2020年冀教新版八年级上册数学《第15章 二次根式》单元测试卷（解析版）

2020年冀教新版八年级上册数学《第15章 二次根式》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次根式有意义的条件是（　　）
A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3
3．把a?的根号外的a移到根号内得（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
4．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，与之积为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
6．化简等于（　　）
A． B． C． D．
7．下列二次根式中，不能与合并的是（　　）
A． B． C．﹣ D．
8．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．3a2+4a2＝7a4 D．（3a3）2＝9a6
9．下面计算正确的是（　　）
A．÷＝3 B．3+＝3 C． ?＝ D．＝﹣2
10．若x+y＝3+2，x﹣y＝3﹣2，则的值为（　　）
A．4 B．1 C．6 D．3﹣2
二．填空题（共8小题）
11．当a＝﹣3时，二次根式的值是　 　．
12．二次根式有意义的条件是　 　．
13．＝　 　．
14．在下列二次根式，中，最简二次根式的个数有　 　个．
15．化简：（ +）（﹣）＝　 　．
16．化简：＝　 　．
17．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝　 　．
18．计算：﹣3＝　 　．
三．解答题（共8小题）
19．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
20．已知y＝++18，求代数式﹣的值．
21．观察下列各式，，…
按照上述三个等式及其变化过程，
①猜想5＝　 　，　 　＝15；
②试猜想第n个等式为　 　；
③证明②式成立．
22．2×÷5．
23．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）＝　 　；＝　 　
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
24．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
25．计算： +2﹣（﹣）
26．化简：．



