六年级数学下册教案 5 数学广角——鸽巢问题 -人教新课标

《鸽巢问题》教案
课题
鸽巢问题
教学内容
人教版《义务教育教科书·数学（六年级下册）》第五单元第一课时，第68页例1，第69页例2，及书后部分练习。
解读教材
教材通过直观的例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢原理”加以解决。例1描述的是“鸽巢原理”的最简单情况。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法——枚举法和假设法，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“鸽巢原理”的初步认识。例2描述了“鸽巢原理”更为一般的形式。本例即是“把多于kn个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）个元素”。若k为1，就是例1的情况了，可见例1只是例2的一个特例。所以，本例的教学，目的是让学生认识并理解“鸽巢问题”的“一般化模型”，进一步熟悉用假设法来分析问题的思路，培养学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维，提升对“鸽巢原理”的理解水平。
学情分析
“鸽巢问题”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“鸽巢问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“鸽巢问题”的一般化模型之间的内在关系，能否找出该问题中什么是“鸽子”，什么是“笼子”，是影响能否解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢原理”可以解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中找出最本质的数学模型的过程。五年级学生的理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本课内容的程度，因此大胆尝试了一下这节六年级课的教学。教材选取的是学生熟悉的、易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
教学目标
1．了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的基本形式，学会初步运用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。
2．结合具体的实际问题，通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历鸽巢问题的探究过程，发展类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3．通过鸽巢原理的灵活应用，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，感受数学的魅力。
教学重点
经历鸽巢问题的探究过程，初步了解鸽巢原理。
教学难点
理解鸽巢原理，并对一些简单的实际问题加以“模型化”。
教法、学法
本节课的教学从特殊例子到一般例子，让学生逐步理解抽屉原理，并建立起数学模型。在建立鸽巢原理模型的过程中，对模型中的各个要素进行深入分析，从而学会将生活中的简单问题和鸽巢问题的各个要素进行一一对应。
教法：教师指导学生自主探究，鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”，进行“建模”教学。
学法：学生通过动手操作、交流探究，经历“数学证明”的过程，建立模型理解鸽巢原理。
教学资源
白板课件、吸管、纸杯、扑克、作业纸。
教学过程
为了能更好地凸显“学生为本，自主探究”的教学理念，高效完成教学目标，我设计如下五大教学环节：
（一）活动导入，激发兴趣
师：请写出一个手机号码。
（学生写号码）
师：我不看你们写的号码，但可以肯定的告诉你们，每一个手机号码中，总有一个数字至少出现了两次。哪个数字重复出现了？哎，这是巧合吗？你写的是这样的吗？你的呢？……
师：可为什么会是这样的呢？刚才这个活动当中，蕴含着一个有趣的数学问题，这类问题在数学上称为“鸽巢问题”。
板书课题：鸽巢问题
师：相信学完今天的知识后，同学们就能对刚才的问题做出合理的解释了。
