2020年冀教新版九年级上册数学《第25章 图形的相似》单元测试卷（解析版）

2020年冀教新版九年级上册数学《第25章 图形的相似》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（　　）
A．x+y＝5 B．2x＝3y C． D．
2．下列各组线段的长度成比例的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D．30cm，20cm，90cm，60cm
3．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　）

A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC?BA
C． D．
4．如图，已知l3∥l4∥l5，它们依次交直线l1、l2于点E、A、C和点D、A、B，如果AD＝2，AE＝3，AB＝4，那么CE＝（　　）

A．6 B． C．9 D．
5．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
6．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（　　）

A．105° B．115° C．125° D．135°
7．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
8．如图，在?ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（　　）

A． B． C． D．
9．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝24米，那么该大厦的高度约为（　　）

A．8米 B．16米 C．24米 D．36米
10．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）
二．填空题（共8小题）
11．若2a＝3b，则a：b＝　 　．
12．已知线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4，b＝9，则线段c的长度为　 　．
13．已知线段AB＝10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＜BC），则AC长是　 　（精确到0.01）．
14．如图，a∥b∥c，BC＝1，DE＝4.5，EF＝1.5，则AC＝　 　．

15．在如图所示的相似四边形中，未知边x＝　 　．

16．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝3，DC＝4，AE＝2，则BE＝　 　．

17．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝　 　．

18．在△ABC中，AB＝6cm，点P在AB上，且∠ACP＝∠B，若点P是AB的三等分点，则AC的长是　 　．
三．解答题（共8小题）
19．已知：，且a+b+c＝27，求a、b、c的值．
20．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．

21．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．

22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．

23．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于　 　；
②相似体表面积的比等于　 　；
③相似体体积比等于　 　．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）

24．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

25．如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2＝90°．
求证：△ABC∽△CDE．

26．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且CE＝CD．
求证：．




2020年冀教新版九年级上册数学《第25章 图形的相似》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（　　）
A．x+y＝5 B．2x＝3y C． D．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：A、x+y不一定等于5，故A错误；
B、2y＝3x，故B错误；
C、＝，故C错误；
D、＝，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
2．下列各组线段的长度成比例的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D．30cm，20cm，90cm，60cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故此选项错误；
B、∵2×5≠3×4，故此选项错误；
C、∵0.3×0.9≠0.6×0.5，故此选项错误；
D、∵30×60＝20×90，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
3．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　）

A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC?BA
C． D．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据黄金分割的定义可知：．
故选：C．
【点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
4．如图，已知l3∥l4∥l5，它们依次交直线l1、l2于点E、A、C和点D、A、B，如果AD＝2，AE＝3，AB＝4，那么CE＝（　　）

A．6 B． C．9 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵l3∥l4∥l5，
∴＝，即＝，
解得，AC＝6，
则CE＝AE+AC＝9，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
6．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（　　）

A．105° B．115° C．125° D．135°
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∠DEF＝90°+45°＝135°，所以∠BAC＝135°，故选：D．
【点评】熟练掌握相似三角形的性质．
7．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
8．如图，在?ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而E是AB的中点，BE＝AB＝CD，再证明△BEF∽△DCF，然后根据相似三角形的性质可计算的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝CD；
∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝（）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．
9．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝24米，那么该大厦的高度约为（　　）

A．8米 B．16米 C．24米 D．36米
【分析】因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【解答】解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．
即＝
故CD＝×AB＝×1.2＝16米；
那么该古城墙的高度是16米．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
10．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
二．填空题（共8小题）
11．若2a＝3b，则a：b＝　3：2　．
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积整理即可．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴a：b＝3：2．
故答案为：3：2．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
12．已知线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4，b＝9，则线段c的长度为　6　．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝4×9，解得c＝±6（线段是正数，负值舍去），
故答案为：6．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
13．已知线段AB＝10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＜BC），则AC长是　3.82　（精确到0.01）．
【分析】根据黄金比值计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB上的黄金分割点（AC＜BC），
∴BC＝0.618AB＝6.18，
∴AC＝3.82，
故答案为：3.82．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC＝ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝5﹣12AB≈0.618AB．
14．如图，a∥b∥c，BC＝1，DE＝4.5，EF＝1.5，则AC＝　4　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
解得，AB＝3，
∴AC＝AB+BC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．在如图所示的相似四边形中，未知边x＝　27　．

