2020年冀教新版八年级上册数学《第17章 特殊三角形》单元测试卷（解析版）

2020年冀教新版八年级上册数学《第17章 特殊三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（　　）

A．3对 B．4对 C．5对 D．7对
2．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
3．已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）

A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（　　）

A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm
5．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
6．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（　　）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
7．选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°
C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60° D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°
8．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（　　）
A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
9．用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°．证明的第一步是（　　）
A．假设三个内角都不大于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
10．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
二．填空题（共8小题）
11．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件　 　．（只需写出符合条件一种情况）

12．若等腰三角形的两边长为6和8，则其周长为　 　．
13．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是　 　．

15．用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设　 　．
16．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中　 　．
17．用反证法证明“a＞b”时，应先假设　 　．
18．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中　 　．
三．解答题（共8小题）
19．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求证：EB＝FC．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．

21．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
求证：△ABC是等腰三角形．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

23．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．
（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．
（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．
24．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
25．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果ab＜0，那么a+b＜0
反例：设a＝4，b＝﹣3，ab＝4×（﹣3）＝﹣12＜0，而a+b＝4+（﹣3）＝1＞0
所以，这个命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：
（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：
（画出图形，并加以说明）
26．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．



2020年冀教新版八年级上册数学《第17章 特殊三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（　　）

A．3对 B．4对 C．5对 D．7对
【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，△AOC≌△AOB，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵AC＝AB，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ADB；
∴CE＝BD，
∵AC＝AB，
∴∠CBE＝∠BCD，
∵∠BEC＝∠CDB＝90°，
∴△BCE≌△CBD；
∴BE＝CD，
∴AD＝AE，
∵AO＝AO，
∴△AOD≌△AOE；
∵∠DOC＝∠EOB，
∴△COD≌△BOE；
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴CF＝BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．
∵∠ABO＝∠ACO，AB＝AC，∠AOB＝∠AOC，
∴△AOB≌△AOC，
共7对，
故选：D．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、HL．做题时要由易到难，不重不漏．
2．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
【分析】分类讨论，①若40°是顶角；②若40°是底角，再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可求度数．
【解答】解：①若40°是顶角，则底角＝＝70°；
②若40°是底角，那么顶角＝180°﹣2×40°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，等腰三角形两个底角相等．
3．已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）

A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③
【分析】顶角为：36°，90°，108°的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．
【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（　　）

A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，再根据平行线的性质得出∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，从而证出DE＝DC，再根据BD是∠ABC的平分线证出∠ABD＝∠DBE，∠DBE＝∠BDE，最后求出BE＝DE＝DC，即可得出△CDE的周长．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝DC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBE．
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE＝DC＝5cm，
∴△CDE的周长为DE+DC+EC＝5+5+3＝13（cm），
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，关键是能在较复杂的图形中找出相等的角，证出等腰三角形．
5．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
C、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
D、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故错误．
故选：B．
【点评】主要考查学生对直角三角形的性质的理解及掌握．
6．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（　　）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可．
【解答】解：由题意可得：这种证明“是无理数”的方法是反证法．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的一般步骤是解题关键．
7．选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°
C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60° D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°
【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可．
【解答】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（　　）
A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：∠B≠∠C的反面是∠B＝∠C．
故可以假设∠B＝∠C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定∠B≠∠C的反面，是解决本题的关键
9．用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°．证明的第一步是（　　）
A．假设三个内角都不大于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即假设三个内角都大于60°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
10．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．
故选：D．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
二．填空题（共8小题）
11．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件　AC＝BD或BC＝AD或∠DAB＝∠CBA或∠CAB＝∠DBA　．（只需写出符合条件一种情况）

【分析】本题要判定△ABC≌△BAD，已知AC⊥BC，AD⊥DB，即∠C＝∠D＝90°，AB为公共边，故添加AC＝BD或BC＝AD或∠DAB＝∠CBA或∠CAB＝∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．
【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴∠C＝∠D＝90°
∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD
∴添加AC＝BD或BC＝AD或∠DAB＝∠CBA或∠CAB＝∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．
【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．若等腰三角形的两边长为6和8，则其周长为　20或22　．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当6为腰长时，周长为6+6+8＝20；
当8为腰长时，周长为8+8+6＝22；
故答案为20或22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是　等腰三角形或直角三角形　．
【分析】将a4+b2c2﹣a2c2﹣b4＝0因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．
【解答】解：∵a4+b2c2﹣a2c2﹣b4＝0
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0
∴（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0
∴a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【点评】此题主要考查学生对因式分解法，等腰三角形的判定及勾股定理的综合运用能力，关键是对等式进行合理的因式分解．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是　13cm　．