师：为了方便研究，我们先来看一个数量较小的同类问题。
【设计意图】通过“写手机号码”这个活动，引导学生体会到：不管怎么写，总有一个数字至少出现了两次。课始的导入引出了话题，也引发了数学思考，使学生初步感知“鸽巢原理”，初步渗透了“不管怎样”、“总有一个”等思想。从贴近学生生活的“手机号码”入手，设置悬念，从而提出需要研究的数学问题，将数学学习与现实生活紧密联系，激起了学生探究新知的欲望，初步渗透鸽巢原理。
（二）自主探究，初步感知
1．学生探究例1
课件呈现活动要求：把4根吸管放进3个杯子中，有几种不同的放法？同桌2人一组，1人摆，1人记录在作业纸上。想办法，怎样记录不重复，不遗漏。、，又能让人一看就明白。完成的可以前后交流一下。（提示：不考虑杯子的顺序。）
（学生组内探究，组间交流，集体展示）
2．反馈交流
（1）枚举法
师：摆完记录好结果的小组请坐好示意我。
学生边展示记录结果，边汇报。
师：哪个小组愿意来汇报一下刚才你们是怎么摆的？两个人上来，一个介绍，一个摆。
生：我们是把４根吸管都放进一个杯子中。
师：咱们数学讲究简洁，我们可以把这种放法记作（4，0，0）。接下来再汇报的时候，也请你尝试用这种方法记录结果。可以吗？
师：有一个问题，这４根吸管一定要放在第一个杯子里吗？
生：不一定，也可以放在第二个杯子里。这里我们不考虑杯子的顺序。
板书：（4，0，0）
师：还可以怎么放？
生；把3根吸管放进一个杯子中，1根吸管放进另一个杯子中，还有一个杯子不放吸管。我们把这种放法记作（3，1，0）。
板书：（3，1，0）
师：还有其他摆法吗？
生：把2根吸管放进一个杯子中，2根吸管放进另一个杯子，还有一个杯子不放吸管。我们把这种放法记作（2，2，0）。
板书：（2，2，0）
师：还有补充吗？
生：把2根吸管放进一个杯子中，另外两个杯子里各放1根吸管。我们把这种放法记作（2，1，1）。
板书：（2，1，1）
师：好，我们再来回顾一下大家的摆法，老师是按照一定的顺序摆的，（课件演示，第一种情况……第四种情况。）其实，这样有序的思考是我们研究数学常用的方法，它能做到不重复、不遗漏。
师：好了，你能找出每种情况中，吸管最多的那个杯子吗？
生：4根、3根、2根、2根。
（课件：把4个杯子圈起来）
师：你能用一句话，概括出这4个杯中吸管的情况吗？
（课件：变红2根）
【视学生回答情况继续追问：】
（指着屏幕的4个杯子）
【预设1】师：最多的几根？最少的几根？用一句话概括这两种情况！（课件：把4个杯子中2根吸管变成红色）
【预设2】师：这4个杯中都至少有几根吸管呀？（课件：把4个杯子中2根吸管变成红色）
【预设3】师：来看看，这两个杯中都是2根，是最少的，对吗？这是3根，还有4根，能不能说他们也是至少2根呢？（课件：把4个杯子中2根吸管变成红色）
师：其实，有一个杯中至少有2根吸管，是这几种情况的相同点，你们同意吗？
生：同意。
师：那么，总有一个杯中至少有2根吸管，是巧合吗？换一个摆法呢？
生：不是巧合。把4根吸管放进3个杯子中，不管怎么放，总有一个杯中至少有2根吸管。
（如果学生能说出结论，课件就出示。如果说不出来，就不出示。）
师：哎，有没有同学想问这个杯中没有吸管，这个杯中有1根吸管，那我们怎么说至少有2根吸管呢？
生：不是每种情况里，必须每个杯中都至少有2根吸管。
师：我们是怎么说的？
生：总有一个杯中至少有2根吸管。
师：再问一遍，每种情况下只要有几个杯中至少有2根吸管就可以？
生：一个。
师：所以说，我们只看每种摆法的哪个杯子呀？
生：吸管数最多的！
（课件：圈出了每种情况下最多的放几根吸管）
师：我想问一下，“总有”是什么意思？
生：一定有，肯定有。
师：“至少”是什么意思？
生：“至少”的意思是不少于。不能比2根少，可以等于或多于2根。也就是“总有一个杯中有等于、大于2根”，也就是“至少有2根吸管。”
师：好了，谁能完整地说说这个结论？
板书：把4根吸管放进3个杯子中，不管怎么放，总有一个杯中至少有2根吸管。
师：同学们，我们把刚才这种通过列举出事件发生的每一种可能性来进行判断的方法称作“枚举法”，也可以叫“列举法”。“枚举法”是我们数学中重要的一种研究方法，它非常直观。
板书：枚举法
（2）假设法
师：哎，如果这里有100根吸管放进30个杯子中让你用枚举法来研究，你觉得怎么样？
师：是啊，枚举法直观、非常好，但是当数据比较大的时候，它就显得太麻烦了！那有没有更简便的方法让我们很快的找到放的至少数呢？还是以刚才那个问题为例，有没有别的方法也可以得到刚才这个结论？
【预设：学生答不上来的情况下。】
教师边操作，边发问。
