课件52张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系全章内容分析高考考向导析学习方法建议第一节 空间点、直线、平面之间的位置关系第一课时 平面目标导向知识导学思维导悟方法导拨温示提馨课时作业7 （点击进入）word板块 课件38张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第一节 空间点、直线、平面之间的位置关系第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业8 （点击进入）word板块 课件30张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第一节 空间点、直线、平面之间的位置关系第三课时 直线与平面、平面与平面的位置关系目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业9 （点击进入）word板块 课时作业7 平面
基础巩固
1．下图中正确表示两个相交平面的是( )
解析：由平面的画法知选D.
答案：D
2．给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是 ( )
A．① B．①④
C．②③ D．③④
解析：因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．
答案：A
3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是 ( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线?α，β重合
解析：选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．
答案：C
4．一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是( )
A．4 B．6
C．7 D．10
解析：当直线外的三个点能确定平面，且这个平面不经过已知直线时，它们确定的平面最多，此时这条直线和每一个点分别确定一个平面，故最多可确定4个平面．
答案：A
5．(1)用数学符号表示图1中的点、直线、平面之间的位置关系．
图1
(2)画出满足下列条件的图形(其中α，β为平面，a，b，l为直线)：α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∩l＝A，B∈a.
解：(1)α∩β＝l，a?β，a∩l＝A，b∩α＝B，b∩β＝C.
(2)如图2所示
图2
能力提升
1．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( )
解析：在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.
答案：D
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体的过点M，N，C1的截面图形是 ( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.如图3，延长C1M交CD于点P，延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体的过点M，N，C1的截面图形是五边形．故选C.
图3
答案：C
3．如图4所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定是( )
图4
A．在直线DB上
B．在直线AB上
C．在直线CB上
D．都不对
解析：直线EF和GH相交，
设交点为M，
∵EF?平面ABD，HG?平面CBD，
∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD，
∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴M∈BD，
∴EF与HG的交点在直线BD上．故选A.
答案：A
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内．
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1.
(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．
解析：(1)错误，如图5所示，点A?平面CC1B1B，所以直线AC1?平面CC1B1B.
图5
(2)正确，如图6所示，因为O∈直线AC?平面AA1C1C，O∈直线BD?平面BB1D1D，O1∈直线A1C1?平面AA1C1C，O1∈直线B1D1?平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
图6
(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．
图7
答案：(2)(3)(4)
5．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．其中真命题的序号是________．
解析：若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“?”表示，即l?α，故②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．
答案：①③
6．(2019年日照一模)如图8所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：
图8
①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．其中正确结论的序号为________．
解析：连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C?平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．
答案：①③
7．已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．
证明：如图9，∵a∥b，
图9
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知，经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．
8．已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，E，F四点共面．
(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线．
解：(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，
图10
所以EF∥BD，所以EF与BD共面，
所以E，F，B，D四点共面．
(2)因为AC∩BD＝P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
因为A1C∩平面DBFE＝R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三点共线．
9．如图11所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．
图11
求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
证明：连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以EF綊A1B.
又因为A1B綊D1C，
所以EF綊D1C，
图12
所以E，F，D1，C四点共面，
可设D1F∩CE＝P.
又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以据公理3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
拓展要求
如图13，已知E、F、G分别为正方体AC1的棱AD、AB、BB1的中点，试作出过这三个点的截面图，并判断其形状．
图13
解：
图14
作法：
(1)过EF作直线分别交CB、CD的延长线于点M、P，连接GM，并延长MG交B1C1于H，交CC1的延长线于N.
(2)连接NP，分别交DD1、C1D1于J、I.
(3)连接FG，HI，EJ，六边形EFGHIJ即为所求，它是一个正六边形．
课时作业8 空间中直线与直线之间的位置关系
基础巩固
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
解析：因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.
答案：D
2．a、b为异面直线是指
①a∩b＝?，且a不平行于b；②a?平面α，b?平面α，且a∩b＝?；③a?平面α，b?平面β，且α∩β＝?；④不存在平面α能使a?α，且b?α成立．( )
A．①②③ B．①③④
C．②③ D．①④
解析：②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．
答案：D
3．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 B.矩形
C．平行四边形 D.正方形
图1
解析：如图1所示，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．
答案：D
4．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
解析：a与c不可能平行，否则由a∥b，得b∥c与b∩c＝A矛盾．故选D.
答案：D
5．(2019年绵阳高一检测)若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行
解析：如图2甲，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，
但OB与O1B不平行，故A、B排除；如图2乙，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，此时OB∥O1B1，故C排除．
答案：D
图3
6．如图3，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________.
解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
答案：60°
能力提升
1．如图4，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
图4
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE，B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．
答案：C
2．(2019年安徽宿州十三校联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：如图5，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，所有与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．又△AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，选D.