【分析】由平行和角平分线可得∠EDB＝∠EBD，可得DE＝BE，又由AB＝AC，DE∥AB可得∠DEC＝∠C，可得DE＝DC，则可求出△CDE的周长．
【解答】解：∵DE∥AB，BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE＝5cm，
∵AB＝AC，DE∥AB，
∴∠C＝∠ABE＝∠DEC，
∴DC＝DE＝5cm，且CE＝3cm，
∴DE+EC+CD＝5cm+3cm+5cm＝13cm，
即△CDE的周长为13cm，
故答案为：13cm．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到DE＝DC＝BE是解题的关键．
15．用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设　一个三角形中至少有两个钝角　．
【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．
【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．
故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．
【点评】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．
16．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中　三角形中每一个内角都小于60°　．
【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．
故答案为：三角形中每一个内角都小于60°．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
17．用反证法证明“a＞b”时，应先假设　a≤b　．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．
【解答】解：用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
18．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中　有两个角是直角　．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故答案为：有两个角是直角．
【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三．解答题（共8小题）
19．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求证：EB＝FC．

【分析】先根据角平分线上的点到两边的距离相等证得DE＝DF，再利用HL判定，Rt△DBE≌Rt△DCF，从而得到EB＝FC．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∴在Rt△DBE和Rt△DCF中

∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；
∴EB＝FC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．

【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；
（2）由AE＝5，△DCB的周长为16，即可求得△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；

（2）∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，EC＝EA＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长为：AC+BC+BD+DA＝10+BC+BD+DC＝10+16＝26．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】根据中点的定义可得到BD＝DC，再根据HL即可判定△BDE≌△CDF，从而可得到∠B＝∠C，根据等角对等边可得到AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵BD＝DC，DE＝DF，
∴△BDE≌△CDF，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
23．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．
（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．
（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．
【分析】（1）本题可以举出一个实例，让它满足题目的已知条件而结论不满足．相等的几个元素对应的位置不同，则两个三角形就不全等．
（2）要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a；然后根据三角形三边关系定理确定k的取值范围．
【解答】解：（1）如下图，△ABC与△A′B′C′是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的．（5分）（答案不唯一）


（2）容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的．（2分）
设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△A′B′C′的相似比为k，则k＞1．
∵△A′B′C′的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc
∴在△ABC中，与△A′B′C′中两边对应相等的两条边只可能是b与c
∵b＜c＜kc
∴在△A′B′C′中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb
∴．
∴由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△A′B′C′的相似比k．
下面考虑相似比k所受到的限制：
∵△ABC的三边长分别为a、ka、k2a，且a＞0，k＞1
∴a+ka＞k2a
解之得1＜k＜（注：≈1.618）（4分）
因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长ka、k2a．然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a．通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例．（1分）
【点评】本题主要考查了构造反例的方法．是较难把握的问题．
24．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
【分析】根据反证法的步骤进行证明．
【解答】证明：用反证法．
假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°．
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°．
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．
所以等腰三角形的底角是锐角．
【点评】反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
25．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果ab＜0，那么a+b＜0
反例：设a＝4，b＝﹣3，ab＝4×（﹣3）＝﹣12＜0，而a+b＝4+（﹣3）＝1＞0
所以，这个命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：
（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：
（画出图形，并加以说明）
【分析】（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数．
（2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如1±，两数相加就是有理数．
（3）此题主要是利用全等三角形的判定来证明，在这里注意，没有边边角定理．
【解答】解：（1）取a＝2，b＝﹣1，则a+b＝1＞0，但ab＝﹣2＜0．所以此命题是假命题．

（2）取a＝1+，b＝1﹣，a、b均为无理数．但a+b＝2是有理数，所以此命题是假命题．

（3）如图所示，在△ABC与△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，∠ABD＝∠ABC，但△ABC与△ABD显然不全等．
所以此命题是假命题．

【点评】本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明．
26．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，第二步得出矛盾：A+B+C＝90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．
【解答】证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
【点评】此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．