【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线与向量综合题

圆锥曲线与平面向量
考纲透析
考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.
圆锥曲线与平面向量的综合.
新题型分类例析
1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其
中O为原点）. 求k的取值范围.
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ① 设，则
而
于是
②
由①、②得
故k的取值范围为
3.设，为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，若，且.
（Ⅰ）求点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若A、B为轨迹C上的两点，满足，其中M（0，），求线段AB的长.
[启思]
4.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.
解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学
知识解决问题及推理的能力. 满分12分.
（1）解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为，代入，化简得
.
令A（），B），则
由与共线，得
又，
即，所以，
故离心率
（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为
设，由已知得
在椭圆上，
即①
由（1）知
[变式新题型3]
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线l与x轴相交于点A(–1，0)，过点A的直线与抛物线相交于P、Q两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若?=0，求直线PQ的方程；
（3）设=λ（λ>1），点P关于x轴的对称点为M，证明：=-λ.
.
6.已知在平面直角坐标系中，向量，且 .
（I）设的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.
7.已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，，.
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.
8. 已知点C为圆的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且，求△FOH的面积

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明
(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
10. 已知平面上一定点和一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.
(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；
点Ｏ是坐标原点，两点在点Ｐ的轨迹上，若求的取值范围．
11. 如图，已知E、F为平面上的两个定点 ，，且，·，（G为动点，P是HP和GF的交点）
（1）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与
（或的延长线）相交于一点，则＜（为的中点）．
12．已知动圆过定点，且与直线相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；
(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
13．已知若动点P满足
（1）求动点P的轨迹方C的方程；
（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线的距离的最小值.
19．如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=
椭圆F以A、B为焦点且过点D，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点E满足,是否存在斜率
两点，且
，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。
解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，
∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，
∴所求的椭圆方程为
（2）由已知,，设点P的坐标为，则
由已知得

则，解之得，
由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分
（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，
又∵点M在椭圆的长轴上，即
∴当时，椭圆上的点到的距离

又 ∴当时，d取最小值
2．解：（1）由，
得…………………………………………………………………3分
∴夹角的取值范围是（）
………………………………………………………………6分
（2）

…………………………………………………………………………………………8分
………………10分
∴当且仅当
或 …………12分
椭圆长轴

或
故所求椭圆方程为.或 …………14分
解： （Ⅰ）∵　·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，　　　 ……………………1分
又P、Q在抛物线上，
∴y12＝2px1，y22＝2px2，
∴ ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2　，
∴ |y1y2|＝4p2， 　 ……………………3分
又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1．　　　　　　　　　 ……………………4分
（Ⅱ）设E(a,0），直线PQ方程为x＝my＋a ,　　
联立方程组　 ,　　　　　　　　　 ……………………5分
消去x得y2－2pmy－2pa＝0　,　　　　　　　　 ……………………6分
∴　 y1y2＝－2pa , ①　　　　　　　　　 ……………………7分
设F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：
y1y3＝－2pb , ②　　　　　　　　　 ……………………8分
　　由①、②可得 ＝ , ③　　　　　　　　 ……………………9分
若 ＝3，设T(c,0)，则有
(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0),
∴　y3＝3y2　 即　＝3,　　④　　　　　 ……………………10分
　　将④代入③，得　b＝3a．　　　　　　　　　 ……………………11分
又由（Ⅰ）知，·＝0　,
∴　 y1y2＝－4p2，代入①，
得－2pa＝－4 p2　　∴　　a＝2p,　　　　　　 ……………………13分
∴ b＝6p,
故，在x轴上，存在异于E的一点F(6p,0)，使得 ＝3．　………………14分
注：若设直线PQ的方程为y＝kx＋b，不影响解答结果．
（Ⅰ）解：设　则
　　……………………………………………...2分
由　得　，　……………………………………………..4分
又　　即，……………6分
由　得　……………………………………………………..8分
（Ⅱ）设，
因为 ，故两切线的斜率分别为、……………………………10分
由方程组　得　 ………..12
当时，，，所以
所以，直线的方程是　　…………
解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：，--------2分
∵，∴，-----------------------------------4分
又得 ∴
∴，-------------------------------6分
∴所求椭圆C的方程为．------------------------------------------------7分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为
则，,
由－4得－，
∴点P的轨迹方程为------------------------------------9分
设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，
解得：，------------------------------11分
∵点在椭圆上，∴ ，整理得解得或
∴点P的轨迹方程为或，-------------------------------------------13分
经检验和都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为或．---
解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得， 即
又点Q是点P关于原点的以称点，
故点Q的坐标是（0，--m）,从而
=
=
=
=
=0，
所以
(Ⅱ) 由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。
由得，
所以抛物线在点A处切线的斜率为。
设圆C的方程是，
则
解之得
所以圆C的方程是，
解:(1)由,得: ,………（2分）
设,则,化简得: ,………（4分）
点P在椭圆上,其方程为.………（6分）
(2)设、，由得：，所以，、B 、C三点共线.且,得:,即: …（8分）
因为,所以 ①………（9分）
又因为,所以 ②………（10分）
由①-②得: ,化简得: ,………（12分）
因为,所以.
解得: 所以的取值范围为.
解：（1）如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，
建立平面直角坐标系。----------------------------------------1分
由题设，
∴，而-------------3分
∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆，
故点的轨迹方程是：-----------------4分
（2）如图2 ，设，，，
∴，且，--------------------------------6分
即
又、在轨迹上，
∴，
即，
---------------8分
代入整理得：
∵，∴．---------------------10分
∵， ，∴．
∵，∴
∴，即＜．---------------14
（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1,0） B(1,0) D(-1,) (1分)
设椭圆F的方程为 （2分）
得 （4分）
得
所求椭圆F方程 （6分）
（Ⅱ）由
显然
代入 （7分）
与椭圆F有两不同公共点的充要条件是
(8分)
即
设
(9分)
（10分）
（11分）
得 得 （12分）
代入
（13分）
又 （14分）
解法2， 设
得
①—② 得

设 得 ③ （9分）

得 得 ④ （11分）
由③、④得
且P（x0,y0）在椭圆F内部
得 （13分）
又 （14分）