课件46张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第二节 直线、平面平行的判定及其性质第一课时 直线与平面平行的判定目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业10 （点击进入）word板块 课件35张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第二节 直线、平面平行的判定及其性质第二课时 平面与平面平行的判定目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业11 （点击进入）word板块 课件37张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第二节 直线、平面平行的判定及其性质第三课时 直线与平面平行、平面与平面平行的性质目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业12 （点击进入）word板块 课时作业10 直线与平面平行的判定
基础巩固
1．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图1，则BC与α的位置关系是( )
图1
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 异面
解析：因为AD︰DB＝AE︰EC，所以DE∥BC，又DE?α，BC?α，所以BC∥α.
答案：A
2．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b?α，则a∥b.
其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CD∥AB，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误；由A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；由AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误；由A′B′∥平面ABCD，BC? 平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．
图2
答案：A
图3
3．如图3所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
解析：∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB.
答案：B
4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m，故①错误；②中l与m也可能异面，故②错误；③中，?l∥m，同理l∥n，则m∥n，故③正确．
答案：C
5．如图4，在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
图4
解析：由重心可知MN∥AB.
答案：面ABC、面ABD
能力提升
1．如图5，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是( )
图5
A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQ
C．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB
解析： 因为O为?ABCD对角线的交点，
所以AO＝OC，又Q为PA的中点，
所以QO∥PC.
由线面平行的判定定理，可知A、B正确，
又ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，
故CD∥平面PAB，故D正确．
答案：C
图6
2．如图6，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：A：∵AC∥MN，BD∥QM，MN⊥QM，
∴AC⊥BD；
B：∵AC∥MN，MN?平面PQMN，AC?平面PQMN，∴AC∥平面PQMN；
C：∵＝，＝，
|PN|＝|NM|
∴要使得AC＝BD，即|AN|＝|ND|，
∴当N为AD中点时，AC＝BD，否则不成立；
D：∵BD∥MQ，MQ与PM成45°角，
∴BD与PM也成45°角．
答案：C
3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图7，M，N分别为A1B，B1C1的中点．
图7
下列结论中正确的个数有( )
①直线MN与A1C相交．
②MN⊥BC.
③MN∥平面ACC1A1.
④三棱锥N－A1BC的体积为VN－A1BC＝a3.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
解析：取A1B1的中点D，连结DM、DN.
由于M、N分别是所在棱的中点，
所以可得DN∥A1C1，DN?平面A1ACC1，A1C1?平面A1ACC1，所以DN∥平面A1ACC1.
同理可证DM∥平面A1ACC1.
又∵DM∩DN＝D，
所以平面DMN∥平面A1ACC1，
所以直线MN与A1C 相交不成立，①错误；
由三视图可得A1C1⊥平面BCC1B1.
所以DN⊥平面BCC1B1，
所以DN⊥BC，
又易知DM⊥BC，
所以BC⊥平面DMN，
所以BC⊥MN，②正确；
由①中，平面DMN∥平面A1ACC1，
可得：MN∥平面ACC1A1，③正确；
因为VN－A1BC＝VA1－NBC＝××a×a×a，
所以④正确．
综上，②③④正确．故选B.
答案：B
4．如图8所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)
图8
解析：由题意得， ①中连接点A与点B上面的顶点，记为C，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交，故选①④.
答案：①④
5．如图9，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，则下列命题：①E，C，D1，F四点共面；
图9
②CE，D1F，DA三线共点；③EF和BD1所成的角为90°；④A1B∥平面CD1E.其中正确的是________(填序号)．
解析：由题意EF∥CD1，故E，C，D1，F四点共面；由EF綊CD1，故D1F与CE相交，记交点为P，则P∈平面ADD1A1，P∈平面ABCD，所以点P在平面ADD1A1与平面ABCD的交线AD上，故CE，D1F，DA三线共点；∠A1BD1即为EF与BD1所成角，显然∠A1BD1≠90°；因为A1B∥EF，EF?平面CD1E，A1B?平面CD1E，所以A1B∥平面CD1E.
答案：①②④
6．如图10，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.
图10
求证：PQ∥平面CBE.
证明：作PM∥AB，交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN.