师：哎，我有一个想法，你们猜我是怎样想的？
（教师操作引导）
生：先在每个杯中都放1根吸管，这样还剩下1根，这时无论放到哪个杯中，那个杯中就是2根了。
师：他什么意思？谁再来说说？
师：为什么要先在每个杯子中放1根呢？
生：因为总共只有4根，平均分，每个杯子只能分到1根。
师：你为什么要一开始就要去平均分呢？
生：因为我们要找的是每个杯中放的至少数，而平均分，就可以使每个杯中的吸管尽可能少一点。
师：特别好，也就是说我们可以先假设每个杯中放1根吸管，现在放几根了？
生：3根。
师：还剩几根？
生：1根。
师：这1根怎么放？
生：随便放。那也就是，这剩下的1根无论放到哪个杯中，总有一个杯中至少有2根吸管。
（教师演示，引导学生直观认识“这时无论放到哪个杯中，那个杯中就有2支”的情况。）
师：这种方法在数学上叫假设法，它里面就蕴含了同学们所说的平均分。
板书：假设法：“平均分”
师：那你们能用一个式子来表示出他的想法吗？
生：4÷3=1……1
板书：4÷3=1……1
师：看得懂吗？这个算式什么意思？
生：“4”表示4根吸管；“3”表示3个杯子；第一个“1”表示先往每个杯中各放1根；第二个“1”表示余下的1根。
师：那这根怎么放？
生：随便放。也就是“不管怎么放，总有一个杯中至少有2根吸管。”
师：那这个“2”怎么得到的？
生：1+1=2（根）
板书：1+1=2（根）
师：同意吗？
生：同意。
【设计意图】在交流时，抓住“枚举法”和“假设法”两种方法的本质和关键加以引导，并进行归纳提炼，使学生初步感受和体验两种方法的不同。将假设法最核心的思路用“有余数除法”的形式表示出来，将思维过程与数学符号联系起来，体现了数学的简洁美，并为后面发现规律埋下伏笔。
3．加深感悟，建立模型
师：刚才我们通过不同的方法验证了这句话是正确的。现在老师把题目改一改，你们还会解决吗？
师：现在将5根吸管放进4个杯中，不管怎么放，总有一个杯中至少有几根吸管？怎么列式？
生：5÷4=1……1 1+1=2（根）
板书：5÷4=1……1 1+1=2（根）
师：如果我有10根吸管放进9个杯中，不管怎么放，总有一个杯中至少有几根吸管？怎么列式？
生：10÷9=1……1 1+1=2（根）
板书：10÷9=1……1 1+1=2（根）
师：那如果我有100根吸管放进99个杯中呢？
生：100÷99=1……1 1+1=2（根）
板书：100÷99=1……1 1+1=2（根）
（教师引导学生说理，学生逐渐都采用假设的思路熟练地来表达。）
4．总结规律
师：同意吗？数很大，但是你们很容易的就说出了答案。发现有什么规律了吗？
生：像这种吸管数总比杯子数多1的情况下，不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根吸管。
师：其实，这个原理早在200多年前就被德国数学家发现了。
（学生：读文字资料。了解数学史。）
师：（握握手）你为什么不早生2000年呀，如果你早生200多年，数学的历史将因你而改变。这个数学道理就以你命名叫“XXX原理”，让世人皆知了。
【设计意图】怎样帮助学生理解鸽巢原理模型中的“不管怎么放”、“总有一个”、“至少”等词语表达的意思呢？在上述教学中，先让学生动手操作、画图，用枚举法找出“把4根吸管放进3个杯子里”的所有分放方法，运用直观的方式，发现并描述最简单的“鸽巢原理”。教学中，注重通过教师的追问，引导学生体会、理解“不管怎么放”、“总有一个”、“至少”的含义，为他们自主探究鸽巢原理扫清了障碍。
5．比较方法
师：我们为什么都采用假设的方法来分析，而不是画图或枚举法呢？
【设计意图】引导学生对两种方法进行比较，体会枚举方法的优越性和局限性，感悟假设方法要更具一般性的特点。
（三）提升思维，构建“一般化模型”
1．探究例2
师：你们概括得非常好！那么，是否只有在吸管数比杯子数多1的时候才有这样的规律呢？如果多2呢？多3呢？又会是什么样的结果？我们一起来研究一下。
【设计意图】有了例1研究的基础， 再通过类推引导学生得出一般性的结论：只要吸管数比杯子数多1，总有一个杯子里至少有2 根吸管。这样的教学过程，从方法层面和知识层面对学生的思维水平进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。教师在及时表扬学生的同时，进一步设疑：“是否只有在吸管数比杯子数多1的时候才有这样的规律呢？”再次对学生的心智发起挑战，引发了学生更深入的思考，为更深层次的探究指明了方向。
师出示：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书呢？