2020年冀教新版八年级上册数学《第15章 二次根式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，针对四个选项进行分析即可．
【解答】解：A、二次根式无意义，故此选项错误；
B、如果a＜0二次根式无意义，故此选项错误；
C、因为x2≥0，则x2+1≥1，被开方数是正数，故此选项正确；
D、当x＜1时根式无意义，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
2．二次根式有意义的条件是（　　）
A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x+3≥0，求出即可．
【解答】解：∵要使有意义，必须x+3≥0，
∴x≥﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须a≥0．
3．把a?的根号外的a移到根号内得（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得a≤0，原式变形为﹣（﹣a）?，然后利用二次根式的性质得到﹣，再把根号内化简即可．
【解答】解：∵﹣＞0，
∴a＜0，
∴原式＝﹣（﹣a）?
＝﹣
＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质：＝a（a≥0）．
4．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数含开得尽的因数或因式，故A不符合题意；
B、被开方数含开得尽的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，故C符合题意；
D、被开方数含开得尽的因数或因式，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式．
5．下列二次根式中，与之积为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可．
【解答】解：A、，不是无理数，错误；
B、，是无理数，正确；
C、，不是无理数，错误；
D、，不是无理数，错误；
故选：B．
【点评】此题考查二次根式的乘法，关键是根据法则进行计算，再利用无理数的定义判断．
6．化简等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】先将被开方数化为假分数，再转化为二次根式的商，然后分母有理化．
【解答】解：原式＝＝＝＝．
故选：D．
【点评】解答此题不仅要熟悉最简二次根式和算术平方根的定义，还要熟悉二次根式的除法运算．
7．下列二次根式中，不能与合并的是（　　）
A． B． C．﹣ D．
【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答．
【解答】解：A、＝3，不能与合并，故本选项正确；
B、＝，能与合并，故本选项错误；
C、﹣＝﹣2，能与合并，故本选项错误；
D、＝3，能与合并，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
8．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．3a2+4a2＝7a4 D．（3a3）2＝9a6
【分析】分别根据二次根式的运算性质以及整式运算性质和幂的乘方与积的乘方等进行运算得出答案即可．
【解答】解：A. +不是同类二次根式，无法进行运算，故此选项错误；
B. +22＝+4＝4，故此选项错误；
C.3a2+4a2＝7a2，故此选项错误；
D．（3a3）2＝9a6，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减、整式的四则运算、幂的乘方与积的乘方等运算，熟练掌握运算性质是解题关键．
9．下面计算正确的是（　　）
A．÷＝3 B．3+＝3 C． ?＝ D．＝﹣2
【分析】分别利用二次根式混合运算法则求出答案．
【解答】解：A、÷＝＝3，正确；
B、3+无法计算，故此选项错误；
C、?＝，故此选项错误；
D、＝2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
10．若x+y＝3+2，x﹣y＝3﹣2，则的值为（　　）
A．4 B．1 C．6 D．3﹣2
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：∵x+y＝3+2，x﹣y＝3﹣2
∴原式＝＝＝＝1．
故选：B．
【点评】解答此题，要充分运用平方差公式，使运算简便．
二．填空题（共8小题）
11．当a＝﹣3时，二次根式的值是　2　．
【分析】将a＝﹣3代入已知二次根式，然后求被开方数的算术平方根即可．
【解答】解：∵a＝﹣3，
∴＝＝2；
故答案是：2．
【点评】本题考查了二次根式的定义．注意1﹣a是非负数．
12．二次根式有意义的条件是　x＞3　．
【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，解得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
13．＝　﹣2　．
【分析】根据简＝|a|得到原式＝|2﹣|，然后根据绝对值的意义去绝对值即可．
【解答】解：原式＝|2﹣|＝﹣（2﹣）＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了绝对值的意义．
14．在下列二次根式，中，最简二次根式的个数有　3　个．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：∵，，，
其他三个被开方数中不含开的尽的因数，
故答案为：3．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
15．化简：（ +）（﹣）＝　﹣1　．
【分析】利用平方差公式求解即可求得答案．
【解答】解：＝（）2﹣（）2＝5﹣6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二次根式的乘除运算．此题难度不大，注意掌握平方差公式的应用是解此题的关键．
16．化简：＝　　．
【分析】找分母的有理化因式，将原式分母有理化即可．
【解答】解：原式＝＝．
【点评】总结：有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．
17．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝　4　．
【分析】由两个最简二次根式与能合并，可得两个最简二次根式与是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程3a﹣1＝2a+3，解此方程即可求得答案．
【解答】解：∵两个最简二次根式与能合并，
∴两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣1＝2a+3，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
18．计算：﹣3＝　2　．
【分析】直接化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣3×＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
三．解答题（共8小题）
19．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴当a＝﹣时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
【点评】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
20．已知y＝++18，求代数式﹣的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y，根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
则x＝8，y＝18，
﹣＝﹣＝2﹣3＝﹣．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
21．观察下列各式，，…
按照上述三个等式及其变化过程，
①猜想5＝　　，　　＝15；
②试猜想第n个等式为　＝（n+1）　；
③证明②式成立．
【分析】①注意观察左边的被开方数是一个整数+分数，其分数的分子是1，分母比其整数大2．右边的结果根号外的比左边的整数大1，根号内的是左边的分数．
②观察给出的例子得出规律：（n≥1）．
③根据完全平方公式和二次根式的性质即可证明．
【解答】解：①猜想 5＝，＝15；
②根据规律，可以表示为：＝（n+1），
③验证如下：
左边＝＝＝（n+1）＝右边，等式成立；
【点评】本题考查了完全平方公式和二次根式的性质．解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．本题的规律为：从1开始，一个数n加上n+2的倒数再开方等于n+1乘以n+2的倒数再开方．
22．2×÷5．
【分析】本题需先根据二次根式的乘除法的法则分别进行计算，即可求出答案．
【解答】解：2×÷5
＝4×
＝
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要根据二次根式的乘除法的法则进行计算是本题的关键．
23．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）＝　　；＝　　
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
【分析】（1）将；分母有理化，有理化因式分别为，；
（2）被开方数是两个相邻的数，即，它的有理化因式为；
（3）由（1）（2）得，原式＝，合并可得结果．
【解答】解：（1）＝；＝

（2）

（3）
＝，
＝
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查分母有理化，找规律是解决此题的关键．
24．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
【分析】由同类二次根式的定义，可得方程组：，解此方程组即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
∴m＝±2，n＝±．
【点评】此题考查了同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
25．计算： +2﹣（﹣）
【分析】分别化简二次根式，进而合并求出即可．
【解答】解： +2﹣（﹣）
＝2+2﹣3+
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
26．化简：．
【分析】利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式＝﹣﹣
＝6﹣6﹣
＝6﹣7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．