六年级上册数学教案-8.2 数与形(2)

第八单元　数学广角——数与形
教 学 设 计
第2课时　数与形(2)
教学内容
　　人教版六年级上册教材第107~108页例2及相关练习。
内容简析
　　例2教学等比数列之和等于1。教材让学生计算++++++…的得数,引导学生在计算的过程中发现+=,++= ,+++=,…
　　加数有规律,即后一个加数是前一个加数的;和也有规律,每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数;加数的项数越多,和越接近1。当这些加数无限地加下去,最后的和无限接近于1。为了引导学生理解这一抽象的规律,教材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型,在圆上和线段上表示出这些加数,使学生借助模型理解:无限加下去,最终的得数为1。
教学目标
1.在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系,寻找规律,发现规律,学会利用图形来解决一些有关数的问题。
2.让学生经历猜想与验证的过程,体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
教学重难点
　　探索数与形之间的联系,寻找规律,并利用图形来解决有关数的问题。
教法与学法
1.本课时教学等比数列之和等于1,先引导学生进行适当的计算,在计算过程中发现规律,然后引导学生对结果进行猜想,再结合直观图形进行验证,渗透极限思想。
2.本课时学生的学习主要是通过计算、观察、讨论、交流、猜想、验证、抽象、归纳等方法来学习,引导学生发散思维,合作探究。
承前启后链
教学过程
一、情景创设,导入课题
比赛引入法:教师出示一组算式,进行师生比赛。
+=　　　　　　++=　 　+++= ++++=
　　比赛后,学生发现教师算得速度快,然后谈话:想知道老师为什么算得这么快吗?其实老师掌握了这组算式中的一个小秘密,想知道吗?今天我们继续研究数与形的知识。
【品析:用比赛的形式,引发学生想要窥探教师心中的秘密的兴趣。】
情景展示法:播放课件,首先呈现圆,然后将圆的、、、……标出阴影部分,引导学生发现规律,然后呈现算式的形式,提出问题:你能算出阴影部分是圆的几分之几吗?(揭示课题)
【品析:用情景引入,让学生充分观察发现,渗透数学极限思想,同时,学生在观察中沟通了数与形的联系,对题目进行了猜想,激发了学生求知的欲望。】
二、师生合作,探究新知
◎引领学生分析教材第107页例2。
首先引导学生观察算式。
提问:你有什么发现?
预设:分数的分子都是1;后面的分母都是前面的分母乘2;有无数个数相加。
教师指出:这道算式很长,省略号后面还有算式,要想计算结果,我们不可能把每一个数都写出,因此,可以先分段计算,去发现规律。
1.分段计算。
师:你知道+等于多少吗?(学生:)
师:那++等于多少呢?(学生:)
观察这两组算式,你有什么想法?
学生隐约发现规律,结果的分子和分母相差1,结果的分母和最后分数的分母相同;结果是1减去最后一个分数。教师不作评价,指出:我们再算算看,下面的算式有这样的规律吗?
学生继续计算+++。然后发现结果是,进一步验证猜想正确。
然后教师出示:++++,你能用刚才的猜想算出结果吗?
学生算出结果后,再次计算验证。
2.观察分析算式,归纳规律。
通过刚才的计算,你发现了什么规律?
引导学生发现:按分子是1,分母依次扩大到原来的2倍的规律加下去,结果是1减最后一个分数。
【品析:将计算题分段计算,引导学生初步发现规律,将复杂变成简单,使学生的好奇心、求知欲在计算过程中层层推进,学生的思维逐步激活。】
◎借助正方形探究计算方法。
教师:通过刚才的计算,我们初步发现了一部分算式的规律,那么为什么有这样的规律呢?我们不妨用一个正方形来看一看。
(1)演示+:用一个正方形表示“1”,先取它的一半就是正方形的(涂红),剩下部分的一半就是正方形的(涂黄)。
想一想:正方形中表示+的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢?(涂色部分等于“1”减去空白部分)空白部分占正方形的几分之几?()那么涂色部分还可以怎么算呢?(1-)也就是说+=1-。
(2)继续演示++,谁知道除了通分,还可以怎么算?
根据学生回答,板书++=1-。
(3)演示+++,那么计算+++就可以得到(1-)。
(4)看到这儿,你发现什么规律了吗?
小结:按照这样的规律往下加,不管加到几分之一,只要用1减去这个几分之一,就可以得到
答案。
【品析:将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算,转繁为简,转难为易,引导学生探索数与形的联系,让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。】
◎知识提升,探索发现。
1.感受极限。
(1)刚才我们已经从一直加到了,如果我继续加,加到,得数等于几?()再接着加,一直加到,得数等于几?()随着不断继续加,你发现得数越来越怎么样?(大)。无数个这样的数相加,和会是多少呢?
(2)这时候你心中有没有一个大胆的猜想?(这样一直加下去,得数会等于1)
(3)想象一下:如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色,那空白部分的面积就越来越怎么样?(小)。而涂色部分的面积越来越接近几?(1),也就是得数越来越接近几?(1)。最终得数是1吗?你有什么方法来证明?
