课件43张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第三节 直线、平面垂直的判定及其性质第一课时 直线与平面垂直的判定目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业13 （点击进入）word板块 课件38张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第三节 直线、平面垂直的判定及其性质第二课时 平面与平面垂直的判定目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业14 （点击进入）word板块 课件38张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第三节 直线、平面垂直的判定及其性质第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业15 （点击进入）word板块 课件22张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第二章 点、直线、平面之间的位置关系第三节 直线、平面垂直的判定及其性质第四课时 空间距离(习题课)知识导学思维导悟方法导拨温示提馨课时作业16 （点击进入）word板块 课时作业13 直线与平面垂直的判定
基础巩固
1．如图1所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
图1
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
答案：C
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m?α B.m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n?β D.m⊥n，且n∥β
解析：A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.
答案：B
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
图2
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
答案：B
4．如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的( )
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
解析：如图2，由PA，PB，PC两两互相垂直，可得AP⊥平面PBC，BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB，所以BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，所以点O是△ABC三条高的交点，即点O是△ABC的垂心，故选D.
答案：D
图3
5．如图3，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.
解析：∵EA⊥α，CD?α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同样，∵EB⊥β，CD?β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB?平面AEB，∴CD⊥AB.
答案：CD⊥AB
6．如图4所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
图4
解析：?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
答案：4
7．在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．
解：如图5所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD.
图5
∵底面△A′B′C′是正三角形，
∴C′D⊥A′B′.
∵AA′⊥底面ABC，
∴A′A⊥C′D.
又AA′∩A′B′＝A′，∴C′D⊥侧面ABB′A′，
故∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．
等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝，
在Rt△BB′C′中，BC′＝＝，
故直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为＝.
能力提升
1．下列四个命题中，正确的是( )
①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．
A．①② B.②③
C．②④ D.③④
解析：若一条直线垂直于一个平面内的无数条平行的直线，则这条直线与这个平面不一定垂直，所以①错误．若一条直线平行于一个平面，垂直于这条直线的直线也可能平行于这个平面，所以②错误．若一条直线平行于一个平面，则平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线与平面内的那条直线垂直，从而这两条直线互相垂直，所以③正确．显然若两条直线垂直，则过其中一条直线与另外一条直线垂直的平面只有一个，所以④正确．
答案：D
2．若直线l不垂直于平面α，那么在平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．只存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条直线与l垂直
D．以上都不对
解析：过斜足，容易在α内找到一条直线与l垂直，则在α内与此直线平行的无数条直线都与l垂直．
答案：C
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D.不垂直也不相交
图6
解析：取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
且AO∩CO＝O，
∴BD⊥面AOC，
又AC?平面AOC，
∴BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C.
答案：C
4．设α表示平面，a、b表示直线，给出下列四个说法，其中正确的是( )
①a∥α，a⊥b?b∥α ②a∥b，a⊥α?b⊥α
③a⊥α，a⊥b?b?α ④a⊥b，b?α?a⊥α
A．①② B.①④
C．② D.②④
解析：①中可能有b∥α，b?α或b与α相交；③中可能有b?α或b∥α；④中可能有a与α不垂直，或a⊥α；只有②正确．
答案：C
5．如图7，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．
图7
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
解析：因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，
所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确；
因为AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，
所以AB∥平面SCD，故②正确；
因为AD是SA在平面ABCD内的射影，
所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确；
因为AB∥CD，
所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，
故④正确．
答案：4
图8
6．(2019年河北正定高一检测)直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直的棱柱)中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？请证明你的结论．
图9
解：(1)证明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
由已知得A1C1＝B1C1＝1，
且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，
∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，
C1D?平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．
事实上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.
∵AA1＝A1B1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，
∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.
7．如图10，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
图10
(1)求证：AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM.∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平 PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
8．如图11所示，三棱锥A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．
图11
解析：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.
如图12所示，取BC的中点D，
图12
连接AD，SD，则AD⊥BC.
设SA＝a，则在Rt△SBC中，
BC＝a，CD＝SD＝a.
在Rt△ADC中，
AD＝＝a.
则AD2＋SD2＝SA2，
所以AD⊥SD.
又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.
因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，
所以∠ASD＝45°，
即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
拓展要求
1．如图13，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
图13
解析：取A1A、CC1中点E、F，则点P移动时，M，N为菱形EBFD1的边上的点，当M在EB上时，＝＝tan∠EBD1为常数，函数y＝f(x)的图象应为直线的一部分，再由对称性知选B.
