2020年冀教新版八年级上册数学《第12章 分式和分式方程》单元测试卷（解析版）

2020年冀教新版八年级上册数学《第12章 分式和分式方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在式子，，，，，2a中，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B． C． D．
3．如果分式的值为零，则a的值为（　　）
A．±1 B．2 C．﹣2 D．以上全不对
4．与分式﹣的值相等的是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
5．将分式中的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
6．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝0 D．无解．
9．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
10．若分式方程有增根，则a的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．3
二．填空题（共8小题）
11．观察下列式子：，，，设n表示正整数（n≥4），用含n的等式表示这个规律是　 　．
12．使代数式有意义的x的取值范围是　 　．
13．若分式的值为0，则x＝　 　．
14．若x，则的值是　 　．
15．若x＝2是方程＝的解，则a＝　 　．
16．方程解是　 　．
17．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　 　．
18．使分式方程产生增根的m＝　 　．
三．解答题（共8小题）
19．已知y＝，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
20．问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
21．约分（1）；
（2）．
22．化简：（xy﹣x2）÷÷．
23．当m为何值时，关于x的方程无解？
24．解分式方程：﹣＝1．
25．解方程：．
26．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．



2020年冀教新版八年级上册数学《第12章 分式和分式方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在式子，，，，，2a中，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义：分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解：在所列代数式中，分式有，这2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，判断分母中是否含有字母是解题关键．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件可得1﹣2x≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≠0，
解得：x≠，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．如果分式的值为零，则a的值为（　　）
A．±1 B．2 C．﹣2 D．以上全不对
【分析】根据分式的值为零的条件可得：|a|﹣2＝0且a+2≠0，从而可求得a的值．
【解答】解：由题意得：|a|﹣2＝0且a+2≠0，
解得：a＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．与分式﹣的值相等的是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】依据分式的基本性质对分式进行变形即可．
【解答】解：﹣＝﹣＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是分式的值，依据分式的基本性质对分式进行适当变形是解题的关键．
5．将分式中的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
【分析】根据已知得出＝，求出后判断即可．
【解答】解：将分式中的x、y的值同时扩大2倍为＝，
即分式的值扩大2倍，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
6．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根；
②方程＝0的根为2，分母为0，所以是增根；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；
所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．
故选：A．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
7．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】依据不等式组无解，即可得到a≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a＞﹣12且a≠﹣4，进而得出﹣12＜a≤4且a≠﹣4，根据y＝+3是正整数，可得a＝﹣8，0，4．
【解答】解：由不等式组，可得
，
∵不等式组无解，
∴a﹣≤，
解得a≤4；
由分式方程，可得
y＝+3，
∵分式方程有正整数解，
∴y＞0且y≠2，
即+3＞0且+3≠2，
解得a＞﹣12且a≠﹣4，
∴﹣12＜a≤4且a≠﹣4，
∵+3是正整数，
∴a＝﹣8，0，4，
∴满足条件的所有整数a的个数为3个，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解、分式方程的解，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出a的范围．
8．分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝0 D．无解．
【分析】观察可得最简公分母为（x﹣2）（x﹣1），方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：分式方程，
两边分别乘以（x﹣2）（x﹣1），
可得：x﹣2＝2（x﹣1），
移项合并，解得：x＝0，
经检验x＝0是原分式方程的解．
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程解答本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意分式方程要验根．
9．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
【分析】根据方程特点设y＝，则原方程可化为2y﹣+3＝0，则y2+3y﹣5＝0．
【解答】解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
10．若分式方程有增根，则a的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：1+3x﹣6＝a﹣x，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入得：1+6﹣6＝a﹣2，
解得：a＝3，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二．填空题（共8小题）
11．观察下列式子：，，，设n表示正整数（n≥4），用含n的等式表示这个规律是　　．
【分析】观察等式可得等号前面的第一个因数与第二个因数的分子，等号右边的被减数，等号右边减数的分子相同；等号左右两边的分母均为前面所得的数加1．
【解答】解：得到规律为：．
【点评】解决本题的关键是得到等号左右两边的两个数之间的规律．
12．使代数式有意义的x的取值范围是　x≠2　．
【分析】分式有意义的条件：分母不等于0．
【解答】解：要使代数式有意义，则x﹣2≠0，x≠2．故答案为x≠2．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分母不为0．
13．若分式的值为0，则x＝　2　．
【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，所以，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得x＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
14．若x，则的值是　　．
【分析】直接将已知式子变形进而代入求出答案．
【解答】解：∵x，
∴x2+1＝3x，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式的值，正确把已知变形是解题关键．
15．若x＝2是方程＝的解，则a＝　1　．
【分析】按照一般步骤解方程，用含有a的代数式表示x，然后根据x＝2，求得a．
【解答】解：把x＝2代入方程整理得：3（x﹣a）＝x+1，
解得：x＝1.5a+0.5，
∵x＝2，
∴a＝1．
【点评】碰到两个未知字母时，应先化为整式方程求解，再根据解的情况作答．
16．方程解是　x＝4　．
【分析】观察可得方程最简公分母为x（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣1）得：
3x＝4（x﹣1），
整理、解得x＝4．
检验：把x＝4代入x（x﹣1）≠0．
∴x＝4是原方程的解，
故答案为：x＝4．
【点评】解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是原方程的根，因此要注意检验．
17．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　y2+4y+3＝0　．
【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力．关键是通过移项、整理，明确方程各部分与y的关系，用y代替，去分母，转化为整式方程．
【解答】解：根据等式的性质原方程可整理为x2﹣3x++4＝0．
把y＝x2﹣3x代入可得y++4＝0，
去分母得y2+4y+3＝0．
【点评】用换元法解分式方程是常用的方法之一，换元时要注意所设分式的形式及式中不同的变形．
18．使分式方程产生增根的m＝　3　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），
得x﹣2（x﹣3）＝m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣3）＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，m＝3，故a的值可能是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三．解答题（共8小题）
19．已知y＝，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
【分析】（1）y的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况；
（2）y的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论；
（3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0；
（4）分式无意义的条件是分母等于0．
【解答】解：当＜x＜1时，y为正数；
当x＞1或x＜时，y为负数；
当x＝1时，y值为零；
当x＝时，分式无意义．
【点评】本题主要考查了分式 的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，对这些条件的理解是解决本题的关键．
20．问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有﹣＝，由差的符号来判断两个分式的大小．
（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，
（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．
【解答】解：（1）＜（m＞n＞0）
证明：∵﹣＝，
又∵m＞n＞0，
∴＜0，
∴＜．