(预设:学生提出课本的圆形图和线段图,若没有学生提出,教师自己提出)
2.利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
(1)教材上有两幅图,我们一起来看看(课件出示)。一幅是圆形图,一幅是线段图,你能看懂它的意思吗?请你想一想,然后告诉大家你的想法。
(2)学生看书思考。全班交流,课件演示,得出结论:这些分数不断加下去,总和就是1。
【品析:利用数与形的结合,让学生直观体会极限数学思想,并让学生经历猜想得数等于“1”到数形结合证明得数等于“1”的过程,激发学生的学习兴趣,培养学生探索新知的精神。】
◎课堂小结,举一反三。
1.对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法,你有什么感受?
教师小结:“数”与“形”有着紧密的联系,在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时,你会发现许多难题的解决变得很简单。
2.其实在以前的学习中,我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题,你能想到些例子吗?(如果学生有困难,教师举例:分数的认识,复杂的路程问题线段图等)
【品析:让学生体会“数形结合”是数学学习中常用的方法。】
三、反馈质疑,学有所得
引导学生回顾例2的学习过程,对知识点进行整理,教师提出质疑问题,学生讨论、交流、提升。
质疑:有人认为:这道题的结果无限接近1,但永远不可能是1。这样的观点,你认同吗?
引导学生讨论交流,明确“无限”的概念,明确对于有限的算式,其结果越来越接近1,但对
于无限的算式,其结果就是1。
【品析:教学时,引导学生通过反馈质疑,进一步帮助学生体会“极限”思想,引导学生观察、讨论、猜想,进一步体会用数形结合方法解决问题的直观性,感悟数学的魅力。】
四、巩固应用,内化提升
1.完成教材第110页“练习二十二”第4题。
(1)全班读题,学生独立思考。
(2)指名回答。根据学生回答情况,课件演示。
2.完成教材第111页“练习二十二”第6题。
(1)全班读题,学生独立思考。
(2)指名回答。根据学生回答情况,连线(课件演示)。
(3)结合连线图得出:小刚一共下了2盘,分别和小林、小强下的。
【参考答案】　4.400 m　6.2盘　小强、小林。
【品析:通过练习,回顾新知,巩固新知,使学生对新知识掌握得更扎实,同时让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。】
五、课末小结,融会贯通
　　今天这节课,我们学习了“一列有规律的分数的求和”问题,你有什么收获?
【品析:引导学生明确,在探索规律时,要认真观察算式、图形的特点,数形对照,找出规律。】
六、教海拾遗,反思提升
　　本课教学着重引导学生在充分观察的基础上,分段进行计算,找出规律,然后层层推进,引导学生数形结合相互印证,促使学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。同时,引导学生从不同角度探索数与形的通用模式,掌握推理的方法,体验数学之美。
我的反思:
板书设计
数与形(2)
练习二十二
题型结构分析
题号
题型
建议
1
看图回答问题
此题学生看图比较容易找出规律,可以小组内讨论解决。
2
看图画一画,解决问题
先尝试画图,然后观察比较,解决问题。
3
看图解决问题
先画图然后观察比较,还可以根据图形的变化规律解决。
4
解决问题
充分理解题意,抓住关键语句进行思考。
5
解决问题
熟读题意,同时理解图像表示的含义,解决问题。
6
解决问题
通过连线推理解决问题。
7
看图画一画
先观察数的特征,然后尝试写数。
8
解决问题
通过两种不同的形式计算大正方形的面积。
习题立体分析
第1题:本题是平方数的变式练习,外圈小正方形的个数就是内外两个正方形图中小正方形个数之差,经过整理,第n个图形的最外圈的小正方形个数就是8n。
第2题:观察图发现,后一个图比前一个图多了一行圆片,每个图形中下一行的圆片比上一行的圆片多一个,第n个图形中圆片的总数就是1+2+3+…+n。
第3题:观察三角形发现,每个图中小三角形的个数正好形成一个平方数列:第n个图,就有n2个小三角形。第n个图,边长就是n,周长就是3n。
第4题:“小亮走到马路一半的时候,小狗到达马路的终点”说明小狗的速度是小亮的2倍,所以小亮走完全程,小狗跑的路程是小亮的2倍,即200×2=400(m)。
第5题:充分观察图像,横坐标表示时间的推移,纵坐标表示离家距离的变化,将图像与描述对应比较。
第6题:可以运用连线的方式推理,当无法确定小强和谁下了3盘时,可以利用“小兵下了1盘”,排除小强、小芳、小刚和小兵下的可能性,从而巧妙解题。也可以列表推理解决。
第7题:观察三角形图,发现两边都是1,中间数都是上面双肩数之和,然后根据这样的规律写数。
第8题:用两种方法表示正方形的面积,即(a+b)2和a2+ab+ab+b2,所以(a+b)2=a2+2ab+b2。
习题参考答案
1.8个　16个　24个　40个　最外圈的小正方形个数是n的8倍,即8n。
2.画图略　15　21　28　1+2+3+…+10=55
3.三角形个数:1　4　9　16　周长:3　6　9　12
关系:把每个三角形图的周长除以3,再平方,就能得到小三角形的个数。
4.400 m
5.第二幅描述的是妈妈,第三幅描述的是爸爸,第一幅描述的是小兰。
6.2盘　小强、小林。
7.略
8.略