2020年冀教新版九年级上册数学《第28章 圆》单元测试卷（解析版）

2020年冀教新版九年级上册数学《第28章 圆》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）

A．42° B．28° C．21° D．20°
2．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（　　）

A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（　　）

A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m
4．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（　　）

A．52° B．57° C．66° D．78°
5．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣2 B． C．π﹣4 D．
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝130°，则∠BOD＝（　　）

A．50° B．80° C．100° D．130°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）

A． B． C． D．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆
D．圆有且只有一个内接三角形
9．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．
10．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）

A． B． C．4 D．2+
二．填空题（共8小题）
11．如图所示，三圆同心于O，AB＝4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．

12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝3，则⊙O的直径为　 　．

13．蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为　 　m．

14．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是　 　度．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝　 　．

16．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝　 　．

17．如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE＝3，AE＝4，DE＝2，则⊙O的半径是　 　．

18．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　 　．

三．解答题（共8小题）
19．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数．

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F
（1）求证：FC＝FB；
（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．

21．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．

22．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．

23．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．

25．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：
（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）
（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；
（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．

26．如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB＝90°．




2020年冀教新版九年级上册数学《第28章 圆》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）

A．42° B．28° C．21° D．20°
【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
2．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（　　）

A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
【分析】根据垂径定理可得：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．然后由点A的坐标为（﹣3，2），即可得到点O的坐标．
【解答】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：C．

【点评】此题考查了垂径定理的应用以及点与坐标的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（　　）

A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m
【分析】补全图形，设OA＝r，则OD＝r﹣4，再根据勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：如图，设OA＝r，则OD＝r﹣4，
∵AB＝16m，
∴AD＝8m．
在Rt△AOD中，
∵OD2+AD2＝OA2，即（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10（m）．
故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（　　）

A．52° B．57° C．66° D．78°
【分析】可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝38°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：∵＝＝，∠COD＝38°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝38°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝66°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣66°）＝57°．
故选：B．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣2 B． C．π﹣4 D．
【分析】先证得△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求得．
【解答】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB＝2，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝π×22﹣×2×2＝π﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝130°，则∠BOD＝（　　）

A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝130°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝50°，
由圆周角定理得，2∠A＝∠BOD＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA?QC＝QP?QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m?QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．

【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆
D．圆有且只有一个内接三角形
【分析】根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；
C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．
9．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC＝120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC＝∠BOC＝60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
【解答】解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝2，
∴OD＝1，
∴DC＝，
∴BC＝2DC＝2，
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握垂径定理是关键，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到△ODC是30°的直角三角形，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得到OD的长，从而得出弦BC的长．
10．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）

A． B． C．4 D．2+
【分析】根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．
【解答】解：如图：BC＝AB＝AC＝1，
∠BCB′＝120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．
二．填空题（共8小题）
11．如图所示，三圆同心于O，AB＝4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为　π　cm2．

【分析】根据圆的对称性可得图中阴影部分的面积正好是圆的面积的阴影部分的面积应等于圆面积的．进而就可以求得．
【解答】解：阴影部分的面积应等于＝圆＝π（4÷2）2＝πcm2．
【点评】圆是轴对称图形，两条互相垂直的直径是这个圆的对称轴．注意把不同的部分转移到一个图形中作答．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝3，则⊙O的直径为　15　．

【分析】连接OC，由垂径定理可知点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE＝OB﹣BE＝OC﹣BE，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．
【解答】解：连接OC，
∵弦CD⊥AB，CD＝12，
∴CE＝CD＝6，
在Rt△OEC中，
设OC＝r，则OE＝r﹣BE＝r﹣3，
∵OC2＝CE2+OE2，即r2＝62+（r﹣3）2，解得r＝，
∴直径AB＝2r＝15．
故答案为：15．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为　4　m．

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD＝8．
∴OD＝＝6m，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为：4．
【点评】此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
14．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是　30或150　度．
【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60°，所以弦所对的圆周角为30°或150°．
【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ADB＝150°．

【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝　40°　．

【分析】首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD＝90°，又由圆周角定理，可得∠D＝∠ABC＝50°，继而求得答案．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠ABC＝50°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°．
故答案为：40°．

【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
16．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝　70°　．

【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．
【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．
17．如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE＝3，AE＝4，DE＝2，则⊙O的半径是　4　．

【分析】利用相交弦定理，可以求出CE的长，从而知道CD的长，就可求出⊙O的半径．
【解答】解：根据相交弦定理，AE?BE＝CE?DE，
又∵BE＝3，AE＝4，DE＝2，
∴CE＝6
∴CD＝CE+DE＝8
那么圆的半径等于4．
故此题应该填4．
【点评】此题考查了相交弦定理，先求出直径，再得出半径．
18．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　5　．

