人教版数学八年级上册：11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 教案
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| 名称 | 人教版数学八年级上册：11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 602.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-13 13:50:23 | ||
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文档简介
课题名称：11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
年级学科 八年级 教材版本 人教版
一、教学内容分析
本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。通过学习作图、观察与探究，会发现三角形的三条高所在的直线、三条角平分线、三条中线都各自交于一点，这为以后三角形的内心、重心等知识的学习打下一定的基础，另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的垫脚石。故学好本节内容是十分必要的。因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
二、教学目标
知识与技能目标?理解三角形的高、中线与角平分线的概念；会画三角形的高、中线与角平分线。? 过程与方法目标?通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力。提高观察能力，语言表达能力，发展推理能力。? 情感态度与价值观?通过作图、观察、比较、描述图形等数学活动，让学生感受数学的严谨性，图形中蕴含的规律性，提高学生学习数学的热情及大担探究新知识的创新能力。
三、学习者特征分析
对于前面刚刚说的学生对已有理论知识的掌握，因此他们已经具备了做一条已知线段的中点，过直线外一点做已知直线或线段的垂线，通过折纸的方法做角的平分线等基本能力。因此对本节课三角形的高、中线、角平分线内容的学习已经有了一定的基础。不过垂线与三角形的高有何异同，线段的中点与三角形的中线有着什么样的关系，角的平分线与三角形的角平分线有着怎样的区别与联系？都将在这节课的学习中找到答案。
四、教学过程
1.知识回顾 （1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形． （2）构成三角形的元素：① 三个顶点；② 三条边；③ 三个内角．（3）三角形三边的数量关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2.问题探究 探究一 三角形的高. 活动①回顾旧知 师：回顾构成三角形的元素并回忆小学时如何作出三角形的高. （1）三个顶点；三条边；三个内角．（2）过三角形一个顶点向它的对边画垂线段. 教师总结：从△ABC的顶点A向它所对的边BC画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫. 活动②画出以下三角形的高 AD、BE、CF.师问：一个三角形有几条高？三角形的高是什么线？三个图形的高有什么区别？它们在位置上有什么关系？ 学生抢答：看谁总结得最快最完整？ 学生回答：三角形有三条高，都是线段.锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形有两条高在边上，钝角三角形有两条高在三角形外部，每个三角形的三条高（或高所在的直线）都相交于一点. 教师总结：任意一个三角形都有三条高，三角形的高是线段；锐角三角形的高在三角形内部、直角三角形有两条高在边上、钝角三角形有两条高在外部；三角形的三条高（或高所在的直线）都相交于一点（如上图点O），锐角三角形的三条高相交于三角形内部一点、直角三角形的三条高相交于直角顶点、钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形外部一点. 【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到的感性认识转化为理性认识.探究二 三角形的中线与角平分线. ▲活动①大胆猜想，探究新知识师问：妈妈有一块三角形蛋糕，她想平均分给小明和小亮，并且两人所得蛋糕均为三角形，你能帮妈妈出主意吗？学生回答：找到一边的中点，然后和这边所对的顶点相连，沿着这条连线切割，所得的两个三角形面积相等. 师问：谁能帮妈妈验证这个方法合理吗？ 学生回答：分割后的两个三角形底相同，高相同，所以面积相等.【设计意图】通过探究，促使学生找到三角形边上的中点，为得出中线的概念作铺垫. 活动②反思过程，发现新概念. 教师展示新知：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. 师问：三角形的中线是什么线？一个三角形有几条中线？三角形的中线所分成的两个三角形面积有什么关系？学生回答：三角形的中线是线段，并且每个三角形都有三条中线.三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等，因为等底等高的三角形面积相等. 【设计意图】让学生更加全面的掌握中线的概念以及它平分三角形面积的性质. 活动③动手操作，大胆发现. 如图，画出三角形的三条中线，并认真观察三条中线的位置关系. 师问：你发现了什么？ 学生回答：三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点. 教师展示新知：三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心. 【设计意图】通过动手实践找到三角形的重心，深刻理解三角形的重心在三角形内部. 活动④集思广益，探究新知. 