北京课改版九年级数学上册第20章 《解直角三角形》单元综合测试卷 （含答案）

北京课改版数学九年级上册
第20章 解直角三角形
综合测试卷
（时间90分钟，满分120分）

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．cos 45°的值为(　　)
A. B. C. D．1
2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图1－X－2那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是(　　)

A. B. C. D.
3．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是(　　)
A. B. C. D.

4．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(　　)
A. B. C. D.

5．如图，一个斜坡长为130 m，坡顶到水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于(　　)
A. B. C. D.

6．点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
7．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)
A．2 m B．2 m C．(2－2)m D．(2－2)m

8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　)
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米

9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )
A．20米 B．10米
C．15米 D．5米

10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是(　　)
A. B. C. D.

二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝，则α＝________.
12．如图，在△ABC中， AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD＝，则sin C的值是__________．
13．在△ABC中，如果锐角∠A，∠B满足|tanA－1|＋(cosB－)2＝0，那么∠C＝________°.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，若sin∠CAM＝，则tan B＝________．

15．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．
16．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A＝(　　)
17．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为________．
18．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，P是OA上的一动点，N(3，0)是OB上的一定点，M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，则点P的坐标为________．

三．解答题（共7小题，66分）
19．(8分) 计算：
(1)(－2)3＋－2sin 30°＋(2 019－π)0；　　



(2)sin2 45°－cos 60°－＋2sin2 60°·tan 60°.



20．(8分) 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．



　




21．(8分) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．








22．(10分) 已知α为锐角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求的值．








23．(10分) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.求CD的长和四边形ABCD的面积．










24．(10分) 如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sin A＝，求AD的长．











25. (12分) 如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：
(1)树DE的高度；
(2)食堂MN的高度．






















参考答案：
1-5BCDBC 6-10 BBCAB
11. 80°
12. .
13.75
14.
15.30°
16.
17．12
18．(，)
19.解：(1)原式＝－8＋4－2×＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；
(2)原式＝()2－－＋2×()2×＝.
20．解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD.
∴∠DCB＝∠B.
∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，
∴∠DCB＝∠CAH.
∴∠B＝∠CAH.
在Rt△ACH中，AH＝2CH，
∴AC＝CH.
∴sin B＝sin ∠CAH＝＝.
21．解：由2a＝3b，可得＝.
设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，由勾股定理，
得c＝＝＝k，
∴sin B＝＝＝，
cos B＝＝＝，
tan B＝＝＝.
22．解：∵sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，
∴由求根公式，得
sin α＝＝.
∴sin α＝或sin α＝3(不符合题意，舍去)．
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝1－＝.
又∵cos α＞0，∴cos α＝.
∴
＝
＝
＝|sin α－cos α|
＝
＝.
23．解：如图，过点D作DH⊥AC于H.
∵∠CED＝45°，
DH⊥EC，DE＝，
∴EH＝DE·cos 45°＝×＝1，
∴DH＝1.
又∵∠DCE＝30°，
∴HC＝＝，CD＝＝2.
∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2，
∴AB＝AE＝2，
∴AC＝2＋1＋＝3＋，
∴S四边形ABCD＝×2×(3＋)＋×1×(3＋)＝.

24．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝，
∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6.
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝，∠E＝30°，
∴CE＝＝＝8.
∴BC＝BE－CE＝6－8.
(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝＝，∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x，
由勾股定理可得AB＝3x，
∴3x＝6，解得x＝2.
∴BE＝8，AE＝10.
∴tan E＝＝＝＝，
解得DE＝.
∴AD＝AE－DE＝10－＝.
25．解：(1)设DE＝x.
∵AB＝DF＝2，
∴EF＝DE－DF＝x－2.
∵∠EAF＝30°，
∴AF＝＝＝(x－2)．
又∵CD＝＝＝x，BC＝＝＝2，
∴BD＝BC＋CD＝2＋x.
由AF＝BD可得(x－2)＝2＋x，
解得x＝6(m)．
答：树DE的高度为6 m.
(2)如图，延长NM交DB的延长线于点P，则AM＝BP＝3.

由(1)知CD＝x＝×6＝2，
BC＝2，
∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2＋2＝3＋4.
∵∠NDP＝45°，
∴NP＝PD＝3＋4.
∵MP＝AB＝2，
∴NM＝NP－MP＝3＋4－2＝1＋4(m)．
答：食堂MN的高度为(1＋4)m.