四川省乐山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题

乐山市高中2020届期末教学质量检测
文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．抛物线y2＝﹣4x的准线方程为（　　）
( A )x＝﹣1 ( B )x＝1 ( C )x＝﹣2 ( D )x＝2
2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）
( A )充分不必要条件 ( B )必要不充分条件
( C )充要条件 ( D )既不充分也不必要条件
3．圆心在x轴上，并且过点A（﹣1，1）和B（1，3）的圆的方程为（　　）
( A )（x+2）2+y2＝10 ( B )（x﹣2）2+y2＝10
( C )（x+2）2+y2 ( D )（x﹣2）2+y2
4．过椭圆C：1的右焦点F2作倾斜角为α的直线l交椭圆C于A、B两点，则△ABF1的周长为（　　）
( A )10 ( B )16 ( C )20 ( D )与α有关
5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为E，CC1的中点为F，则异面直线B1E与DF所成角的余弦值为（　　）

( A ) ( B ) ( C ) ( D )
6．已知直线yx﹣2与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0相交于A、B两点，则|AB|＝（　　）
( A ) ( B ) ( C ) ( D )
7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的个交点，若2，则|QF|＝（　　）
( A )6 ( B )3 ( C ) ( D )
8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别是PA、CD的中点，EF与平面ABCD所成的角为θ，点E到CD边的距离为d，则（　　）

( A )d，tanθ ( B )d，tanθ
( C )d，tanθ ( D )d，tanθ
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，现欲用草扇将米盖上”．具体数据见下面三视图，如图网格纸上小正方形的边长为1尺，粗线画出的是该米堆的三视图，圆周率估算为3．则此草扇的面积估计最少为（　　）

( A )12平方尺 ( B )20平方尺 ( C )15平方尺 ( D )16平方尺
10．双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝（　　）
( A )1 ( B )2 ( C ) ( D )4
11．已知A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝2，则该球的表面积为（　　）
( A ) ( B ) ( C ) ( D )
12．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）
( A ) ( B ) ( C ) ( D )2
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13．命题：“若x＝2，则x2﹣x﹣2＝0”的否命题为　 　．
14．已知点P是椭圆1第一象限上的一点，且以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为　 　．
15．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|，若MF⊥OA，则椭圆的方程为　 　．

16．已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：
①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；
②若PM⊥平面ABC，且M是AB边中点，则有PA＝PB＝PC；
③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；
④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为．
其中正确命题的序号是　 　．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
17．已知p：方程x2+mx+1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．
18．已知中心在原点，一个焦点为F（0，4）的双曲线被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为1，求此双曲线的方程．
19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．

20．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝4，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
（1）求证：EF⊥平面BCG；
（2）求三棱锥D﹣BCG的体积．

21．已知定点F（0，1）和直线l1：y＝﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点( C )
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）过点F在直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值．

22．知点P（1，）在椭圆1（a＞b＞0）上，F（1，0）是椭圆的一个焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C上不与P点重合的两点D、E关于原点O对称，直线PD、PE分别交y轴于M、N两点；求证：以MN为直径的圆被直线y截得的弦长是定值．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．B
2．A
3．B
4．C
5．A
6．D
7．C
8．D
9．C
10．B
11．A
12．C
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13． “若x≠2，则x2﹣x﹣2≠0”．
14（，1）．
15．∵F为椭圆的右焦点，|OF|，∴c．
设椭圆方程为（b＞0），
∵AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，
∴A是长轴右端点，
∴，∴M（）
∵A（），B（0，b）
∴C（）
∵OM的斜率＝OC的斜率，
∴
∴b，
∴所求椭圆方程是．
16．①②④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
17．由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，
若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；
若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，
若p假q真，则，解可得1＜m≤2；
若p真q假，则，解可得m≥3；
综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．
18．双曲线被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为1，可得中点M（1，1）．
设双曲线标准方程为：1（a＞b＞0）．
设直线l与双曲线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则有：1，．相减可得：0，
又y1+y2＝2，x1+x2＝2，．
∴，又a2+b2＝42，
联立解得a2＝12，b2＝4．
此双曲线的方程：．
19．（Ⅰ） 易知A1C1⊥BC，A1C1⊥CC1，且BC1∩CC1＝C1，
可得A1C1⊥面BCC1B1，
故AC⊥BC1；
又A1C1∥AC，
∴A1C1⊥BC1；
（Ⅱ）设CB1与C1B交于E，连接DE，
由于E、D分别是BC1和AB的中点，
可得DE∥AC1，
而AC1?平面CDB1，
故AC1∥平面CDB1．

20．证明：（1）∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，
AB＝BC＝BD＝4，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，
∴△ABC≌△DBC，
∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，
又BG∩CG＝G，∴AD⊥平面BGC，
∵E，F分别是AC，DC的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG．
解：（2）在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，
∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，
又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，
在△AOB中，AO＝AB?sin60°＝2，
∴三棱锥D﹣BCG的体积：
VD﹣BCG＝VG﹣BCD4．

21．（1）由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线
∴所求轨迹的方程为x2＝4y
（2）由题意直线l2的方程为y＝kx+1，
与抛物线方程联立消去y得x2﹣4kx﹣4＝0．
记P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．
因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为




，
∵，当且仅当k2＝1时取到等号．
的最小值为16
22．（1）由题意可知椭圆的另一个焦点为F′（﹣1，0），且c＝1，
∵点P（1，）在椭圆1（a＞b＞0）上，
∴2a，∴a＝2，b，
∴椭圆C的标准方程为：；
（2）证明：由题意可知D，E两点与点P不重合，
∵D，E两点关于原点对称，∴设D（m，n），E（﹣m，﹣n）（m≠±1），
设以MN为直径的圆与直线y交于G（t，），H（﹣t，）（t＞0）两点，
∴GM⊥GN，
直线PD：y，当x＝0时，y，∴M（0，），
直线PE：y，当x＝0时，y，∴N（0，），
∴，，
∵GM⊥GN，∴，
∴t20，
又∵，即3m2+4n2＝12，∴4n2﹣9＝3﹣3m2，
∴t20，∴t，
∴G（，），H（，），∴|GH|，
∴以MN为直径的圆被直线y截得的弦长是定值．