图11
由＝，＝，
又AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，EA＝BD，
∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
7．如图12，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点．
图12
证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明：如图13，取A1B1的中点F1.连接FF1，C1F1.
由于FF1∥BB1∥CC1，
图13
所以F1∈平面FCC1，
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊DC，
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因此A1D∥F1C.
又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.
又∵EE1?面FCC1，F1C?面FCC1
∴EE1∥面FCC1.
8．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点N在AC上且CN＝3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点．
图14
求证：直线PQ∥平面BMN.
证明：如图15，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点．而GE∥AM，GE＝AM，GF∥AN，GF＝AN，且CN＝3AN，所以＝，＝＝，所以＝＝，所以EF∥PQ，又EF?平面BMN，PQ?平面BMN，所以PQ∥平面BMN.
图15
课时作业11 平面与平面平行的判定
基础巩固
1．下列说法正确的是( )
A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行
解析：“无数条”与“任意一条”是有区别的．
答案：C
2．能够判定两个平面α，β平行的条件是( )
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
解析：平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．
答案：D
3．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
解析：若三点分布在平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布在平面β的两侧，则α与β相交．
答案：C
4．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α，β还有可能相交，所以选B.
答案：B
图1
5．(2019年山东德州一中质检)如图1是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，在此几何体中，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是__________．
解析：把图形还原为一个四棱锥，然后根据直线与平面、平面与平面平行的判定定理判断即可．
答案：①②③④
能力提升
1．平面α与β平行的条件可能是( )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
解析：如图2①，α内可有无数条直线与β平行，但α与β相交，选项A错．
图2
如图2②，a∥α，a∥β，但α与β相交，选项B错．
如图2③，a?α，b?β，a∥β，b∥α，但α与β相交，选项C错．故选D.
答案：D
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：
①?α∥β； ②?α∥β；
③?a∥α； ④?a∥α.
其中正确的命题是 ( )
A．①②③ B．②④
C．② D.③④
解析：命题②正确．①中α与β还可能相交，③④中a还可能在α内，所以命题①③④错误．
答案：C
3．(2019年洛阳检测)设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动都共面
解析：根据面面平行的性质知，不论点A，B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上，且此平面到α，β两个平面的距离相等．
答案：D
4．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与平面β的位置关系为________________.
解析：平面α∥平面β，直线a∥平面α，则当a在平面β内时，原命题成立，若a不在平面β内，则a一定与平面β平行．
答案：直线a平行于平面β或直线a在平面β内
5．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，＝，则AC＝________．
解析：α∥β∥γ，根据面面平行的性质定理可知AD∥BE∥CF，∴＝.由＝，得＝＝，又AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.
答案：15
6．如图3，棱长为2的正方体中ABCD-A1B1C1D1，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
图3
解析：连接MN，所以MCD1与MNCD1共面，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为平面MNCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MNCD1∩平面ABB1A1＝MN，
且MN∥CD1，
所以N为AB的中点(如图4)，所以该截面为等腰梯形MNCD1；
图4
因为正方体的棱长为2，所以MN＝，
CD1＝2，MD1＝，
所以等腰梯形MNCD1的高
MH＝＝，
所以截面面积为×(＋2)×＝.
答案：
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点．
图5
求证：(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
解：证明：(1)连接AC，CD1.
因为ABCD为正方形，N为BD中点，
所以N为AC中点，又因为M为AD1中点，
所以MN∥CD1，
因为MN?平面CC1D1D，CD1?平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
图6
(2)连接BC1，C1D.因为BB1C1C为正方形，
P为B1C中点，所以P为BC1中点，
又因为N为BD中点，所以PN∥C1D.
因为PN?平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，
所以PN∥平面CC1D1D，
由(1)知MN∥平面CC1D1D，
又MN∩PN＝N，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
图7
8．如图7所示，在已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.
求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
因为BP?平面PBC，NQ?平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
又因为底面ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
因为BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.
9．如图8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．
图8
解：如图9，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C，则平面EMN为符合要求的平面．
图9
证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.
因为C1N＝C1C，
所以C1N＝C1H.
又E为B1C1的中点，
所以EN∥B1H.
又CF∥B1H，所以EN∥CF.