【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，

以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数．

【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A＝90°﹣∠B＝65°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°
∴∠A＝90°﹣∠B＝65度．
∵CA＝CD
∴∠CDA＝∠CAD＝65°
∴∠ACD＝50°
即弧AD的度数是50度．
【点评】知道弧的度数等于它所对的圆心角的度数．综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F
（1）求证：FC＝FB；
（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．

【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到＝，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．
【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴＝，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．
（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，
OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r2＝（r﹣8）2+122，
解方程得：r＝13．
所以⊙O的直径为26．

【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．
21．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．

【分析】先根据垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF＝4m，FO＝DO﹣2，
在Rt△DFO中，DO2＝FO2+DF2，则DO2＝（DO﹣2）2+42，解得：DO＝5；
答：所在⊙O的半径DO为5m．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
22．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．

【分析】利用SAS证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BC．
【解答】证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD．
在△AOD与△BOC中，
∵，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
∴AD＝BC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
23．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
【解答】证明：连接AC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC．

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．

【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵M为中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴BM＝CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∵＝＝＝，
∴＝+＝，
∴的长＝××4π＝×4π＝π．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
25．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：
（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）
（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；
（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．

【分析】（1）本题AB⊥DE，满足垂径定理，可以写出垂径定理的结论；
（2）根据三角形相似就可以证出；
（3）若点C和点E重合，设∠BAC＝x，又D是的中点，根据2∠CAD＝∠CAD+ACD＝180°﹣∠ABC，就可以求出∠BAC的度数．
【解答】解：（1）弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等．
（写对一个给（1分），写对两个给2分）

（2）如图，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P．
结论：PA?PB＝PC?PD．
证明：连接AD，BC，
∵∠APD＝∠BPC，∠D＝∠B
∴△APD∽△BPC
∴PA?PB＝PC?PD；

（3）若点C和点E重合，
则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称，（8分）
设∠BAC＝x，则∠BAD＝x，∠ABC＝90°﹣x，（9分）
又D是的中点，所以2∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝180°﹣∠ABC，
即2?2x＝180°﹣（90°﹣x），（10分）
解得x＝∠BAC＝30°．（11分）
（若求得AB＝或AF＝3?FB等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明．）
【点评】本题主要考查了垂径定理以及相交弦定理的证明过程，正确理解题意，读懂图意是解决本题的关键．
26．如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB＝90°．

【分析】连接MH，EH，由直角三角形斜边中点的性质，得MH＝MA＝MD，则∠MHD＝∠MDH，由圆内接四边形的性质，得∠HEC＝∠MDH，即∠MHD＝∠HEC，利用互补关系可证∠MHC＝∠MEH，又公共角∠CMH＝∠HME，可证△CMH∽△HME，利用相似比得MH2＝ME?MC，而MH＝MA，故MA2＝ME?MC，将问题转化到△CMA与△AME中，利用公共角证明△CMA∽△AME，可得∠MCA＝∠MAE，利用角的相等关系转化，证明∠BHE+∠BAE＝180°，可判断A，B，H，E四点共圆，证明结论．
【解答】证明：如图，连接MH，EH，
∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，
∴MA＝MH＝MD，
∴∠MHD＝∠MDH，
∵M，D，H，E四点共圆，
∴∠HEC＝∠MDH，
∴∠MHD＝∠MDH＝∠HEC，
∴∠MHC＝180°﹣∠MHD＝180°﹣∠HEC＝∠MEH，
∵∠CMH＝∠HME，
∴△CMH∽△HME，
∴，即MH2＝ME?MC，
∴MA2＝ME?MC，
又∵∠CMA＝∠AME，
∴△CMA∽△AME，
∴∠MCA＝∠MAE，
∴∠BHE+∠BAE＝∠DHE+∠BAD+∠MAE＝∠DHE+∠MAC+∠MCA＝∠DHE+∠DME＝180°，
∴A，B，H，E四点共圆，
∴∠AEB＝∠AHB，
又∵AH⊥BH，
∴∠AHB＝90°，
∴∠AEB＝∠AHB＝90°．

【点评】本题考查了四点共圆，相似三角形的判定与性质．关键是利用直角三角形斜边上中线的性质证明角相等，证明三角形相似，再利用相似比，将线段转化，证明新的相似三角形，得出相等角，利用角的和差关系证明四点共圆．