生：3本
师：这么快！怎么列式？
生：5÷2=2……1 2+1=3（本）至少有3本。
板书：5÷2=2……1 2+1=3（本）
师：同意吗？
师：谁能解释一下他这个式子表示的是怎么放的？
生：先把5本书平均放在2个抽屉里，每个抽屉放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。
师：7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
（课件：使用橡皮擦、笔工具改变题目中数据）
生：4本
师：怎么列式？
生：7÷2=3……1 3+1=4（本）至少有4本。
板书：7÷2=3……1 3+1=4（本）
师：算式什么意思？
生：可以在每个抽屉里先放3本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有4本书。
师：9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
（课件：使用橡皮擦、笔工具改变题目中数据）
生：9÷2=4……1 4+1=5（本）至少有5本。
板书：9÷2=4……1 4+1=5（本）
师：那我想问一下，杯子也好，抽屉也好，你认为这里的“至少数”可能与什么有关？至少数等于什么？
生：“至少数=商+余数”
板书：至少数=商+余数 ？
师：同意吗？那是不是这样的呢？
师：我们再来观察一下，这些算式中的余数都是几啊？（生：1）
师：那会不会有余数是2、3、4的情况呢？有吗？可以吗？
师：好，那我们来看几个余数不是1的情况。
师：7只鸽子要飞回5个笼子里，不管怎么飞，总有一个笼子里至少有几只鸽子？
生：7÷5=1……2 1+2=3（只）。至少有3只。
板书：7÷5=1……2 1+2=3（只）
师：同意吗？都同意？有不同意的吗？
请学生到讲台上操作课件摆一摆，边摆边讲解。
生：可以这样想，把7只鸽子平均分放到5个笼子里，每个笼子里先放1只，余下的2只可以在2个笼子里再各放1只，用“商+1”就可以了，不是“商+2”。
师：余下的这2只鸽子为什么要分别放进2个笼子里呢？放1个笼子里不行吗？
生：因为要求至少数，是指最少有几只鸽子。
师：那也就是说要把余下的2只鸽子再次平均分放到2个笼子里，对吗？
（课件演示，理解余下的2只要飞回不同的笼子才能保证至少数。）
师：至少数还是1+2吗？
生：不是，应该是1+1=2（只）。
师：为什么是1+1呀？什么意思？
生：第一个“1”表示每个笼子里先放1只了；第二个“1”表示余下的2只鸽子再次平均分放到任意的2个笼子里，每个笼子里1只；
师：能一起飞到同一个笼子吗？
生：不能，所以是1+1=2（只）。
师：那如果11只鸽子要飞回4个笼子里，不管怎么飞，总有一个笼子里至少有几只鸽子？怎么列式？
生：11÷4=2……3 2+1=3（只）。至少有3只。
板书：11÷4=2……3 2+1=3（只）
师：现在我们回顾一下，刚才你们说“至少数=商+余数”，对吗？
生：不对。
师：那“至少数”应该等于什么？
生：“至少数=商+1”。
板书：至少数=商+1
师：同意吗？跟余数有关系吗？
生：没有。
师：跟什么有关系？
生：商，至少数=商+1。
【设计意图】余数不为1时，余下的物体怎么分是学生学习的难点。教学中，给予学生充足的思考时间和探索空间，让学生充分发表见解，使学生从本质上理解了“鸽巢原理”，有效地突破了难点。
2．建立“一般化模型”
师：刚才研究了这么多，其实我们可以把吸管和书都看成是鸽子，把杯子和抽屉都看成笼子，我们发现鸽子数总比笼子数多。而这个至少数怎么求的？
板书：鸽子数　笼子数　　　　　　　　至少数
生：是用鸽子数÷笼子数得到的商+1得到的。
板书：鸽子数÷笼子数＝商……余数
（四）运用模型，解决问题
师：同学们，在用鸽巢原理解决实际问题的时候，关键是要分析把什么看作鸽子，把什么看作笼子。这样，只要找准对应的鸽子数和笼子数，我们就可以用“鸽子数÷笼子数的商+1”求出至少数。
师：生活中，有没有类似的问题。
师：一副扑克牌，取出大小王。6个人任意抽6张。
（6个学生每人抽1张扑克。）
师：你猜我想说什么？
生：无论怎么抽，总有至少几张是同花色的。
师：题目中谁是鸽子？谁是笼子？
生：一副扑克牌共54张，去掉2张大小王，只剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色。我们把4种花色当作4个笼子，把抽出的6张扑克牌想成6只鸽子，把6只鸽子放进4个笼子里，总有一个笼子里至少有2只鸽子，即至少有2张牌是同花色的。
