课件37张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第一章 空间几何体第三节 空间几何体的表面积与体积第一课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业4 （点击进入）word板块 课件39张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第一章 空间几何体第三节 空间几何体的表面积与体积第二课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业5 （点击进入）word板块 课件35张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第一章 空间几何体第三节 空间几何体的表面积与体积第三课时 球的体积和表面积目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业6 （点击进入）word板块 课时作业4 柱体、锥体、台体的表面积与体积(一)
基础巩固
1．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )
A．1 B. C. D.
解析：设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径为r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R，
V柱∶V锥＝πR2h∶πr2h＝3∶4，故选D.
答案：D
2．若一个圆台的正视图如图1所示，则其侧面积等于( )
图1
A．6 B．6π
C．3π D．6π
解析：圆台的两底面半径分别是1，2，高为2，
则母线长为＝，
则其侧面积等于π(1＋2)×＝3π.
答案：C
3．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
图2
A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
解析：由题意知该几何体为四棱柱，且四棱柱的底面是边长为3的正方形，侧棱长为3，所以所求表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18，故选B.
答案：B
4．若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B. C. D.
解析：设正方形的边长为a，圆柱的底面圆的半径为r，则2πr＝a，r＝，所以圆柱的底面积为，侧面积为a2，表面积与侧面积的比是＝.
答案：D
5．若半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．
解析：由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图3，设圆锥底面半径为r，高为h，
图3
则
解得
故它的体积为×π×12×＝.
答案：
6．若一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
解析：S柱＝2×π＋2π··a＝πa2，
S锥＝π＋π··a＝πa2.
∴S柱∶S锥＝2∶1.
答案：2
能力提升
1．如图4所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
图4
解析：若该几何体的俯视图是A，则该几何体是正方体，其体积V＝13＝1≠，所以A不是；若该几何体的俯视图是B，则该几何体是圆柱，其体积V＝π××1＝≠，所以B不是；若该几何体的俯视图是C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝×1＝，所以C是；若该几何体的俯视图是D，则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V＝(π×12×1)＝≠，所以D不是．
答案：C
2．如图5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最大的面的面积为( )
图5
A．8 B.4 C．12 D.6
解析：根据三视图可知，该多面体为棱长是4的正方体内的四面体D1ECC1(其中E为棱BB1的中点)，
图6
所以△D1C1C与△ECC1的面积均为×4×4＝8，
△D1C1E的面积为×4×＝4.
由勾股定理得D1C＝，CE＝，D1E＝6，
所以cos∠D1CE＝＝，
所以sin∠D1CE＝，
所以△D1CE的面积为×××＝12.故选C.
答案：C
3．(2019年吉林高三调研)某几何体的三视图如图7所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积( )
图7
A．2 B．1 C. D．2
图8
解析：由三视图可知：该几何体为四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD.∴××2x＝2，
解得x＝2.∴正视图的面积S＝×2×2＝2.故选A.
答案：A
4．(2019江西高三联考)如图9所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
图9
A．28＋4 B．28＋8
C．16＋4＋8 D．16＋8＋4
解析：由三视图知该几何体是如图10所示的三棱锥A-BCD，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，
图10
A是棱的中点，在△ADC中，AC＝2，且CD⊥AC，
∴AD＝＝6，
S△ADC＝AC·DC＝×4×2＝4；
在△ABD中，AB＝2，BD＝4，
由余弦定理得，
cos∠DAB＝＝＝，∴sin∠DAB＝＝，
∴S△ABD＝AD·ABsin∠DAB＝×6×2×＝12，
又S△ABC与S△BDC均为边长为4的正方形面积的一半，即为8，
∴三棱锥A-BCD的表面积为12＋2×8＋4＝28＋4，故选A.
答案： A
5.如图11，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，则圆柱被截后剩下部分的体积是________．
图11
解析：解析两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，
则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，
所以所求几何体的体积为.
答案：
拓展要求
1．(2019年福建漳州龙海一中高一第一次月考)如图12所示，从一个半径为1＋的圆形纸板中切割出一块中间是正方形、四周是四个正三角形的纸板，以此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积是( )
图12
A. B. C. D.
解析：如图13，在四棱锥P-ABCD中，则AB＝2，PM＝，
图13
∴PO＝，
所以，该四棱锥的体积为V＝·S正方形ABCD·h＝·22·＝.故选A.