（2）根据（1）的方法，将1换为k，有＜（m＞n＞0，k＞0）．

（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：＞，
所以住宅的采光条件变好了．
【点评】本题考查分式的性质与运算，涉及分式比较大小的方法（做差法），并要求学生对得到的结论灵活运用．
21．约分（1）；
（2）．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变作答．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
22．化简：（xy﹣x2）÷÷．
【分析】先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母中的多项式分解因式，然后约分化简．
【解答】解：原式＝﹣x（x﹣y）?
＝﹣y．
【点评】本题主要考查了分式的除法运算，做题时把除法运算转化为乘法运算，然后进行解答．
23．当m为何值时，关于x的方程无解？
【分析】方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）把分式方程化为整式方程，得出x＝，再根据x＝2或x＝﹣2时方程无解，得出＝2或＝﹣2，求出m的值即可．
【解答】解：方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）去分母得，
2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
整理得，（1﹣m）x＝10，
解得：x＝，
∵1﹣m＝0时，无意义，
∴当m＝1时，原方程无解，
∵x＝2或﹣2时方程无解，
∴＝2或＝﹣2，
解得：m＝﹣4或m＝6，
∴当m＝1、m＝﹣4或m＝6时，关于x的方程无解．
【点评】本题考查了分式方程的解，要注意分式方程的解不能使最简公分母等于0．
24．解分式方程：﹣＝1．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，最后系数化成1，再进行检验即可．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），
x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，
x＝1，
检验：∵当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x＝1不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程的应用，解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程．
25．解方程：．
【分析】此题应先设3x﹣1为y，然后将原方程化为3y﹣2＝5解得y＝，最后求出x的值．
【解答】解：设3x﹣1＝y则原方程可化为：3y﹣2＝5，
解得y＝，
∴有3x﹣1＝，解得x＝，
将x＝代入最简公分母进行检验，6x﹣2≠0，
∴x＝是原分式的解．
【点评】本题主要考查用换元法解分式方程，求出结果一定要注意必须检验．
26．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：2x+4+mx＝3x﹣6，
由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣2，
当x＝2时，4+4+2m＝0，即m＝﹣4；
当x＝﹣2时，﹣2m＝﹣12，即m＝6，
综上，m的值是﹣4或6．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．