师问：请同学们画出三角形中∠A的平分线（量角器） 教师总结：如图，画∠B的平分线BD，交∠B所对的边AC于点D，所得线段BD叫做△ABC的角平分线. 师问：你能画出三角形另外的角平分线吗？ 学生展示： 师问：三角形的角平分线是什么线？与角平分线有什么区别？一个三角形有几条角平分线？在位置上有什么关系？ 学生回答：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，任何三角形都有三条角平分线，并且三条角平分线交于三角形内部的一点. 教师总结：任何三角形都有三条角平分线，并且都在三角形内部交于一点，我们把这个点称为三角形的内心（内切圆的圆心）三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线. 【设计意图】通过学生动手实践，掌握三角形的角平分线的概念，区别三角形的角平分线与角平分线的不同，并找到三角形的内心.为初三学习三角形的内切圆奠定基础. 探究三 利用三角形的高、中线及角平分线的概念解决问题.★▲ 活动① 三角形的高、中线、角平分线的概念及性质 例1如图（1）所示，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，则AB=2_____，BD=_____， AE= ______. 如图（2）所示，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=________，∠3= ______，∠ACB=2__________. 【知识点】 三角形的中线和角平分线的概念【解题过程】（1）因为AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2AF=2BF，BD=CD,AE=CE=AC；（2）因为AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠2，∠3=∠ABC，∠ACB=2∠4. 【思路点拨】已知三角形的中线，找准中点可得线段的数量关系；三角形的角平分线平分三角形的一个内角，所得的两个小角相等. 【答案】（1）AF或BF,CD,AC（2）∠2，∠ABC,∠4练习：如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.则BE=_____=________；∠BAD=________=_______；∠AFB=______=90°.【知识点】三角形的高、中线及角平分线的概念 【解题过程】因为AE是中线，则点E为BC的中点，所以BE=CE=BC；因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC；又因为AF是高，即 AF⊥BC，所以∠AFB=∠AFC=90°. 【思路点拨】运用高、中线、角平分线的概念进行求解. 【答案】BE=CE=BC；∠BAD=∠CAD=∠BAC_；∠AFB=∠AFC=90° 【设计意图】让学生熟练掌握三角形高、中线、角平分线的概念.能准确判定三角形的高、中线及角平分线. 活动② 三角形的中线运用 例2 在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AB的中点，则△AED的面积与△ACD的面积的数量关系为____________________. 【知识点】三角形的中线平分三角形的面积. 【解题过程】在△ABC中，AD是△ABC的中线，所以=；又因为E为AB的中点，所以== 【思路点拨】AD是△ABC的中线，所以AD平分△ABC的面积，同理DE也平分△ABD的面积. 【答案】= 练习：如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且=1,求. 【知识点】三角形的中线.【解题过程】∵D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，AF是△ABE的中线， 又∵=1，∴=2=2，=2=4，∴==8. 【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形的面积进行求解． 【答案】83. 课堂总结 知识梳理 （1）三角形的高、中线、角平分线的概念. （2）三角形的高所在直线相交于一点；三角形的中线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的重心；三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的内心. （3）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 重难点归纳 （1）三角形的高、中线、角平分线都是线段． （2）注意重心和内心分别是三角形的中线和角平分线的交点. （3）灵活运用三角形的高、中线、角平分线的概念解决有关问题.（三）课后作业基础型 自主突破1.至少有两条高在三角形内部的三角形是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.都有可能 【知识点】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高在位置上的区别. 【解题过程】锐角三角形的高都在三角形内部，直角三角形的高有两条在三角形的边上，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，而三角形有三条高，那么至少有两条高在三角形的内部的三角形为锐角三角形，故答案选B. 【思路点拨】分别画出锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的三条高即可. 【答案】B2.