角A，B，C所对边的长分别为.若，
则________.


6．在中，，则________.

7．在中，若，试判断的形状.


8．在中，角A，B，C所对的边分别为.已知.
(1)求的值；
(2)若，求的面积．


参 考 答 案
模块一：课堂练习：1. 2. 3.直角 4.

模块二：例1.75° 例2.等边三角形 例3. 例4.1.5小时

课后作业：1. 2. 3. 4. 5.
6.1 7.等边三角形 8.（1）；（2）

B

C



B

D