六年级上册数学教案-5.5 解决实际问题

第五单元　圆
教 学 设 计
第5课时　解决实际问题
教学内容
　　人教版六年级上册教材第69~70页例3及相关练习。
内容简析
　　例题以中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计为情景,直观清晰地提出了需要解决的数学问题——求正方形与圆之间的那部分面积。两个图中的圆大小相同,但正方形的位置与大小都不同。很自然地引出一个问题:中间部分的面积与圆的面积有没有关系?有什么样的关系?例3给出一个特殊的圆半径——1 m,先解决特殊问题,在“反思”部分再讨论一般性的规律。教学中,引导学生根据图示寻找正方形与圆之间的关系。第一个图,很容易看出正方形的边长就是圆的直径;第二个图,正方形的边长不知道,不能用边长的平方直接计算面积。此时,就需要转换思路,将正方形看成两个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形(或四个小三角形)。在“回顾与反思”这一环节,继续延伸,进一步探讨一般化的结论。
教学目标
1.使学生理解内接正方形和外切正方形的含义,掌握圆与内接正方形、外切正方形之间的面积的计算方法。
2.经历问题解决的全过程,并在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律,提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.通过正方形性质的教学培养学生探究、推理、归纳、迁移等能力。
教学重点
　　掌握圆与内接正方形、外切正方形之间的面积的计算方法。
教学难点
　　在解决问题的基础上发现数学规律。
教法与学法
1.本课时解决圆与内接正方形、外切正方形之间的面积的计算时,引导学生在充分观察正方形与圆关系的基础上找出隐藏的条件,通过割补、转化的方式,寻找解决此类问题的一般思路,帮助学生建立数学模型。
2.本课时学生的学习主要是通过观察、讨论、交流、总结、归纳、抽象、概括等方法来学习圆与内接正方形、外切正方形之间的面积的计算,引导学生合作探究。
承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
情景展示法:播放课件,呈现中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计,引导学生比较两种设计的联系与区别,然后提出问题:如果两个圆的半径都是1 m,你能求出正方形和圆之间的面积吗?引出课题。
【品析:借助中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计,引导学生在观察的基础上将生活图形抽象成数学图形,在问题中激发学生学习的热情,使学生产生学习的需求。】
实物展示法:教师出示一枚外圆内方的铜钱,然后提问,有谁知道为什么铜钱会是外圆内方的吗?学生讨论后,教师可以为学生讲述关于“孔方兄”——方孔铜钱的由来。具体见本课时后的“备课资料包”。
【品析:通过讲述“孔方兄”的故事,既为学生补充了知识,同时引起学生学习数学的兴趣,尤其是在讲述了方孔的作用,会使学生记忆深刻,为后续的学习奠定基础。】
操作引入法:教师首先出示一个圆,提问:你能在圆里和圆外画出一个最大的正方形吗?(学生操作)请你找出正方形和圆之间的部分,(学生操作)如果圆的半径是1 m,那么正方形和圆之间的面积是多少?引出课题。
【品析:通过学生操作引入,帮助学生理清正方形和圆之间的关系,在动手操作中突出问题,引发学生的思考,提高学生解决问题的积极性。】
二、师生合作,探究新知
◎引领学生分析教材第69页例3中的主题图片,提取已知信息,并找出待解决的问题。
(1)整理获得的信息。
引导学生理解“外方内圆”和“外圆内方”,明确两种图形的样式。
(2)尝试画图。
引导学生画出“外方内圆”和“外圆内方”图形,并标出正方形和圆之间的部分,明确所求问题。
◎自主学习,分组讨论,探究解题方法。
1.观察两种类型图,明确基本思路。
图①　　　　　　　　　　　图②
(1)引导学生观察两种类型图,明确第一种计算方法:正方形的面积-圆的面积;第二种计算方法:圆的面积-正方形的面积。
(2)再次观察两种类型图,明确内接正方形和外切正方形的特征。
引导学生在观察的基础上,初步明确什么是内接正方形和外切正方形,都有什么特征。
提问:正方形的边长与圆的直径有什么关系?
明确:外切正方形的边长和圆的直径相等,内接正方形的对角线与圆的直径相等。
2.学生尝试解决外切正方形与圆之间的面积。
(1)通过观察,学生容易看出,正方形的边长就是圆的直径。
(2)外切正方形与圆之间部分的面积=正方形的面积-圆的面积。
(3)学生独立计算,集体订正。
3.学生尝试解决内接正方形与圆之间的面积。
(1)怎样求内接正方形与圆之间的面积?