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC，BC的中点，以下说法正确的是（ ） A. BD是∠ABC的角平分线 B. BD是AC边上的中线 C. BD是AC边上的高 D. DE是△ABC的中线 【知识点】三角形的中线的概念 【解题过程】因为D、E分别是AC，BC的中点，所以BD是△ABC中AC边上的中线，DE是△BCD中BC边上的中线，故选B 【思路点拨】三角形边上的中点与它所对的顶点之间的连线为中线. 【答案】B3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，以下说法错误的是（ ） A.BD是∠ABC的角平分线 B.∠1=∠ABC C.AE是∠BAC的角平分线 D.AE是∠ABC的角平分线 【知识点】三角形的角平分线的概念 【解题过程】∵∠1=∠2，∴BD是∠ABC的角平分线，∠1=∠ABC；又∵∠3=∠4，∴AE平分角BAC，它与边BD交于点E，∴AE是∠BAC的角平分线，而不是∠ABC的角平分线，故答案选D 【思路点拨】三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【答案】D4.已知：AD是△ABC的中线，且AB=10cm，AC=8cm，则△ABD与△ACD的周长之差=____________cm. 【知识点】三角形中线的概念 【解题过程】∵AD是△ABC的中线，所以BD=CD,而AD=AD,∴△ABD与△ACD的周长之差为AB-AC=2cm. 【思路点拨】AD是三角形的中线，则点D为BC的中点. 【答案】2cm5.如图所示，在△ABC中∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点D的位置，则线段AC具有的性质是（ ） A.是边BD上的中线 B.是边BD上的高 C.是△BAD的角平分线 D.以上三种性质都具有 【知识点】翻折前后三角形的大小、形状不变，三角形的高、中线、角平分线的概念 【解题过程】把△ABC沿直线AC翻折180°∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴BC=DC，AC为△ABD的中线；∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴∠ACD=∠ACB=90°，AC⊥BD，AC为△ABD的高；∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴∠DAC=∠BAC，AC为△ABD的角平分线. 【思路点拨】翻折前后三角形的大小、形状不变，结合三角形高、中线、角平分线的概念即可判断. 【答案】D6.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，相等的角有____对，分别是____________、____________.相等的线段是___________. 【知识点】三角形的高、中线、角平分线的概念 【解题过程】∵AD是△ABC的高，∴∠BDA=∠ADC=90°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAE=∠CAE，则相等的角有两对；又∵AF是△ABC的中线，∴BF=CF. 【思路点拨】利用三角形的高、中线、角平分线的概念找相等的角与相等的线段. 【答案】两，∠BDA=∠ADC、∠BAE=∠CAE、BF=CF.能力型 师生共研 7.如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC=50°，则∠AOB=______. 【知识点】三角形的角平分线与高 【解题过程】在△ABC中，∵BE是三角形ABC的角平分线，又∵∠ABC=50°所以∠ABE=25°；∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=50°，在△ABD中，∵三角形三个内角之和为180°，∴∠BAD=180°-90°-50°=40°，同理在△ABO中，∠BOA=180°-∠ABO-∠BAO=180°-25°-40°=115°. 【思路点拨】根据AD是△ABC的高，得出∠ADB=90°，再由∠ABC=50°，利用三角形内角之和为180°，得出∠BAD=40°，BE是△ABC的角平分线，得出∠ABE=25°，再利用三角形内角之和为180°，从而计算出∠AOB的度数. 【答案】115° 8.如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且=16,则=__________. 【知识点】 中线平分三角形的面积. 【解题过程】∵D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，∴AD是△ABC的中线、BE是△ABD的中线、BF是△EBC的中线，又因为=16，∴===8,==4，==4,∴=+=8，∴==4. 【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形面积进行求解． 【设计意图】让学生灵活运用三角形的中线将三角形的面积平分这一知识点. 【答案】 4 探究型 多维突破 9.在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为28cm，求AD的长. 【知识点】三角形的中线的概念 【解题过程】在△ABC中，AB=AC，AD是中线，即BD=CD∵△ABC的周长为34cm，∴AB+BD=34÷2=17，又∵△ABD的周长为28cm，∴AD=28-17=11cm. 【思路点拨】根据三角形的中线的概念，得到BD=CD，再由AB=AC，可求出△ABC周长的一半，即AB+BD，再由△ABD的周长，求出第三边的长. 【答案】11cm 10.如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求（1）AD的长，（2）△ABE的面积. 【知识点】三角形的面积公式，三角形的高、中线 【解题过程】（1）已知∠CAB=90°，∴=ABAC=24，=ADBC=5AD,∴5AD=24，∴AD=4.8cm；（2）已知AE是△ABC的中线，∴AE平分△ABC的面积，∴==12 【思路点拨】根据同一个三角形的面积不变，建立等式，求出BC边上的高AD，再根据三角形的中线平分三角形的面积求出△ABE的面积. 