（新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册讲义：4.1.2　第2课时　指数函数的性质与图像的应用Word版含答案

第2课时　指数函数的性质与图像的应用
考点
学习目标
核心素养
与指数函数有关的复合函数
掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断
数学运算
指数函数性质的应用
能借助指数函数性质比较大小，会解简单的指数方程、不等式
数学运算
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝－2x是指数函数．(　　)
(2)函数y＝2x＋1是指数函数．(　　)
(3)函数y＝(－2)x是指数函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
(2019·南昌检测)如果指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，那么实数a的取值范围是(　　)
A．a<2 B．a>2
C．1解析：选C.由题意知0 (2019·吉林省实验中学期中)已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则A∩B＝(　　)
A．? B．{x|0C．{x|1解析：选D.因为函数y＝2x是增函数，所以B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，故A∩B＝{x|2 已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1，2]上的最大值为10，则a＝________．
解析：若a>1，则函数y＝ax在区间[－1，2]上是递增的，当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a>1，所以a＝.
若0答案：或
解指数方程
　解下列关于x的方程：
(1)81×32x＝；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
【解】　(1)因为81×32x＝，
所以32x＋4＝3－2(x＋2)，所以2x＋4＝－2(x＋2)，所以x＝－2.
(2)因为22x＋2＋3×2x－1＝0，
所以4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)．
所以2x＝，解得x＝－2.
(1)af(x)＝b型方程通常化为同底来解．
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．　
　解下列方程．
(1)33x－2＝81；
(2)＝；
(3)52x－6×5x＋5＝0.
解：(1)因为81＝34，所以33x－2＝34，
所以3x－2＝4，解得x＝2.
(2)因为＝，所以5＝5，
所以＝，解得x＝.
(3)令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
所以x＝1或x＝0.
指数函数单调性的应用
命题角度一：比较大小
　比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.
【解】　(1)因为1.7＞1，
所以y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
因为－2.5＞－3，所以1.7－2.5＞1.7－3.
(2)法一：因为1.7＞1.5，所以在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图像位于y＝1.5x的图像的上方．
而0.3＞0，所以1.70.3＞1.50.3.
法二：因为1.50.3＞0，且＝，
又＞1，0.3＞0，所以＞1，
所以1.70.3＞1.50.3.
(3)因为1.70.3＞1.70＝1，0.83.1＜0.80＝1，
所以1.70.3＞0.83.1.
当两个指数底数相同时，利用指数函数的单调性直接比较大小；当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.　
　比较下列各题中两个值的大小．
(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)，1.
解：(1)因为0＜0.8＜1，所以y＝0.8x在R上是减函数．
因为－0.2＜－0.1，所以0.8－0.2＝1.250.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)因为0＜＜1，所以函数y＝在R上是减函数．
又因为－π＜0，所以＞＝1，
即＞1.
命题角度二：解指数不等式
　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
【解】　(1)当0所以2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，因为a2x＋1≤ax－5，
所以2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．　
　已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
解析：因为a2＋a＋2＝＋>1，
所以(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>.
所以x∈.
答案：
命题角度三：与指数函数复合的单调性问题
　(1)求函数y＝的单调区间；
(2)求函数y＝－8·＋17的单调区间．
【解】　(1)y＝的定义域为R.
在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，
所以y＝在(－∞，3]上是增函数．
在(3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，
所以y＝在(3，＋∞)上是减函数．
所以y＝的增区间是(－∞，3]，减区间是(3，＋∞)．
(2)设t＝，又y＝t2－8t＋17在(－∞，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．
令≤4，得x≥－2.
所以当－2≤x12，
即4≥t1>t2，所以t－8t1＋17所以y＝－8·＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．
同理可得减区间是(－∞，－2)．
复合函数单调性问题归根结底是由x1　求下列函数的单调区间．
(1)y＝ax2＋2x－3；
(2)y＝.
解：(1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0所以当a>1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0(2)已知函数y＝的定义域为{x|x≠0}．
设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．
而根据y＝的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，所以原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
解析：选B.因为y＝0.5x在R上是减函数，且＞＞，
所以0.5<0.5<0.5.
2．方程42x－1＝16的解是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
解析：选B.42x－1＝42，所以2x－1＝2，x＝.
3．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选A.因为f(x)＝，0<<1，所以f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．
4．设0＜a＜1，则关于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3的解集为________．
解析：因为0＜a＜1，所以y＝ax在R上是减函数，
又因为a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，
所以2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
答案：(1，＋∞)
[A　基础达标]
1．下列判断正确的是(　　)
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
解析：选D.因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
所以0.90.3＞0.90.5.
2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是.
3．若＜，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：选B.因为函数y＝在R上为减函数，
所以2a＋1＞3－2a，所以a＞.
4．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)
A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2)
解析：选A.f(2)＝a－2＝4，a＝，f(x)＝＝2|x|，所以f(－2)＞f(－1)．
5．函数y＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解析：选A.函数的定义域为R.
设u＝1－x，y＝，因为u＝1－x在R上为减函数，
y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.
6．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．
解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图像和性质可得：2x＜1，2－x＞1，0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c.
答案：b＜a＜c
7．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．
解析：设t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，
所以t＝1或t＝－2.
因为t＞0，所以t＝－2舍去．所以t＝1，即2x＝1，所以x＝0.
答案：0
8．函数y＝3x2－2x的值域为________．
解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，
u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝，
所以函数y＝3x2－2x的值域是.
答案：
9．已知指数函数f(x)的图像过点P(3，8)，且函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围．
解：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)的图像关于y轴对称，所以g(x)＝，因此g(2x－1)＜g(3x)，即＜，所以2x－1＞3x，解得x＜－1.
10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1，1]上的最大值为14，求a的值．
解：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1，1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.综上所述，a＝3或.
[B　能力提升]
11．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A．a＞0 B．a＞1
C．a＜1 D．0＜a＜1
解析：选D.因为－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，
又f(x)＝a－x＝，
所以＞，
所以＞1，所以0＜a＜1.
12．已知函数f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数
D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数
解析：选A.令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.
13．(2019·河南省洛阳市期中)已知函数f(x)＝1＋a·＋.
(1)当a＝－2，x∈[1，2]时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上恒有－2≤f(x)≤3，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝1－2×＋＝－2×＋1＝.
令m＝，则y＝＝(m－1)2.
由x∈[1，2]，得m∈，
所以当m＝时，y取得最大值，ymax＝，当m＝时，y取得最小值，ymin＝，则函数f(x)的最大值为，最小值为.
(2)因为－2≤f(x)≤3?－2≤1＋a·＋≤3?－3－≤a·≤2－?－3·3x－≤a≤2·3x－，
所以－3·3x－≤a≤2·3x－在[1，＋∞)上恒成立，
所以≤a≤.
设3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t≥3.
设h(t)＝－3t－＝－(t≥3)，φ(t)＝2t－(t≥3)，
容易证明h(t)在[3，＋∞)上单调递减，φ(t)在[3，＋∞)上单调递增，
所以h(t)max＝h(3)＝－，φ(t)min＝φ(3)＝，
所以－≤a≤，即实数a的取值范围是.
[C　拓展探究]
14．设函数f(x)＝－.
(1)证明：函数f(x)是奇函数；
(2)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1，2]上的值域．
解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋
＝.
因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
所以函数f(x)在[1，2]上也是增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，
f(x)max＝f(2)＝.
所以函数f(x)在[1，2]上的值域为.