答案：A
2．(2019年山东淄博二模)如图14为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
图14
A. B．7
C. D.
解析：由三视图可知，该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥后所得图形，如图15所示．
图15
∴该多面体的体积V＝23－××1×2×2－××12×2＝7.
故选B.
答案：B
课时作业5 柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)
基础巩固
1．正方体全面积增大为原来的2倍，则它的体积增大为原来的( )
A．2倍 B．4倍
C.倍 D．2倍
解析：S全＝6a2，S′全＝6a′2＝2S全，∴a′＝a.
V＝a3，V′＝a′3＝2a3＝2V.
答案：D
2．(2019年安徽高二模拟考试) 已知一个简单几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为( )
图1
A．3π＋6 B．6π＋6
C．3π＋12 D. 12
解析： 由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为V＝××π×32×4＋××3×3×4＝3π＋6，故选A.
答案： A
3．(2019年晋冀鲁豫高三月考) 若某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )
图2
A. B. C．2 D．4
图3
解析：据三视图分析知，该几何体是如图3所示的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥C－ADE，且D是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积V＝××2＝.
答案： A
4．(2019年重庆高二月考) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图4所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12. 6(立方寸)，则图中的x的值为________．
图4
解析：由图可得π××x＋3×1×(5.4－x)
＝12.6?x＝1.6.
答案：1.6
5.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为________．
图5
解析：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，∴该几何体的体积为V＝π×12×2＋×π×12×1×＝.
答案：
能力提升
1．(2019年安徽高三检测) 一个三棱锥的三视图如图6所示，其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形，则该三棱锥最长的棱长为( )
图6
A．7 B．2 C．3 D.
解析：由三视图可得三棱锥为如图7所示的三棱锥B1-ABD，其中底面三角形ABD是直角三角形，两直角边分别为AB＝1，AD＝，BB1⊥底面ABD，且BB1＝2.
图7
结合图形可得最长的棱为DB1＝＝2.故选B.
答案： B
2．(2019年山东高三模拟)如图8, 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图8所示，则这个四棱锥的体积为( )
图8
A．1 B．2 C．3 D．4
解析： 由三视图可知高为h＝＝3，∴V＝××2×2×3＝2，应选B.
答案： B
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
图9
A．1∶1 B. 1∶ C. 1∶ D. 1∶2
解析：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S2＝6a2，且三棱锥D1-AB1C为各棱长均为a的正四面体，其中一个面的面积为S＝××a×a＝a2，所以三棱锥D1-AB1C的表面积为S1＝4×a2＝2a2，所以三棱锥D1-AB1C的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比为S1∶S2＝1∶.故选C.
答案：C
4．如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )
图10
A．1 B.
C. D．2
解析：设正方体棱长为1，则三棱锥P-BCD的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为×1×1＝；
三棱锥P-BCD的俯视图取最大面积时，P在A1处，俯视图面积的最大值为1×1＝1，
故三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为2，故选D.
答案：D
5．如图11，三棱锥A-BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF＝FD，若三棱锥A-BEF的体积是2，则四棱锥B-ECDF的体积为________．
图11
解析：因为＝＝，
V正＝6VA-AEF＝12，则VB-ECDF＝10.
答案：10
6．如图12，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h1，且h1＝h，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h2，求h2.
图12
解：因为＝＝，所以＝.倒置后的体积关系为＝＝，所以h2＝ ＝h.
7．如图13，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1, D1C1上，A1E＝ D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
图13
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
解：
图14
(1)交线围成的正方形EHGF如图14.
(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
长方体被平面α分为两个高为10的直棱柱，其体积的比值为.
拓展要求
1．(2019年安徽蚌埠高三第二次质量检查)如图15，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )
图15
A．15 B．16 C. D.
解析：本题主要考查空间几何体的三视图与体积，考查空间想象能力．由三视图可知，该几何体是四棱锥P-ABCD，如图16所示，则该几何体的体积V＝×(×4×4＋×2×2)×5＝.
图16
答案：C
2．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
解：如图17所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，记为h0，所以S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0.
图17
上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325，
所以h0＝(cm)．
又O′D′＝××20＝(cm),
OD＝××30＝5(cm)，
记棱台的高为h，则h＝O′O
＝
＝
＝4(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积
V＝(S上＋S下＋)
＝×(325＋×20×30)
＝1 900(cm3).