【答案】(1)4.8cm (2)12 自助餐 1.如果一个三角形的三条高的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.都不可能 【知识点】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高在位置上的区别 【解题过程】锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,故选B. 【思路点拨】三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点的位置要根据三角形的形状而定. 【答案】B 2. 如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，M为AD中点，延长BM交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于N，以下正确的是（ ） A.AD是∠ABE的角平分线 B.BE是△ABD边AD上的中线 C.BE是△ABC边AC上的中线 D.CN是△ACD边AD上的高 【知识点】三角形的高、中线及角平分线的概念 【解题过程】在△ABC中，∠1=∠2，∴AD是∠BAC的角平分线，A选项错误；∵M为AD中点，∴BM为△ABD的中线，B选项错误；∵点E不是AC的中点，∴BE不是△ABC边AC上的中线，C选项错误；∵CF⊥AD于N，∴CN是△ACD边AD上的高. 【思路点拨】利用三角形的高、中线及角平分线的概念，仔细进行判断. 【答案】D 3.三角形的重心是（ ） A.三角形三条角平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C.三角形三边的高的交点 D. 三角形三边的垂直平分线的交点 【知识点】三角形的重心的定义 【解题过程】三角形的重心是三角形三条中线的交点 【思路点拨】重心的定义，注意不要和三角形的内心混淆. 【答案】B4.如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC=12cm，则AE=_______cm； 若∠ABC=74°，则∠ABD=_____________. 【知识点】三角形的角平分线与中线的概念 【解题过程】在△ABC中，BE是中线，∴E为AC的中点，又∵AC=12cm，∴AE=6cm；又∵BD是角平分线，所以BD平分∠ABC，又∵∠ABC=74°，∴∠ABD=37°. 【思路点拨】利用三角形的角平分线与中线的概念. 【答案】6cm；37°5.如图，△ABC中，AE，CD分别△ABC的高，若AB=6cm，AE=4cm，CD=2cm，求BC的长. 【知识点】钝角三角形的高，三角形的面积 【解题过程】△ABC中，AE，CD分别△ABC的高，=ABCD=BCAE,即6×2=4BC,∴BC=3cm 【思路点拨】会判断钝角三角形的高的位置，同一个三角形的面积不变. 【答案】3cm 6.小明想在如图所示的三角形纸片上涂上不同的四种颜色，为了使得每一种颜色所占板块的大小相等，需将该三角形均分为四等份，你能帮助小明设计两种以上的划分方案吗？
五、教学板书
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
年级学科 八年级 教材版本 人教版
一、教学内容分析
本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。通过学习作图、观察与探究，会发现三角形的三条高所在的直线、三条角平分线、三条中线都各自交于一点，这为以后三角形的内心、重心等知识的学习打下一定的基础，另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的垫脚石。故学好本节内容是十分必要的。因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
二、教学目标
知识与技能目标?理解三角形的高、中线与角平分线的概念；会画三角形的高、中线与角平分线。? 过程与方法目标?通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力。提高观察能力，语言表达能力，发展推理能力。? 情感态度与价值观?通过作图、观察、比较、描述图形等数学活动，让学生感受数学的严谨性，图形中蕴含的规律性，提高学生学习数学的热情及大担探究新知识的创新能力。
三、学习者特征分析
对于前面刚刚说的学生对已有理论知识的掌握，因此他们已经具备了做一条已知线段的中点，过直线外一点做已知直线或线段的垂线，通过折纸的方法做角的平分线等基本能力。因此对本节课三角形的高、中线、角平分线内容的学习已经有了一定的基础。不过垂线与三角形的高有何异同，线段的中点与三角形的中线有着什么样的关系，角的平分线与三角形的角平分线有着怎样的区别与联系？都将在这节课的学习中找到答案。
四、教学过程
1.知识回顾 （1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形． （2）构成三角形的元素：① 三个顶点；② 三条边；③ 三个内角．（3）三角形三边的数量关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2.问题探究 探究一 三角形的高. 活动①回顾旧知 师：回顾构成三角形的元素并回忆小学时如何作出三角形的高. （1）三个顶点；三条边；三个内角．（2）过三角形一个顶点向它的对边画垂线段. 教师总结：从△ABC的顶点A向它所对的边BC画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫. 活动②画出以下三角形的高 AD、BE、CF.师问：一个三角形有几条高？三角形的高是什么线？三个图形的高有什么区别？它们在位置上有什么关系？ 