高一数学苏教版必修五第一章1．1：正弦定理及其应用学案（含答案）

模块一 正弦定理
1、 趣味链接
2015年12月初，“嫦娥四号实现了世界首次月球背面软着陆”。一位无聊的法国天文学家拉朗德和其学生拉卡伊在17世纪中下旬首次计算出了地月距离：他们选取了几乎位于同一子午线的柏林和好望角A、B和月球上的一地点C，当时的技术手段只能测出AB两地间的直线距离和∠A、∠B的大小，但他们使用了一个十分便捷的运算工具，就分别把地球上这两个地点到月球的距离求出来了。你们知道是什么吗？


2、 探索新知
如右图，我们都知道，在一个中有如下边角关系：
；；；
此时：

那么，在一般的中此结论是否成立呢？


3、 感悟定理
证明：在任意中，成立。





正弦定理：统一美、对称美、简洁美；


四、课堂小结
1．三角形的三个内角：，．
2．中的常见结论：
⑴大角对大边：；
⑵；
3．正弦定理：（为△ABC的外接圆的半径）；
4．正弦定理的常见变形：
⑴边角：，，；
⑵角边：，，；
5． 正弦定理的证明：向量法、、三角形面积法、三角函数法、外接圆法等；


五、课堂练习
1．在中，给出下列命题：①；②；
③；④．其中正确的序号为 ．

2．在中，已知，，，则__________．

3．在中，如果，，，则满足上述条件的三角形有 个．

4．已知，，，则这个三角形的最大边的长等于 ．






模块二 正弦定理及其应用
利用正弦定理，我们要解决如下问题（解三角形与实际应用）（“”，“”）：
1．已知两角和任一边，求其他两边和一角；
2．已知两边和任一角，讨论三角形的解的情况（关键：作图）；
3．利用正弦定理解实际应用题。

已知两边一角：讨论三角形解的情况
例1．在中，已知，，讨论的取值情况与三角形解的个数。




例2．在中，已知，，且这个三角形有解，则角的取值范围是 ．





正弦定理中边角关系的证明
例3．在中，分别为角A，B，C所对的边，证明：.





正弦定理综合运用
例4．（1）在中，分别为角A，B，C所对的边，若，且，则 .

（2）在中，已知，求的面积.


课 后 作 业
1．在中，，则 .

2． 在中，分别为角A，B，C所对边，若，则

3．在中,角A，B所对的边分别为，若，则

4．在中，已知，，则 .

5．在中，若，求实数m的取值范围．


6．一条长为100米的斜坡，其倾斜角为，现决定在原坡面上填土以降低坡度，使其倾斜角为，则坡底要伸长 米．


7．在中，若，判断的形状.


8．在中，分别为角A，B，C所对边，若。求证：.



参 考 答 案
模块一：课堂练习：1.①②③④ 2. 3.2 4.

模块二：例1. 例2.
例3.证明（略） 例4.（1）；（2）

课后作业：1. 2.1 3. 4. 5. 6.
7.等边三角形 8.证明（略）