1.3.1函数的单调性与导数(共40张PPT)

(共40张PPT)
3.3 导数在研究函数中的应用
导数应用的知识网络结构图：
旧知回顾
导数运算法则
旧知回顾
y
2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 (锐角/钝角)?
3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？
1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？
新课导入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数.
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
G 称为单调区间
G = ( a , b )
则 f(x) 在G上具有严格的单调性.
上面函数图像中，它表示高台跳水运动员的高度h随时间变化的函数
的图像.运动员从 起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间内，随着时间的变化，运动员离水面的高度发生什么变化？
通过观察图像，我们可以发现：
y
函数在R上
（-∞，0）
（0，+∞）
函数在R上
（-∞，0）
（0，+∞）
在某个区间（a，b）内，
①如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增.
②如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
2.回顾一下函数单调性的定义，利用平均变化率的几何意义，研究单调性的定义与其导数正负的关系？
已知导函数f’(x)下列信息：
①当10;
②当x>4,或x<1时，f’(x)<0;
③当x=4,或x=1时，f’(x) =0.
试画出函数f(x)图象的大致形状.
解 当10，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x>4或x<1时，f′ (x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减；
当x=4或x=1时，f′ (x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数f(x)图像的大致形状如右图所示.
令6x2－12x>0，解得x>2或x<0
∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；
当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
令6x2－12x<0，解得0∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数.
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
cosx-1
递减
（1）确定函数y=f(x)的定义域；
（2）求导数f’(x)；
（3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内 的部分为增区间；
（4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
如图1.3-6，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图像.
例4表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增与减，还可以看出其增减的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗？
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，函数的图像就比较“陡峭”，反之，函数的图像就“平缓”一些.如图所示.
课堂小结
一般地,函数的单调性与导数的关系：
利用函数的导数来研究函数的单调性.其基本的步骤为:
①求函数的定义域;
高考链接
（福建18）如果函数y=f(x)的图象如图1，那么导函数
的图象可能是（ ）
A
评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注意函数的单调性与导函数的正、负的关系.

A.
C
解析:由条件，函数 上是减函数，则 .
随堂练习
函数
在R上是减函数，则（ ）
D
设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f’(x)的图象可能是（ ）
D
已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，则k=____.
随堂练习
1
已知函数 ,则f(x)的单调减区间为____ .
随堂练习
确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9<0,解得1