图5
答案：D
3．如图6，在四面体S-ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是( )
图6
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
解析：连接SG1，SG2并延长，分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，则M，N分别为AB，AC的中点，由重心的性质，知＝，∴G1G2∥MN.又M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故选B.
答案：B
4．如图7所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
图7
图8
解析：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.
答案：B
5．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：
①∠BAC＝∠B′A′C′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
则一定成立的是________(填序号)．
解析：因为AB∥A′B′，AC∥A′C′，
所以∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°
答案：③
6．如图9，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．
图9
解析：由图易证：EF綊AC綊HG，∴四边形EFGH为平行四边形，故当EF＝FG，即AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．
答案：AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD
7．如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
图10
解：(直接平移法)如图11，
图11
连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
连接GA1，GC1，
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
拓展要求
1.(2019年复旦大学自主招生)如图12，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )
图12
A．60° B．75°
C．90° D．105°
解析：
图13
设BB1＝1，如图13，延长CC1至C2，使C1C2＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC22＝AB12＋B1C22，则∠AB1C2＝90°.
答案：C
2．如图14，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．
图14
解：如图15，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.
图15
又∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E，F，C，D1四点共面．
∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.
∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
课时作业9 直线与平面、平面与平面的位置关系
基础巩固
1．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D.1个或2个
解析：若两点所在直线与平面相交，则为0个，若平行则可作1个．
答案：C
2．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是( )
A．平行 B.相交
C．平行或相交 D.AB?α
解析：结合图1可知选项C正确．
图1
答案：C
3．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( )
A．平行 B.相交
C．平行或相交 D.以上均不正确
解析：由棱台的定义，知棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面可由两条侧棱所在的直线确定，故这条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．
答案：B
4．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线均与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内直线均与a相交
D．直线a与平面α有公共点
解析：由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a?α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D对．
答案：D
5．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．
解析：假设α∩β＝l，平面α内与l相交的直线为a，a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
答案：平行
6．直线a?平面α，直线b?平面α，则a，b的位置关系是________．
解析：因为直线a?平面α，直线b?平面α，所以a，b可能平行，相交或异面．
答案：平行，相交或异面
7．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．
①若a∥b，b?α，则直线a平行于平面α内的无数条直线；
②若α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a?α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交.
解析：①中a∥b，b?α，所以不管a在平面内或平面外，都有结论成立，故①正确；②中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故②错误；③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④中直线a与平面β有可能平行，故④错误．
答案：①③
能力提升
1．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a∥c，b∥c?a∥b；
②a∥c，c∥α?a∥α；
③a∥β，a∥α?α∥β；
④a?α，b?α，a∥b?a∥α.
其中正确命题的个数是 ( )
A．2 B．3 C．4 D.5
解析：由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a?α；对于③，α与β可能平行，也可能相交；对于④，∵a?α，∴a∥α或a与α相交．∵b?α，a∥b，故a∥α.
答案：A
2．如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是BC1，BD的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为( )
图2
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解析：由已知，E，F分别为BC1、BD中点，所以EF∥C1D，则过正方体3个顶点的截面中，平面ABB1A1、平面CC1D1D，平面AC1D、平面A1C1D与EF平行．故选B.
答案：B
3．以下说法正确的是( )
A．若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交
B．直线a和b是异面直线，若直线c∥a，则c与b一定相交
C．若直线a和b都和平面α平行，则a和b也平行
D．若直线c平行直线a，直线b⊥a，则b⊥c
解析：若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交，或a?α，故A错误；若直线a和b是异面直线，若直线c∥a，则c与b相交或异面，故B错误；若直线a和b都和平面α平行，则a和b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；若直线c平行直线a，直线b⊥a，则b⊥c，故D正确．
答案：D
4．如图3所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l?平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法一定不可能的是( )
图3
A．l与AD平行
B．l与AB异面
C．l与CD所成角为30°
D．l与BD垂直
解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行．
答案：A
5．已知异面直线a，b外的一点M，那么过点M可以作________个平面与直线a，b都平行．
解析：过点M分别作直线a，b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则满足题意的平面不存在．否则过点M的两条相交直线确定的平面与a，b都平行．
答案：0或1
6．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
图4
解析：如图4所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.
答案：67.ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图5(1)中，E、F分别是D1C1、B1B的中点，画出图7中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
图5
解：在图6甲中，过点E作EN平行于B1B交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
图6
在图6乙中，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
证明：在图6甲中，因为直线EN∥BF，所以B、N、E、F四点共面，因此EF与BN相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF?平面AEF，NB?平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM为两平面的交线．
在图6乙中，C1M在平面A1C1B1内，它与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．