再次明确:内接正方形与圆之间的面积=圆的面积-正方形的面积。
(2)正方形的面积怎样求?
学生讨论,明确不能用边长×边长直接求出正方形的面积。然后,小组合作讨论,思考:不能用边长×边长求出面积,怎样求出正方形的面积呢?
引导学生,将正方形转化为2个三角形或4个三角形。
观察提示:
(3)学生尝试解决。
学生尝试练习。
4.变式练习。
(1)如果两个圆的半径是2 m或3 m,你还能求出正方形和圆之间的面积吗?
(2)观察比较,分组练习,提问:你有什么发现?
引导学生明确:圆的半径发生了变化,但思路没有变化。
5.回顾与反思:形成一般性的结论。
(1)如果两个圆的半径都是r,结果又是怎样的?
外切正方形与圆之间的面积:(2r)2-3.14×r2=0.86r2
内接正方形与圆之间的面积:3.14×r2-(2r×r÷2)×2=1.14r2
(2)当r=1 m、2 m、3 m时,和前面的结果完全一致吗?
学生用一般规律再次计算,比较发现。
◎生活中的数学。
学生阅读教材第70页的课外资料,了解圆在生活中的应用。
三、反馈质疑,学有所得
　　在学习例3的基础上,引导学生充分经历外方内圆、外圆内方两种实际问题的计算过程,引导学生对知识点及时消化吸收,教师提出质疑问题。
质疑:怎样计算外方内圆、外圆内方中正方形和圆之间的面积?
　　学生在讨论后明确:要求正方形和圆之间的面积,关键在于转化。外方内圆中,正方形的边长实际就是圆的直径,因此正方形和圆之间部分的面积,就是用正方形的面积减去圆的面积;在外圆内方中,可以把正方形转化成两个三角形,三角形的底和高分别是圆的直径和半径,从而求出正方形的面积,再用圆的面积减去正方形的面积即可。
【品析:通过反馈质疑,帮助学生进一步巩固两种实际问题的解决策略,形成能力,突出学生的思考。】
四、巩固应用,内化提升
1.完成教材第70页“做一做”。
独立完成,集体交流。
【参考答案】
24÷2=12(cm)
3.14×122-24×12÷2×2=164.16(cm2)
2.完成教材第72页“练习十五”第9题。
独立完成,集体交流。追问:这道题能用我们的一般结论去解答吗?为什么?
引导学生明确,正方形并非圆的内接正方形。
3.完成教材第73页“练习十五”第10题。
独立完成,集体交流。提问:周长是哪些部分?面积呢?你是怎样计算的?
4.完成教材第73页“练习十五”第11题。
独立完成,集体交流。提问:怎样计算?
【参考答案】
9.22.5÷2=11.25(mm)　3.14×11.252-6×6=361.40625(mm2)
10.3.14×32×2+100×2=400.96(m)　3.14×322+100×(32×2)= 9615.36(m2)
11.3.14×1×2=6.28(m)　3.14×(1÷2)2×2+1×1=2.57(m2)
五、课末小结,融会贯通
通过本节课的学习,你有什么收获?
【品析:通过总结巩固“外方内圆”“外圆内方”两种情况面积的计算方法。】
六、教海拾遗,反思提升
本课教学内容紧密联系生活实际和学生已有的知识,让学生在充分观察的基础上发现、比较内接正方形与外切正方形的特征,通过寻求圆与正方形之间的关系,运用转化思想解决问题。教学中渗透“转化”思想,重视自主探究,发挥学生主体性,引导学生在操作中明确正方形和圆之间的部分,突出解决问题的思路,使学生经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习,提高了学生的实践能力和创新意识。在问题解决后,引导学生进行变式练习,引导学生在充分掌握算法思路的基础上,再次比较发现,形成一般结论。
我的反思:
板书设计
解决实际问题
　　　　　
练 习 十 五
题型结构分析
题号
题型
建议
1
填表
这两道题是对圆的周长和面积的巩固练习,难度不大,可在课堂上完成。
2
看图计算
3
解决问题
本题是圆在生活中的实际应用,实际是求半径是10 m的圆的面积,可在课堂上完成。
4
解决问题
根据周长求圆的面积,先要根据周长求出圆的半径。
5
解决问题
关于圆环面积的计算,难度不大,可在课堂上完成。
6
解决问题
圆环面积计算的变式题,和圆环面积的计算方法相同。
7
看图计算
左图求周长,右图求面积,要注意观察图形,找出隐藏信息再计算。
8
解决问题
找生活中的圆环,先测量尺寸,再进行计算。
9
解决问题
圆在生活中的应用,注意观察图形。