【分析】根据相似多边形的对应边的比相等即可求解．
【解答】解：根据题意得：＝
解得x＝27．
【点评】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
16．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝3，DC＝4，AE＝2，则BE＝　8.5　．

【分析】先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据DE＝AB﹣AE，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵AD＝3，DC＝4，
∴AC＝AD+DC＝3+4＝7，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得AB＝10.5，
∴DE＝AB﹣AE＝10.5﹣2＝8.5．
故答案为：8.5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例并列出比例式是解题的关键．
17．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝　1或4或2.5　．

【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时，＝，
即＝，
解得：PD＝1，或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，＝，即＝，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．
18．在△ABC中，AB＝6cm，点P在AB上，且∠ACP＝∠B，若点P是AB的三等分点，则AC的长是　　．
【分析】由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△ACP∽△ABC，进而得到，即AC2＝AP?AB，再分两种情况：AP＝4或AP＝2，即可得出AC的长．
【解答】解：由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得
△ACP∽△ABC．
∴，即AC2＝AP?AB．
分两种情况：
（1）当AP＝AB＝2cm时，AC2＝2×6＝12，
∴AC＝＝cm；
（2）当AP＝AB＝4cm时，AC2＝4×6＝24，
∴AC＝＝；
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
三．解答题（共8小题）
19．已知：，且a+b+c＝27，求a、b、c的值．
【分析】根据题意，设a＝2k，b＝3k，c＝4k．又因为a+b+c＝27，则可得k的值，从而求得a、b、c的值．
【解答】解：设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k
∵a+b+c＝27
∴2k+3k+4k＝27
∴k＝3
∴a＝6，b＝9，c＝12．
【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
20．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．

【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA＝50m，CB＝60m，转化为CA＝5cm，CB＝6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A、B间的实际距离．
【解答】解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×1000＝10500cm＝105m．
即A、B间的实际距离是105m．

【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度．
21．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．

【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为：1，判断出矩形DFEC的宽与长的比是不是：1，利用AB＝DC＝AF和，通过等量代换，求得，得到矩形CDFE是黄金矩形．
【解答】解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝DC＝AF，
又∵，
∴，
即点F是线段AD的黄金分割点，
∴，
即，
∴矩形CDFE是黄金矩形．
【点评】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．如上题中的矩形ABCD与矩形DFEC相似．
22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．

【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，
∴，
∴DE＝9．

（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11．

【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
23．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于　相似比　；
②相似体表面积的比等于　相似比的平方　；
③相似体体积比等于　相似比的立方　．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）

【分析】根据阅读材料可以知道相似体就是形状完全相同的物体，根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论．
【解答】解：（1）A；（2分）

（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方；（每空（2分），共6分）

（3）由题意知他的体积比为；
又因为体重之比等于体积比，
若设初三时的体重为xkg，
则有＝
解得x＝＝60.75．
答：初三时的体重为60.75kg．（2分）
【点评】本题是阅读理解的问题，正确读题是解决本题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP＝2xcm，BQ＝4xcm，BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从与分析，即可求得答案．
【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，
解得：x＝2；
②当，即时，△QBP∽△ABC，
解得：x＝0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
25．如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2＝90°．
求证：△ABC∽△CDE．

【分析】根据垂直的性质和给出的条件证明有两对角相等的两个三角形相似即可．
【解答】证明：∵AB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠B＝∠D＝90°．
∴∠A+∠1＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠A＝∠2，
∴△ABC∽△CDE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
26．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且CE＝CD．
求证：．

【分析】只要证出△ABD∽△ACE，再利用相似三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵CE＝CD，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，能根据题意判断出△ABD∽△ACE是解答此题的关键．