(共22张PPT)
1.4 角平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三条内角的平分线
1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点）
学习目标
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
导入新课
情境引入
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线
一
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
讲授新课
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢?
试一试
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
E
D
A
B
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm.
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中，
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
解：连接OC
M
E
N
A
B
C
P
O
D
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
当堂练习
1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）
A.P为∠A，∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线
的交点
C.P为AC，AB两边上的高的交点
D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
B
【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上，
∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上.
∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点.
2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=
∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的 ，AE+DE= .
C
A
B
E
D
角平分线
6cm
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A.△ABC 的三条中线的交点
B.△ABC 三边的中垂线的交点
C.△ABC 三条角平分线的交点
D.△ABC 三条高所在直线的交点
C
4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴ CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
C
F
A
E
D
B
拓展思维
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
课堂小结
应用：位置的选择问题.
见《课堂点睛》本课时练习
课后作业
(共23张PPT)
1.4 角平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 角平分线
1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
学习目标
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？
（比例尺为1︰20000）
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
导入新课
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
一
讲授新课
验证猜想
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
A
B
C
P
变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
D
（3）求?PDB的周长.
·AB·PD=28.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
=
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
角平分线的判定
二
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
逆
命
题
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
知识总结
例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
O
N
M
A
B
P
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示：
归纳总结
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
当堂练习
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
A
O
B
M
N
P
解：在RT△MOP和RT△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）.
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
见《课堂点睛》本课时练习
课后作业
(共17张PPT)
北师大版八年级(下)
1.4角平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三个内角的角平分线
复习旧知
1、角平分线性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线判定定理：
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的
点，在这个角的平分线上。
情景引入
如图，三个城镇A、B、C之间有三条公路连
接，现要在三条公路围成的内部区域建一个加油
站，使加油站到三条公路的距离相等，你能确定
加油站的位置吗？
A
B
C
新知探究
Ⅰ、剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的
角平分线。
你发现了什么？
三条折痕交于一点
新知探究
Ⅱ、如图，△ABC，用尺规作出三角形三个角的
角平分线。
A
B
C
P
你又发现了什么？
1、三个角的角平分线
交于一点；
2、交点到三条边的
距离相等。
(在一个角的内部，且到角的
两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
新知探究
Ⅲ、求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并
且这一点到三条边的距离相等。
A
B
C
P
M
D
N
F
E
证明：
已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角
平分线CN相交于点P， 过点P分别作
AB 、 BC、AC的垂线，垂足分别为
D、E、 F。
∵BM 是∠ABC的平分线，
点P在BM上
∴PD=PE
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
同理，PF=PE
∴PD=PE=PF
∴点P在A的平分线上
即 ∠A的平分线经过点P
求证：∠A的平分线经过点P,且
PD=PF=PF.
新知归纳
三角形三条角平分线定理：
三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
范例讲解
例1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
(1)已知CD=4cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD。
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)
∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°．
∴∠BDE=90°-45°=45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
例1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
(1)已知CD=4cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD。
ⅰ、如图， 有两条公路相交于点A处，现计划
修建一个油库，要求到两条公路的距离相等，
你们该如何选择油库的位置？
A
合作交流
ⅱ、如图， 有两条公路相交于点A处，如果再增
加一条公路，与这两条公路都相交(不经过点A
处)，现计划修建一个油库，那么如何选择油库
的位置才能保证油库到三条公路的距离相等？
合作交流
A
B
C
1.（益阳·中考）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）
A.P为∠A、∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线
的交点
C.P为AC、AB两边上的高的交点
D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
【解析】选B.
∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上，
∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上.
∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点.
2. (巴中?中考)如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A.△ABC 的三条中线的交点
B.△ABC 三边的中垂线的交点
C.△ABC 三条角平分线的交点
D.△ABC 三条高所在直线的交点
【解析】选C. 根据三角形三条角平分线的性质定理得.
3.（珠海·中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是____cm.
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，
∴点P到∠ABC两边的距离相等，∵PE⊥AB，
PE＝4cm，
∴点P到BC的距离是4cm.
答案：4
4.（曲靖·中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10,AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点D到线段AB的距离 .
【解析】∵BD:CD＝3:2,BC＝10,∴CD＝4,又∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，则点D到线段AB的距离等于CD,为4.
答案：4
课堂小结
三角形三条角平分线定理：
三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
(共16张PPT)
北师大版八年级(下)
1.4角平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
复习旧知
三角形三边垂直平分线定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
情景引入
角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到
的？
A
O
D
E
B
C
1
2
P
新知探究
Ⅰ、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距
离相等。
A
O
D
E
B
C
P
1
2
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC
上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E。
求证：PD=PE。
证明：
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1=∠2
∵ PD⊥OA， PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中
∠1=∠2
∠PDO=∠PEO
PO=PO
∴△PDO≌△PEO
∴PD=PE
新知归纳
角平分线性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
合作交流
ⅰ、你能写出定理“角平分线上的点到这个角的
两边的距离相等。”的逆命题吗？
改写成“如果…，那么…”的形式：
如果一个点是角平分线上的点，那么这个点
到角的两边的距离相等。
逆命题为：
如果一个点到角的两边距离相等，那么这个
点在这个角的平分线上。
Ⅱ、怎样证明“在一个角的内部，到角的两边距离
相等的点在这个角的平分线上”呢？
新知探究
C
A
O
D
E
B
P
已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E，且PD=PE。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt △PEO中
PD=PE
PO=PO
∴ Rt △PDO≌ Rt△PEO
∴∠POD=∠POE
过点P作射线 OC
即点P在∠AOB的平分线上
新知归纳
角平分线判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
范例讲解
例1、已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，
点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
B
C
D
E
F
合作交流
ⅱ、你会用尺规作角的平分线吗？
作法：
1、 在OA、OB上分别截取OD=OE；
3、作射线OC。
D
E
A
O
B
已知：如图，∠AOB。
求作：射线OC，使∠AOC=
∠AOB。
2、分别以点D、E为圆心，大于 DE的长为半
径作弧，两弧在内部交于点C；
C
∴射线OC就是∠AOB的平分线。
你会证明吗？
1. (凉山·中考）已知：∠AOB，求作∠AOB的角平分线；根据图示，填写作法：
① .
② .
③ .
A
B
O
M
N
C
【解析】由图示写出作法即可.
① 以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于M、N；
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
③画射线OC，射线OC即为所求的角平分线.
A
B
O
M
N
C
2.（河源·中考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝
60°，AC＝2．按以下步骤作图：
①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC、AB于
点E、D；
②分别以D、E为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧
相交于点P；
③连接AP交BC于点F．
那么：(1)AB的长等于______
(直接填写答案)；
(2)∠CAF＝______°(直接填写答案)．
A
B
C
D
E
F
P
【解析】∵∠C＝90°，∠BAC＝60°,
∴∠B＝90°－∠BAC＝30°,
∴AB＝2AC＝4,
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF＝30°.
答案：（1）4 （2）30
3. 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交于E，且EA=EB.
求证：EO为∠AOB的平分线
【证明】∵AD⊥OB,BC⊥OA,
∴∠BDE＝∠ACE＝90°,
又∵∠BED＝∠AEC,EB＝EA,
∴△BDE≌△ACE.
∴DE=CE.
∴EO为∠AOB的平分线.
课堂小结
1、角平分线性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