又EN?平面A1FC，CF?平面A1FC，
所以EN∥平面A1FC.
同理MN∥D1H，D1H∥A1F，
所以MN∥A1F.
可得MN∥平面A1FC.
又EN∩MN＝N，所以平面EMN∥平面A1FC.
课时作业12 直线与平面平行、平面与平面平行的性质
基础巩固
1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D.没有
解析：设n条直线交于点P，则P?a，由直线a与点P确定的平面β与平面α必定有一条交线，设为直线b，由直线与平面平行的性质定理知a∥b，故n条直线中至多有一条直线与a平行．
答案：B
2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )
A．平行 B.相交
C．异面 D.平行或异面
解析：条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.
答案：C
3．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 ( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
解析：根据面面平行的性质，知四条交线两两相互平行，故选A.
答案：A
图1
4．如图1，在多面体ABC-DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
解析：取DG的中点为M，连接AM，FM，如图2所示．
图2
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴DE綊FM.
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF?平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A.
答案：A
5．如图3①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，点E为线段AB上异于A，B的点，点F为线段CD上异于C，D的点，且EF∥DA，沿EF将面EBCF折起，如图3②，则下列结论正确的是( )
图3
A．AB∥CD B．AB∥平面DFC
C．A，B，C，D四点共面 D．CE与DF所成的角为直角
解析：在图3②中，∵BE∥CF，BE?平面DFC，CF?平面DFC，∴BE∥平面DFC，同理AE∥平面DFC.又BE∩AE＝E，∴平面ABE∥平面DFC.又AB?平面ABE，∴AB∥平面DFC.故选B.
答案：B
能力提升
1．下列说法正确的是( )
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c均平行
解析：平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A不正确；B正确；C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b，c不在其平面内，则与b，c均平行．
答案：B
2．给出下列三种说法，其中正确的是( )
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条平行线，那么这两个平面不一定平行；③平行于同一个平面的两条直线相互平行．
A．①② B．②③
C．③ D．②
解析：本题考查线面平行与面面平行．①中没有强调两条直线相交，所以不正确；平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以③不正确；②显然正确．故选D.
答案：D
3．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有以下命题：
①若m?α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①m与n可能异面，故不正确．②α与β可能是相交平面，故不正确．③可能m?α，也可能m?β，故不正确．④同时和一条直线垂直的两个平面互相平行，故正确．
答案：B
图4
4．如图4，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________.
解析：如图5所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.
图5
答案：l∥B1D1
5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．
图6
解析：∵平面α∥平面BC1E，
∴A1F∥BE，且A1E＝BF，
∵∠A1AF＝∠BB1E＝90°，AA1＝BB1，
∴Rt△A1AF≌Rt△BB1E，
∴FA＝B1E＝1.
答案：1
6．如图7所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件__________时，有MN∥平面B1BDD1.
图7
解析：∵F，H分别是D1C1，DC的中点，
∴FH∥D1D.
又N为BC的中点，
∴HN∥BD，且HN∩FH＝H，BD∩D1D＝D，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，
∴当M在线段FH上时，MN?平面FHN，
则MN∥平面B1BDD1.
答案：M在线段FH上
7．如图8，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.
求证：EC∥A1D.
图8
证明：因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，
BC?平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
8．如图9所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
图9
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解：
图10
(1)如图10所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
设A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，得BC1∥D1O，
∴＝.
又由题可知＝，＝1，
∴＝1，即＝1.
9．如图11，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.
图11
图12
解：如图12，取EC的中点P，AC的中点Q，
连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.又PE∥BF，
所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.
又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF，
所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.
又BQ?平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，
即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.
拓展要求
求证：过两条异面直线a、b中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行．
图13
证明：存在性：取点A∈a，则A?b，由点A与b确定一个平面α，在α内过点A作直线c∥b，a∩c＝A.
∴过a、c有一个平面β，且b?β，c?β.
而b∥c，∴b∥β.
故过a有一个平面β与b平行．
唯一性：假设还有另一个平面γ∥b，且a?γ，则b与β、γ的交线a平行，这与a、b是异面直线相矛盾，
∴假设不成立，
∴只有一个平面β满足条件．