10
解决问题
计算组合图形的周长和面积,计算时注意不要把长方形的宽算进周长。
11
解决问题
花瓣状门洞,是由4个直径相同的半圆和一个正方形组成的。
12
解决问题
外围形状是圆形的土楼,占地面积相当于一个圆环的面积。
13
解决问题
本题实际是求圆环的面积,可以根据题意画出示意图,再观察计算。
14
解决问题
圆在生活中的综合应用,有一定的难度。
15
填表
探究正方形和内部最大圆的面积关系,需要理清思路,再比较发现。
16
解决问题
探究周长一定时,怎样围图形的面积最大。
17
解决问题
利用上一题的结论,解释生活中的现象。
习题立体分析
第1、2题:这两题是圆周长和面积计算的基本巩固练习,学生可以直接运用公式进行计算。
第3题:本题是圆的面积的生活变式题,自动旋转喷灌装置所在位置就是圆心,射程就是圆的半径。
第4题:解答时先要根据圆的周长求出圆的半径,再根据圆的面积公式求出面积。
第5题:本题是圆环面积计算的对应练习,可以运用公式进行计算。此题告诉我们的是直径。
第6题:本题是圆环面积的变式题,和圆环面积的计算方法相同。
第7题:左图是一个半圆环,其周长是由大圆周长的一半、小圆周长的一半和两个圆环宽组成的。右图的面积则根据圆环面积公式求出。
第8题:本题是生活中圆环的实例。需要测量出必要的信息,再进行计算。
第9题:本题是外圆内方的一种典型素材,但与教材例题不同,正方形不是内接正方形,圆的直径与正方形的对角线没有直接的联系。
第10题:计算组合图形的周长和面积。需要学生充分观察图形,分别理解周长、面积各是图形的什么部分,由哪些部分组成,然后进行计算。
第11题:本题是花瓣状门洞,学生可以将生活原型抽象成数学图形,然后观察思考,转化成求两个直径是1 m的圆的面积和边长是1 m的正方形的面积之和。
第12题:圆环在生活中的实际应用。房屋的占地面积相当于一个圆环的面积,可以运用圆环的面积直接进行计算得出。
第13题:圆环面积的变式题,先要求出原来圆的半径,然后求出增加长度后的半径,最后求面积增加了多少。
第14题:本题是和篮球场3分线有关的数学知识。3分线内区域的面积相当于这个圆面积的一半加上一个长13.5 m、宽1.575 m的长方形的面积。
第15题:探究正方形和它内部最大圆的面积关系,它们的比是一个固定的值,是4∶π。
第16题:探究当周长一定时,围成什么图形的面积最大。引导学生通过实验的方法,假设用这根绳子围成正方形、长方形、三角形、圆等,再分别计算出它们的面积。
第17题:运用第16题的结论解释生活中的实际问题。
习题参考答案
1.填表略
2.3.14×10=31.4(cm)　3.14×(10÷2)2=78.5(cm2)　2×3.14×3=18.84(cm)
3.14×32=28.26(cm2)
3.31.4×102=314(m2)
4.125.6÷3.14÷2=20(cm)　3.14×202=1256(cm2)
5.18÷2=9(cm)　7÷2=3.5(cm)　3.14×(92-3.52)=215.875(cm2)
6.6÷2=3(cm)　3.14×62-3.14×32=84.78(cm2)
7.(3.14×8+3.14×12)÷2+(12-8)=35.4(cm)　3.14×(122-82)=251.2(cm2)
8.略
9.22.5÷2=11.25(mm)　3.14×11.252-6×6=361.40625(mm2)
10.3.14×32×2+100×2=400.96(m)　3.14×322+100×(32×2)= 9615.36(m2)
11.3.14×1×2=6.28(m)　3.14×(1÷2)2×2+1×1=2.57(m2)
12.3.14×[(33÷2)2-(14÷2)2]-3.14×[(26.4÷2)2-(14.4÷2)2]=316.669(m2)
13.62.8÷3.14÷2=10(m)　10+2=12(m)　3.14×(122-102)=138.16(m2)
14.3.14×6.75×2÷2+1.575×2≈24.35(m)
3.14×6.752÷2+1.575×6.75×2≈92.80(m2)
15.表格略,比都是4∶π。
16.周长一定,圆的面积最大。提示:可以通过假设计算后得出结论,围成的图形中圆的面积最大。
17.提示:蒙古包做成圆形的,可以增大居住面积;植物的根茎横截面是圆形,可以更多地吸收水分。