北师大版七年级下册数学教案：1．5平方差公式（第1课时）

课题：§1.5平方差公式（第一课时）
【北师大版七年级下学期】
内容分析
1.课标要求
乘法公式实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中经常用到，就把它们作为公式。《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式，也是最基本、用途最广泛的公式之一。
2.教材分析
知识与技能：七年级上册，学生已经学习了有理数运算、整式及其加减、一次方程等知识。而“平方差公式”是在学生已经掌握本章幂的运算、整式乘法等知识之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为今后学习因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.
过程与方法：学生在小学和上学期及前面的学习过程中，已经掌握用法则和运算律进行数的运算和整式的简单运算能力，同时积累了一定的归纳与推理能力。“平方差公式”是学生初中阶段学习的第一个公式.是从一般到特殊的认知规律的典型范例.作为程序性技能训练的“平方差公式”，其学习过程本质是归纳与推理的过程——程序的提炼是归纳的过程，程序的运用是演绎的过程．程序性技能训练的课型大致要经历程序的发现归纳、程序的合理性解释（证明）、程序的初步应用、程序的熟练应用（形成技能）等过程．其研究方法也能为后续学习“完全平方公式”等相关内容的带来借鉴作用。同时，通过运用平方差公式，进行简单的计算，提高运用法则进行运算能力.
情感态度与价值观：本节课平方差公式从一般到特殊的探索推导过程蕴含数学归纳思想。而在用图形面积的相等关系,从几何角度验证了平方差公式的正确性,感受几何直观作用同时，渗透了数形结合的思想，让学生体会到模型思想．

教学目标
1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；
2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；
3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.
解析：
?1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.
2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.
3、通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦.
教学策略
通过师生的共同探索，寻找简便方法灵活、快速应用平方差公式。
教学过程
一、自主探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

?



问题：1、两项乘以两项得到得项数是几项？
2、观察第（3）（4）（5）三个式子的左边具有什么共同特征？
3、它们的结果有什么特征？
4、能不能用字母表示你的发现？
5、你能不能用文字语言表示所发现的规律？

师生活动：先让学生观察后独立思考，再进行小组内交流讨论，鼓励学生用自己的语言表述到公式表示的过过渡，教师巡回引导，并集思广益。从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力。
学生通过自主探究、合作交流，发现规律：式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，即：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．
2、新知学习
例题1：利用平方差公式计算：
?
例题2：利用平方差公式计算：


【设计意图】通过例题讲解，让学生更加熟练掌握公式，并知道如何应用。

三、巩固应用
练习：


师生活动：请同学们做在作业本上，并抽四位学生到黑板上各完成一道计算题；下面的学生做完后跟黑板上的进行校对，如有发现错误，直接上来用红色笔进行修改。
【设计意图】通过练习，加深学生对公式的理解；通过对黑板上错题的修改，提高学生的自主检查能力。

四、引导发展
师生活动：通过刚才的练习，发现我们同学在第（4）小题部分学生很吃力，为此我们专门挑出来好好研究一下，现在请我们同学先独立思考这道题，并小组交流讨论解决，然后班级展示。
学生1：

学生2：


【设计意图】提供充分的时间，鼓励学生独立思考，合作探究，教师巡回引导，并集思广益。从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力。

五、剖析公式，发现本质
教师讲解：其实所有题型可以有一种简便方法直接套用，在讲这种方法之前请同学们回归公式，观察它的结构特征。
在平方差公式中，其结构特征为：
①左边是两个二项式相乘，其中“与”是相同项，“与”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即；
②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的和，明确公式中和的广泛含义，归纳得出：和可能代表数或式．

【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．

六、检测
1、判断下列算式能否运用平方差公式计算：
?

2、计算：

?

【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．

七、拓展深化，发展思维


八、总结概括，自我评价
这节课你有哪些收获？还有什么困惑？
【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．
?
九、课后作业?
必做题：P21习题1.9?? 1
?
选做题：1．，则A的末位数是_______．
【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．

十、成效评价
整体上下来，经过几番的练习与合作探究，学生大致可以很好的掌握公式，并灵活应用，但在细节方面容易出乎，比如括号问题。

十一、课后反馈
本节课学习了平方差公式：?，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。它是特殊的整式的乘法，运用这一公式可迅速而简捷地计算出符合平方差公式特征的多项式乘法的结果。运用公式的关键要看是否符合公式的特征，在课堂上，教师要引导学生注意观察平方差公式的结构特征，从而体会平方差公式的适用特点：即这两个数分别是什么。公式中的a、b不仅可代表具体的数字、字母、单项式，也可代表多项式。
教师要特别关注学生的学习过程（包括课堂上参与教学活动的程度、合作交流意识、独立思考的习惯、思维的水平等），要善于激发学生的自主学习，并重视平方差公式的探索、推导过程，让学生在观察、思考、讨论、回答、小结等数学活动中掌握新知。