学生抢答：看谁总结得最快最完整？ 学生回答：三角形有三条高，都是线段.锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形有两条高在边上，钝角三角形有两条高在三角形外部，每个三角形的三条高（或高所在的直线）都相交于一点. 教师总结：任意一个三角形都有三条高，三角形的高是线段；锐角三角形的高在三角形内部、直角三角形有两条高在边上、钝角三角形有两条高在外部；三角形的三条高（或高所在的直线）都相交于一点（如上图点O），锐角三角形的三条高相交于三角形内部一点、直角三角形的三条高相交于直角顶点、钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形外部一点. 【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到的感性认识转化为理性认识.探究二 三角形的中线与角平分线. ▲活动①大胆猜想，探究新知识师问：妈妈有一块三角形蛋糕，她想平均分给小明和小亮，并且两人所得蛋糕均为三角形，你能帮妈妈出主意吗？学生回答：找到一边的中点，然后和这边所对的顶点相连，沿着这条连线切割，所得的两个三角形面积相等. 师问：谁能帮妈妈验证这个方法合理吗？ 学生回答：分割后的两个三角形底相同，高相同，所以面积相等.【设计意图】通过探究，促使学生找到三角形边上的中点，为得出中线的概念作铺垫. 活动②反思过程，发现新概念. 教师展示新知：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. 师问：三角形的中线是什么线？一个三角形有几条中线？三角形的中线所分成的两个三角形面积有什么关系？学生回答：三角形的中线是线段，并且每个三角形都有三条中线.三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等，因为等底等高的三角形面积相等. 【设计意图】让学生更加全面的掌握中线的概念以及它平分三角形面积的性质. 活动③动手操作，大胆发现. 如图，画出三角形的三条中线，并认真观察三条中线的位置关系. 师问：你发现了什么？ 学生回答：三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点. 教师展示新知：三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心. 【设计意图】通过动手实践找到三角形的重心，深刻理解三角形的重心在三角形内部. 活动④集思广益，探究新知. 师问：请同学们画出三角形中∠A的平分线（量角器） 教师总结：如图，画∠B的平分线BD，交∠B所对的边AC于点D，所得线段BD叫做△ABC的角平分线. 师问：你能画出三角形另外的角平分线吗？ 学生展示： 师问：三角形的角平分线是什么线？与角平分线有什么区别？一个三角形有几条角平分线？在位置上有什么关系？ 学生回答：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，任何三角形都有三条角平分线，并且三条角平分线交于三角形内部的一点. 教师总结：任何三角形都有三条角平分线，并且都在三角形内部交于一点，我们把这个点称为三角形的内心（内切圆的圆心）三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线. 【设计意图】通过学生动手实践，掌握三角形的角平分线的概念，区别三角形的角平分线与角平分线的不同，并找到三角形的内心.为初三学习三角形的内切圆奠定基础. 探究三 利用三角形的高、中线及角平分线的概念解决问题.★▲ 活动① 三角形的高、中线、角平分线的概念及性质 例1如图（1）所示，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，则AB=2_____，BD=_____， AE= ______. 如图（2）所示，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=________，∠3= ______，∠ACB=2__________. 【知识点】 三角形的中线和角平分线的概念【解题过程】（1）因为AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2AF=2BF，BD=CD,AE=CE=AC；（2）因为AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠2，∠3=∠ABC，∠ACB=2∠4. 【思路点拨】已知三角形的中线，找准中点可得线段的数量关系；三角形的角平分线平分三角形的一个内角，所得的两个小角相等. 【答案】（1）AF或BF,CD,AC（2）∠2，∠ABC,∠4练习：如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.则BE=_____=________；∠BAD=________=_______；∠AFB=______=90°.【知识点】三角形的高、中线及角平分线的概念 【解题过程】因为AE是中线，则点E为BC的中点，所以BE=CE=BC；因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC；又因为AF是高，即 AF⊥BC，所以∠AFB=∠AFC=90°. 【思路点拨】运用高、中线、角平分线的概念进行求解. 【答案】BE=CE=BC；∠BAD=∠CAD=∠BAC_；∠AFB=∠AFC=90° 【设计意图】让学生熟练掌握三角形高、中线、角平分线的概念.能准确判定三角形的高、中线及角平分线. 活动② 三角形的中线运用 例2 在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AB的中点，则△AED的面积与△ACD的面积的数量关系为____________________. 【知识点】三角形的中线平分三角形的面积. 