生：6÷4 =1……2，1 +1 =2（张），所以不管怎么抽，总有至少2张牌是同花色的。
师：同意吗？
生：同意。
师：接下来，我们来玩一个游戏：谁敢向我来挑战！挑战者上来点击屏幕上的转盘，指针开始旋转，待指针停在哪一个位置时，你就要回答这道题。答对下课后有奖哦！听清楚了吗？谁先来？

红色题卡：我们学校有370个2012年出生的小朋友，至少有几人是同年同月同日生的呢？
生：把370个小朋友想成是鸽子，把366天想成是笼子，370÷366 =1……4，1+1 =2（人）。至少有2个人是同年同月同日生的。
黄色题卡：贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮五种奥运福娃，至少买（ ）个奥运福娃才可以保证一定有两个是一样的。
师：把什么想做“鸽子”？把什么想做“笼子”。
师：有没有不同的方法解决这个问题？
蓝色题卡：张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
师：把什么想做“鸽子”？把什么想做“笼子”。
生：把41环想做“鸽子”，把5镖想做“笼子”。41÷5=8……1，8+1 =9（环）。所以至少有一镖不低于9环。
师：先将41环平均分，每一镖都中8环，余下的1环给任何一镖，这样至少有一镖不低于9环。
绿色题卡：任意13个人，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？
师：哪个条件相当于鸽子，哪个条件相当于笼子？
生：13个老师相当于13只鸽子，12个属相相当于12个笼子。
生：13÷12 =1……1，1 +1 =2（个），所以至少有2个人的属相相同。
师：那我们可不可以这样想，从最坏的情况考虑，假设12个人的属相都不相同，第13 个人肯定和其中1个人的属相一样，所以至少有2个人的属相相同。同意吗？
师：这两个同学的方法不同，答案却是一致的。
粉色题卡：5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2个人。为什么？
师：把什么想做“鸽子”？把什么想做“笼子”。
生：把5个人想做5只鸽子，把4把椅子相当于4个笼子。
生：5÷4 =1……1，1 +1 =2（个）。所以总有一把椅子上至少坐2个人。
【设计意图】题材丰富的练习让学生初步看到鸽巢原理应用的广泛性，在实际应用“鸽巢原理”灵活解决问题的过程中，学生感受到了数学的魅力。此环节，还使用了“优课互联课堂”软件。课堂测验数据分析，通过智能终端自动地捕获和记录测验中的行为数据信息，以答题的得分、正确率、用时等定量描述作为评价参数，运用S-P表、时序列图等科学的教育信息处理方法，更加准确地呈现学生的答题状态和测验结果，使得课堂教学评价更加客观、准确、可信。
（五）课堂小结，完善新知
师：通过这节课的学习，你有什么收获？我们用什么方法探究了鸽巢问题？
生：枚举法、假设法。
师：那哪种方法更容易解决这类问题？
生：假设法。
师：解决这类问题的关键是什么？
生：在解决这类问题时，我们的解题思路是先弄清把什么想成鸽子，什么想成笼子。其中，鸽子数要大于笼子数。去至少数时，用“鸽子数÷笼子数的商+1=至少数”。
【设计意图】启发学生回顾鸽巢问题的特点，以及鸽巢问题的解题思路：弄清鸽子数、笼子数，然后用“鸽子数÷笼子数”，“总有一个笼子中的至少数”就等于“商+1”。
板书设计：
鸽巢问题
枚举法：
假设法：“平均分”
（4，0，0）
（3，1，0）
（2，2，0）
（2，1，1）
把4根吸管放进3个杯子中，不管怎么放，总有一个杯中至少有2根吸管。
鸽子数÷笼子数=商……余数
至少数=商+1
4 ÷ 3 = 1…… 1
5 ÷ 4 = 1…… 1
10 ÷ 9 = 1…… 1
100 ÷ 99 = 1…… 1
5 ÷ 2 = 2…… 1
7 ÷ 2 = 3…… 1
9 ÷ 2 = 4…… 1
7 ÷ 5 = 1…… 2
11 ÷ 4 = 2…… 3
1+1=2（根）
1+1=2（根）
1+1=2（根）
1+1=2（根）
2+1=3（本）
3+1=4（本）
4+1=5（本）
1+1=2（只）
2+1=3（只）
作业设计
1．刚开始上课的时候，你们写出的每一个手机号码中，总有一个数字至少出现了两次。这是为什么？请你试着用今天学到的知识解释一下。
2．给一个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色。不管怎么涂，至少有3个面涂的颜色相同。为什么？