1.4生活中的优化问题举例(共36张PPT)

(共36张PPT)
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题．解决这些问题具有非常重要的现实意义．
知识回顾
导数的单调性
新课导入
在过去的学习中，我们一般把优化问题转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最值问题．
导数是求函数最大（小）值的强有力的工具.如何学以致用，利用导数求解优化问题呢？
例1 铁桶的最大容积：
把边长为a的正方形铁皮减去六个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正六棱柱形容器（不计接缝），设被剪去的四边形的AB边长为x，容器为V(x).求x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.
则：
例2 海报版面设计
求导数，得
例3 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
那么瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大和最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
令
半径为2 cm时，利润最小，这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润为负.
半径为6 cm时，利润最大.
我们不用导数工具，直接从函数的图象上观察，你能发现什么？
从图象上容易看出，当r=3时,f(3)=0，即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值.
当r∈(0,2)时，f(r)是减函数，你能解释它的实际意义吗？
并不是瓶子越小，利润越大.当瓶子半径在（0,2）之间时，每瓶容量受限，导致售出的饮料量减少，或者人们不想买太小瓶的饮料，而影响利润.
例4 磁盘的最大存储量问题
计算机把信息存储到磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，几个基本单元通常称为比特(bit).
现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域.
是不是r越小，磁盘的存储量越大？
R为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存在任何信息）
为保障磁盘分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数.
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
这是一个典型的数学建模过程
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
解决数学模型
作答
温馨提示：用导数解决实际问题，要特别注意在实际问题中变量的取值范围.
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题
（2）建模
（3）解模
（4）回归
课堂小结
实际问题转化数学模型；
求解数学问题；
数学结果还原到实际问题之中
解决优化问题的步骤：
课堂习题
例1： 从长8cm，宽5cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
8cm
5cm
x
例2：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为： （ ），已知甲乙两地相距100千米，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
课堂答案
解：设剪去的正方形的边长为x cm,则箱子容积为：
令
得： （舍去）
例1
求函数的导数得：
例2
令 解得：
当x∈(0,80)时， ;
当x∈(80,120)时， .
∴在x=80时，取得极小值，也是最小值h(80)=11.25.