课时作业6 球的体积和表面积
基础巩固
1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A．2倍 B．2倍 C.倍 D.倍
解析：球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的倍，体积扩大到原来的2倍．
答案：B
2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )
A. B. C. D.
解析：设正方体的边长为a，球的半径为R，则6a2＝4πR2.则＝，则＝·＝.
答案：A
3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为( )
A．R B．2R C．3R D．4R
解析：设圆柱的高为h，则3×πR3＝πR2·h，所以h＝4R.
答案：D
4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：S表＝4πR2＝6π，所以R＝.设正四棱柱底面边长为x，则＋1＝R2，所以x＝1.所以V正四棱柱＝2.故选B.
答案：B
5．(2019年许昌高一检测)已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为( )
A．20π B．25π
C．50π D．200π
解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为＝5，外接球的半径为.外接球的表面积为4π＝50π，故选C.
答案：C
6．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( )
A.π B. C.π D．4π
解析：根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝πr3＝π. 选B.
答案：B
能力提升
1．(2019年宁夏高三模拟)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图1所示，则三棱锥的外接球的表面积为( )
图1
A．20π B．25π C．29π D．13π
解析：由三视图可知该几何体是一个底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，可扩展为长方体，则长方体的对角线长即为外接球的直径，所以2R＝＝，即R＝，所以该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝29π，故选C.
答案：C
2．如图2，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
图2
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图3，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，
图3
∴V球＝π×53＝π(cm3)．
答案：A
3．(2019年辽宁大连二十中高一月考)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O?ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π
C．144π D．256
解析：如图4所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O?ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO?ABC＝VC?AOB＝××R3＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选C.
图4
答案：C
4．(2019年江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三联考)某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
图5
A．136π B．144π C．36π D．34π
解析：本题考查三视图，空间几何体的表面积．还原出空间几何体，如图6，
图6
四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥DC.取AC的中点E，取PC的中点O，连接OE，所以OE⊥平面ABCD，且OA＝OB＝OC＝OD＝R＝ ＝ ，即四棱锥P-ABCD的外接球的半径R＝ .所以该几何体的外接球的表面积S＝4πR2＝34π.选D.
答案：D
5．如图7是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．
图7
解析：由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为3，高为4，母线长为5的圆锥，上半部分是半径为3的半球，∴该几何体的表面积S＝5×π×3＋×4π×32＝33π，故答案为33π.
答案：33π
6．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为________．
图8
解析：如图8，过正三棱锥P-ABC的顶点P作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，|PM|＝6，连接AM，AO，则|OP|＝|OA|＝R，在Rt△OAM中，|OM|＝6－R，又|AB|＝6，且△ABC为等边三角形，故|AM|＝ ＝2，则R2－(6－R)2＝(2)2，则R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝64π.
答案：64π
7．边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上，则四棱锥O-ABCD的体积是________.
解析：因为正方形ABCD外接圆的半径r＝＝4.又因为球的半径为5，
所以球心O到平面ABCD的距离d＝＝3，
所以VO-ABCD＝×(4)3×3＝32.
答案：32
8．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积．
图9
解：取正方形ABCD的中心O1，连接SO1并延长交球面于点E.
连接CO1，CE，如图9.
则球心O在SE上，即SE为球的直径，且SC⊥EC.
∵AB＝3，∴O1C＝3.
在Rt△SO1C中，SC＝2，∴SO1＝.
在Rt△SCE中，Rt△SCE∽Rt△SO1C，∴SC2＝SO1·SE，∴SE＝＝＝4.∴球半径R＝2.∴球的表面积为S＝4πR2＝4π·(2)2＝48π.
拓展要求
1．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为( )
A. B．1 C．1＋ D.
解析：如图10，设直线EF被球O截得的线段为PQ，
图10
作OH⊥EF于H，依题意，
球O半径OP＝OA1＝，OH＝.
故PQ＝2PH
＝2
＝2＝.
答案：D
2．如图11，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．设V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，V2为大球内、小球外的部分(图中黑色部分)的体积，则下列关系式中正确的是( )
图11
A．V1> B．V2<
C．V1>V2 D．V1解析：由题图知大球半径R＝2r(小球半径)，
又由图知V大－4V小＋V1＝V2，
∴πR3－πr3·4＋V1＝V2，
∴πr3＋V1＝V2，
∴V2＞V1.
答案：D
