（新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册讲义：4．2.2　对数运算法则Word版含答案

4．2.2　对数运算法则
考点
学习目标
核心素养
对数运算法则
掌握对数运算性质，理解其推导过程和成立条件
数学运算
换底公式
掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值
数学运算
问题导学
预习教材P20－P23的内容，思考以下问题：
1．对数运算法则是什么？
2．换底公式是如何表述的？
1．对数运算法则
loga(MN)＝logaM＋logaN，
logaMα＝αlogaM，
loga＝logaM－logaN．
(其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R)
2．换底公式
logab＝．(其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)
■名师点拨
对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)
(2)logaxy＝logax·logay.(　　)
(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
计算log916·log881的值为(　　)
A．18　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选C.原式＝log3224·log2334＝log32·log23＝.
若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75等于(　　)
A．a＋b B．a－b C. D.
解析：选D.log75＝＝.
lg 20＋lg 50的值为________．
解析：lg 20＋lg 50＝lg 1 000＝3.
答案：3
具体数的化简求值
　计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
【解】　(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332
＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)
＝13log22＝13.
(3)原式＝
＝＝
＝＝.
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32
＝6·log23·＝6.

具体数的化简求值主要遵循两个原则：
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．　
　计算：(1)2log63＋log64；
(2)÷100－；
(3)log43·log98；
(4)log2.56.25＋ln －0.064.
解：(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)
＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝÷102×(－)＝lg 102÷10－1＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝log2.5(2.5)2＋－
＝2＋－
＝.
代数式的化简
命题角度一：代数式恒等变换
　化简loga.
【解】　因为>0且x2>0，>0，
所以y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga＝logax2＋loga－loga＝2loga|x|＋logay－logaz.

使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.　
　已知y>0，化简loga.
解：因为>0，y>0，所以x>0，z>0.
所以loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz.
命题角度二：用代数式表示对数
　已知log189＝a，18b＝5，求log3645.
【解】　法一：因为log189＝a，18b＝5，
所以log185＝b，
所以log3645＝＝＝
＝＝.
法二：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，
所以log3645＝＝
＝＝.
法三：因为log189＝a，18b＝5，
所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
所以log3645＝＝＝
＝＝.

用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．　
　已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
解：因为log23＝a，则＝log32，
又因为log37＝b，
所以log4256＝＝＝.
1．log5＋log53等于(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．log5
答案：A
2．(2019·广西南京市期中)在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a>5或a<2}
B．{a|2C．{a|2D．{a|3解析：选C.由题意得解得23．log29×log34等于(　　)
A.　　　　B. C．2　　　D．4
答案：D
4．log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0＝________．
解析：原式＝log333＋lg (25×4)＋2＋1＝＋2＋3＝.
答案：
[A　基础达标]
1．计算：＝(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选B.原式＝＝＝2.
2．计算：2log510＋log50.25＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C.原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
3．若a＞0，且a≠1，则下列说法正确的是(　　)
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析：选B.在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．
4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
解析：选A.因为a＝log32，
所以log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
5．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D.原式＝··＝··＝6.
6．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________．
解析：由a2＝(a＞0)得a＝，
所以log＝log＝2.
答案：2
7．lg ＋lg 的值是________．
解析：lg ＋lg ＝lg ＝lg 10＝1.
答案：1
8．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
解析：logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
答案：81
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg (xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg.
解：(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg＝lg (xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg＝lg －lg (y2z)
＝lg x－2lg y－lg z.
10．求下列各式的值：
(1)2log525＋3log264；
(2)lg (＋)；
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.
解：(1)因为2log525＝2log552＝4log55＝4，
3log264＝3log226＝18log22＝18，
所以2log525＋3log264＝4＋18＝22.
(2)原式＝lg (＋)2
＝lg (3＋＋3－＋2)
＝lg 10＝.
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2
＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2
＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
[B　能力提升]
11．若log5 ·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B.
C．25 D.
解析：选D.由换底公式，得··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
12．若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg (ab)＝lg a＋lg b；
②lg ＝lg a－lg b；
③lg＝lg ；
④lg (ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是(　　)
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
解析：选D.因为ab＞0，所以a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，所以①②中的等式不一定成立；因为ab＞0，所以＞0，lg ＝×2lg ＝lg ，所以③中等式成立；当ab＝1时，lg (ab)＝0，但logab10无意义，所以④中等式不成立．故选D.
13.＝________．
解析：＝＝＝＝＝1.
答案：1
14．计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64
＝÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
[C　拓展探究]
15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
所以t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
所以t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
所以lg (ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg (ab)·(logab＋logba)＝12.