（新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册讲义：5．3.3　古典概型Word版含答案

5．3.3　古典概型
考点
学习目标
核心素养
基本事件
了解基本事件的特点
数学抽象
古典概型的定义
理解古典概型的定义
数学抽象
古典概型的概率公式
会应用古典概型的概率公式解决实际问题
数学运算、数学建模
问题导学
预习教材P102－P107的内容，思考以下问题：
1．什么叫基本事件？它有什么特点？
2．什么叫古典概率模型？它有什么特点？
1．古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．
2．古典概型概率计算公式
假设样本空间含有n个样本点，事件C包含m个样本点，则P(C)＝．
■名师点拨
古典概型的判断
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
(1)基本事件个数有限，但非等可能．
(2)基本事件个数无限，但等可能．
(3)基本事件个数无限，也不等可能．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．(　　)
(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．(　　)
(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．(　　)
(4)一个古典概型的样本点数为n，则每一个样本点出现的概率都是.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
(2018·高考全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
解析：选D.将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的样本空间为{(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中事件A包含的样本点有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个，故P(A)＝＝0.3.故选D.
若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为，故选B.
从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个．
解析：(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．
答案：2
古典概型的判断
　判断下列试验是不是古典概型：
(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．
【解】　(1)每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．
(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．

古典概型的判断方法
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．　
　下列试验中是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
解析：选B.A项这个试验的结果只有两个，即“发芽”与“不发芽”，具备了有限性，而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该试验不是古典概型；B项具备“有限性”和“等可能性”；C项，点可以落在圆内任一位置，不具备有限性；D项，因为10环，9环，…，面积各不相同，故命中的概率不同，不具备“等可能性”．
古典概型的计算
　(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
【解析】　(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，样本空间为：{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个样本点，故所求概率P＝＝.
(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，故所求概率为.
【答案】　(1)C　(2)

求古典概型概率的步骤
(1)判断是否为古典概型．
(2)求样本空间包含的样本点个数n.
(3)算出事件A中包含的样本点个数m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.　
1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，样本空间为{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.故选C.
2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.如图可知从5个点中选取2个点的样本空间为{(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共10个样本点．
选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个样本点．故所求概率为＝.
古典概型的实际应用
　已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ⅱ)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【解】　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)(ⅰ)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的样本空间为
{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)}，共21种抽取结果．
(ⅱ)由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种结果．所以，事件M发生的概率P(M)＝.

(1)在建立概率模型时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．
(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①有限性；②等可能性．
(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．　
　一只口袋里装有形状大小都相同的6个小球，其中2个白球，2个红球，2个黄球，从中随机摸出2个球，试求：
(1)2个球都是红球的概率；
(2)2个球同色的概率；
(3)“恰有一个是白球”是“2个球都是白球”的概率的几倍？
解：记两个白球分别为a1，a2；两个红球分别为b1，b2；两个黄球分别为c1，c2，
从中随机取2个球的样本空间为{(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)}，共15个样本点．
(1)2个球都是红球为(b1，b2)共1个样本点，
故2个球都是红球的概率P＝.
(2)2个球同色的有：(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3个样本点，
故2个球同色的概率P＝＝.
(3)恰有一个是白球的有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8个样本点，其概率P＝；
2个球都是白球的有(a1，a2)，共1个样本点，其概率P＝，
所以“恰有一个是白球”是“2个球都是白球”的概率的8倍．
1．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)
①试验中所有样本点有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.
A．②④　　　　　　　　 B．①③④
C．①④ D．③④
解析：选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
2．下列是古典概型的是(　　)
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
A．①②③④ B．①②④
C．②③④ D．①③④
解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．
3．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.从1，2，3，4中任取两个不同数字构成一个两位数共有12种不同取法，其中大于30的为31，32，34，41，42，43共6种．故P＝＝.
4．据报道：2019年我国高校毕业生达834万人，创历史新高，就业压力进一步加大．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
解析：记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，样本点有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅有(丙，丁，戊)一种可能，所以A的对立事件A的概率为P(A)＝，所以P(A)＝1－P(A)＝.
答案：
[A　基础达标]
1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为＝.故选C.
2．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有样本点包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝.
3．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.
4．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一个解的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.点(a，b)取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.
5.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．
解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
答案：
6．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示).
解析：从五个点中任取三个点，构成样本点的总数为n＝10；
而A，C，E三点共线，B，C，D三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.
设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A，则A所包含的样本点数为m＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P(A)＝＝＝.
答案：
7．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
解析：样本空间为{(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)}，共10个样本点．相差0.3 m的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)两个样本点，
所以P＝＝.
答案：
8．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
解：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3，3)．
则中奖概率为P(B)＝＝.
9．某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
解：(1)设“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝.
又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－－＝.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点；
而“停车费之和为28元”的样本点有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，
所以所求概率为.
[B　能力提升]
10．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个，符合条件的两位数．
(2)当个位为偶数时，有5×5＝25个，符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.
11．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为(　　)
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．1
解析：选B.记3件合格品为a1，a2，a3，2件次品为b1，b2，则任取2件构成的样本空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个样本点．
记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个样本点．
故其概率为P(A)＝＝0.6.
12．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16上或其内部的概率是________．
解析：连续掷两次骰子，得到点数m，n记作P(m，n)，共有36种情况，其中点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16上或其内部的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8种情况，所以P＝＝.
答案：
13．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本点有：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个．
根据题意，这些样本点的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有：(A1，B2)，(A1，B3)，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
[C　拓展探究]
14．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上的数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1，4]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶．
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．
解：样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，
(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，共16个样本点．
(1)记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有(2，3)，(3，2)，(3，3)，共3个．
故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝.
(2)记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.
事件B包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个．
所以P(B)＝＝，
P(C)＝1－P(A)－P(B)＝.
所以P(B)即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率．