【解题过程】在△ABC中，AD是△ABC的中线，所以=；又因为E为AB的中点，所以== 【思路点拨】AD是△ABC的中线，所以AD平分△ABC的面积，同理DE也平分△ABD的面积. 【答案】= 练习：如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且=1,求. 【知识点】三角形的中线.【解题过程】∵D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，AF是△ABE的中线， 又∵=1，∴=2=2，=2=4，∴==8. 【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形的面积进行求解． 【答案】83. 课堂总结 知识梳理 （1）三角形的高、中线、角平分线的概念. （2）三角形的高所在直线相交于一点；三角形的中线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的重心；三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的内心. （3）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 重难点归纳 （1）三角形的高、中线、角平分线都是线段． （2）注意重心和内心分别是三角形的中线和角平分线的交点. （3）灵活运用三角形的高、中线、角平分线的概念解决有关问题.（三）课后作业基础型 自主突破1.至少有两条高在三角形内部的三角形是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.都有可能 【知识点】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高在位置上的区别. 【解题过程】锐角三角形的高都在三角形内部，直角三角形的高有两条在三角形的边上，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，而三角形有三条高，那么至少有两条高在三角形的内部的三角形为锐角三角形，故答案选B. 【思路点拨】分别画出锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的三条高即可. 【答案】B2.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC，BC的中点，以下说法正确的是（ ） A. BD是∠ABC的角平分线 B. BD是AC边上的中线 C. BD是AC边上的高 D. DE是△ABC的中线 【知识点】三角形的中线的概念 【解题过程】因为D、E分别是AC，BC的中点，所以BD是△ABC中AC边上的中线，DE是△BCD中BC边上的中线，故选B 【思路点拨】三角形边上的中点与它所对的顶点之间的连线为中线. 【答案】B3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，以下说法错误的是（ ） A.BD是∠ABC的角平分线 B.∠1=∠ABC C.AE是∠BAC的角平分线 D.AE是∠ABC的角平分线 【知识点】三角形的角平分线的概念 【解题过程】∵∠1=∠2，∴BD是∠ABC的角平分线，∠1=∠ABC；又∵∠3=∠4，∴AE平分角BAC，它与边BD交于点E，∴AE是∠BAC的角平分线，而不是∠ABC的角平分线，故答案选D 【思路点拨】三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【答案】D4.已知：AD是△ABC的中线，且AB=10cm，AC=8cm，则△ABD与△ACD的周长之差=____________cm. 【知识点】三角形中线的概念 【解题过程】∵AD是△ABC的中线，所以BD=CD,而AD=AD,∴△ABD与△ACD的周长之差为AB-AC=2cm. 【思路点拨】AD是三角形的中线，则点D为BC的中点. 【答案】2cm5.如图所示，在△ABC中∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点D的位置，则线段AC具有的性质是（ ） A.是边BD上的中线 B.是边BD上的高 C.是△BAD的角平分线 D.以上三种性质都具有 【知识点】翻折前后三角形的大小、形状不变，三角形的高、中线、角平分线的概念 【解题过程】把△ABC沿直线AC翻折180°∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴BC=DC，AC为△ABD的中线；∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴∠ACD=∠ACB=90°，AC⊥BD，AC为△ABD的高；∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴∠DAC=∠BAC，AC为△ABD的角平分线. 【思路点拨】翻折前后三角形的大小、形状不变，结合三角形高、中线、角平分线的概念即可判断. 【答案】D6.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，相等的角有____对，分别是____________、____________.相等的线段是___________. 【知识点】三角形的高、中线、角平分线的概念 【解题过程】∵AD是△ABC的高，∴∠BDA=∠ADC=90°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAE=∠CAE，则相等的角有两对；又∵AF是△ABC的中线，∴BF=CF. 【思路点拨】利用三角形的高、中线、角平分线的概念找相等的角与相等的线段. 【答案】两，∠BDA=∠ADC、∠BAE=∠CAE、BF=CF.能力型 师生共研 7.如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC=50°，则∠AOB=______. 