1.1.1变化率问题(共36张PPT)

(共36张PPT)
第三章 导数及其应用
平均速度瞬时速度
平均变化率瞬时变化率
割线斜率切线斜率
导数
基本初等函数导数公式导数运算法则
导数的简单应用
微积分基本定理
定积分
曲边体形的面积
变速直线运动的路程
定积分在几何、物理中的应用











3.1 变化率与导数
新课导入




为什么在相同的时间内木块的位移不一样呢？
动动脑
观察

观察
为什么跳水运动员的速度越来越快呢？

解决以上2个问题,就需要我们来学习一种新的函数来解释这种现象！

问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
我们来分析一下：
气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm)
之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
我们来分析一下：
当V从0增加到1时,气球半径增加
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加
气球的平均膨胀率为
显然0.62>0.16

思考
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
你想对了吗？
问题2 高台跳水
想想运动员跳水的过程？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

请计算
0≦t≦0.5和1≦t≦2时的平均速度
在0 ≦t ≦0.5这段时间里
在1 ≦t ≦2这段时间里

探究
计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题？
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.

同学们，从上面的问题中能够发现什么共同点呢？

想一想

总结
以上两个问题都是求变化率，
我们可以用函数关系式y=f(x)来表
示. 那么变化率为
知识要点

上述问题中的变化率可用式子 表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.

很重要！
一般我们用Δx 表示 ， 即 .




是一个整体符号，而不是 与 相乘.
注意！
很重要！
例题1
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)及临近一点B(0,0),则Δy/Δx=( )
A. 3 B. 4 C. 1 D. -1
c
解：
=0-(-1)=1；
=0-（-1）=1；
思考
观察函数f(x)的图象

平均变化率

表示什么?








O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
X2-x1

f(x2)-f(x1)

直线AB的斜率

例题2
汽车在前两秒内速度由0增加到10m/s,在后两秒内增至30m/s,其运动状态如何呢？
如果我们用平均速度描述其运动状态，
前两秒内: v=5 (m/s)
后两秒内：v=10 (m/s)
你想对了吗？
例题3

想一想
你还能想到生活中类似的问题吗？举个例子吧！














课堂小结



我们把式子 称为函数 f(x)从 到 的平均变化 率 . （ average rate of change）
平均变化率的求解步骤：
（1）求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
（2）计算平均变化率

1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A（-1,-2）及临近一点B（-1+Δx,-2+Δy），则Δy/Δx=（ ）

A . 3 B. 3Δx-(Δx)2
C. 3-(Δx)2 D. 3-Δx
D
随堂练习



2 、函数 在区间 上的平均变化率是（ ）
A.4 B.2
C.
D.
B
3、函数 在区间[1，1.5]上的平均变化率为_______________.
5
解：由平均变化率的公式
4、已知函数 ,则变化率可用式子_____________，此式称之为函数从 到 的___________. 平均变化率可以表示为_____________.


平均变化率
你做对了吗？
5、过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q （1+Δx,1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
解： K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31.
6、已知一次函数 在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.



解：由平均变化率的含义可知该直线的斜率为2，设直线方程为y=2x+b,又因为直线经过点（0，2），代入方程得b=2. 则直线方程为：y=2x+2.
再见