【知识点】三角形的角平分线与高 【解题过程】在△ABC中，∵BE是三角形ABC的角平分线，又∵∠ABC=50°所以∠ABE=25°；∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=50°，在△ABD中，∵三角形三个内角之和为180°，∴∠BAD=180°-90°-50°=40°，同理在△ABO中，∠BOA=180°-∠ABO-∠BAO=180°-25°-40°=115°. 【思路点拨】根据AD是△ABC的高，得出∠ADB=90°，再由∠ABC=50°，利用三角形内角之和为180°，得出∠BAD=40°，BE是△ABC的角平分线，得出∠ABE=25°，再利用三角形内角之和为180°，从而计算出∠AOB的度数. 【答案】115° 8.如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且=16,则=__________. 【知识点】 中线平分三角形的面积. 【解题过程】∵D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，∴AD是△ABC的中线、BE是△ABD的中线、BF是△EBC的中线，又因为=16，∴===8,==4，==4,∴=+=8，∴==4. 【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形面积进行求解． 【设计意图】让学生灵活运用三角形的中线将三角形的面积平分这一知识点. 【答案】 4 探究型 多维突破 9.在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为28cm，求AD的长. 【知识点】三角形的中线的概念 【解题过程】在△ABC中，AB=AC，AD是中线，即BD=CD∵△ABC的周长为34cm，∴AB+BD=34÷2=17，又∵△ABD的周长为28cm，∴AD=28-17=11cm. 【思路点拨】根据三角形的中线的概念，得到BD=CD，再由AB=AC，可求出△ABC周长的一半，即AB+BD，再由△ABD的周长，求出第三边的长. 【答案】11cm 10.如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求（1）AD的长，（2）△ABE的面积. 【知识点】三角形的面积公式，三角形的高、中线 【解题过程】（1）已知∠CAB=90°，∴=ABAC=24，=ADBC=5AD,∴5AD=24，∴AD=4.8cm；（2）已知AE是△ABC的中线，∴AE平分△ABC的面积，∴==12 【思路点拨】根据同一个三角形的面积不变，建立等式，求出BC边上的高AD，再根据三角形的中线平分三角形的面积求出△ABE的面积. 【答案】(1)4.8cm (2)12 自助餐 1.如果一个三角形的三条高的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.都不可能 【知识点】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高在位置上的区别 【解题过程】锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,故选B. 【思路点拨】三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点的位置要根据三角形的形状而定. 【答案】B 2. 如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，M为AD中点，延长BM交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于N，以下正确的是（ ） A.AD是∠ABE的角平分线 B.BE是△ABD边AD上的中线 C.BE是△ABC边AC上的中线 D.CN是△ACD边AD上的高 【知识点】三角形的高、中线及角平分线的概念 【解题过程】在△ABC中，∠1=∠2，∴AD是∠BAC的角平分线，A选项错误；∵M为AD中点，∴BM为△ABD的中线，B选项错误；∵点E不是AC的中点，∴BE不是△ABC边AC上的中线，C选项错误；∵CF⊥AD于N，∴CN是△ACD边AD上的高. 【思路点拨】利用三角形的高、中线及角平分线的概念，仔细进行判断. 【答案】D 3.三角形的重心是（ ） A.三角形三条角平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C.三角形三边的高的交点 D. 三角形三边的垂直平分线的交点 【知识点】三角形的重心的定义 【解题过程】三角形的重心是三角形三条中线的交点 【思路点拨】重心的定义，注意不要和三角形的内心混淆. 【答案】B4.如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC=12cm，则AE=_______cm； 若∠ABC=74°，则∠ABD=_____________. 【知识点】三角形的角平分线与中线的概念 【解题过程】在△ABC中，BE是中线，∴E为AC的中点，又∵AC=12cm，∴AE=6cm；又∵BD是角平分线，所以BD平分∠ABC，又∵∠ABC=74°，∴∠ABD=37°. 【思路点拨】利用三角形的角平分线与中线的概念. 【答案】6cm；37°5.如图，△ABC中，AE，CD分别△ABC的高，若AB=6cm，AE=4cm，CD=2cm，求BC的长. 【知识点】钝角三角形的高，三角形的面积 【解题过程】△ABC中，AE，CD分别△ABC的高，=ABCD=BCAE,即6×2=4BC,∴BC=3cm 【思路点拨】会判断钝角三角形的高的位置，同一个三角形的面积不变. 【答案】3cm 6.小明想在如图所示的三角形纸片上涂上不同的四种颜色，为了使得每一种颜色所占板块的大小相等，需将该三角形均分为四等份，你能帮助小明设计两种以上的划分方案吗？
五、教学板书
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线