答案：B
2．如图14甲，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图14乙．
图14
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
因为DE⊥A1D，DE⊥CD，
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
图15
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：如图15，
分别取A1C，A1B的中点P，Q，
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由第(2)问知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，
使得A1C⊥平面DEQ.
课时作业14 平面与平面垂直的判定
基础巩固
1．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是( )
A．0 B.1 C．2 D.3
解析：根据二面角定义知①②③都不正确．选A.
答案：A
2．如图1所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是( )
图1
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：∵AB＝CB，AD＝CD，E为AC中点．
∴AC⊥DE，AC⊥BE，又BE∩DE＝E，
∴AC⊥平面EDB.
又AC?平面ABC，AC?平面ADC，
∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.
答案：C
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.选D.
答案：D
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )
A. B. C. D.
解析：如图2所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，
图2
∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝.
∴tan∠A1OA＝＝.
答案：C
5．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列四个结论中错误的是 ( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：由DF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A结论正确；作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B结论正确；由DF⊥平面PAE，可得平面PAE⊥平面ABC，故D结论正确．易知C结论错误．
答案：C
6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
解析：当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n?α.
∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④?②.或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m?β.
∴当n⊥β时m⊥n，即②③④?①.
答案：①③④?②(或②③④?①)
能力提升
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N、P分别是所在棱的中点，则下列图形中能推出面MNP⊥面BB1D1D的有( )
图3
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：把过M、N、P的截面补充完整，结合面面垂直判定定理即可判断①②③正确．
答案：C
2．(2019年吉林一中)在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是( )
A．直角三角形 B.等腰三角形
C．等边三角形 D.等腰直角三角形
解析：过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.
答案：A
3．已知α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β，A，B?l，设直线AB与α、β所成的角分别为θ1，θ2，则( )
A．θ1＋θ2＝90° B.θ1＋θ2≥90°
C．θ1＋θ2≤90° D.θ1＋θ2<90°
解析：如图4，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，则∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由最小角原理知，θ2＝∠ABC≤∠ABD，而∠ABD＋∠BAD＝90°，∴θ1＋θ2≤90°.
图4
答案：C
4．如图5，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )
图5
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
解析：平面PAB与平面ABC交于AB，由于GE，EF未必与棱AB垂直，故不一定是二面角的平面角．
答案：D
5．如图6，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________．(填序号)
图6
解析：由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM不在平面PAC内，所以MO∥平面PAC，所以②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确．综上所述，正确的结论是②④.
答案：②④
6．三棱锥P-ABC的两个侧面△PAB与△PBC都是边长为a的正三角形且AC＝a.则平面ABC与平面PAC的位置关系是________．
图7
解析：如图7，取AC的中点O，连接PO、OB，由题意知PO⊥AC，
PO＝a，PB＝a，OB＝a，
∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，
∴PO⊥平面ABC，又∵PO?平面PAC，
∴平面ABC⊥平面PAC.
答案：垂直
7．如图8所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
图8
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小．
解：(1)证明：如图8所示，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解：由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE.
又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°，
故二面角A-BE-P的大小是60°.
8．如图9，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．
图9
(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；
(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值．
解：(1)证明：连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，
图10
∴NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN?平面A1B1C1D1，
∴NF⊥MN.又∵M，E均为所在棱的中点，
∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.
又NE∩NF＝N，∴MN⊥平面NEF.
而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.
(2)解：在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.
由(1)得MN⊥平面NEF，
又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，
又MG?平面MNG，∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M－EF－N的平面角．
设该正方体的棱长为2.
在Rt△NEF中，NG＝＝，
∴在Rt△MNG中，
tan∠MGN＝＝＝.
∴二面角M－EF－N的平面角的正切值为.
课时作业15 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
基础巩固
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D.不确定
解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，
所以l⊥平面ABC.
同理可证m⊥平面ABC，
所以l∥m，故选C.
答案：C
2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
答案：B
3．如图1，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )
图1
A．PE⊥AC
B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
解析：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立；又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立；若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.
答案：D
4．如图2，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________．
图2
解析：在三棱锥P－ABC中，
因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，
所以AB⊥平面APC.
因为EF?平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1.
答案：1
5．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P?l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
解析：由α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P?l知：
在①中，由面面垂直的判定定理得：过P垂直于l的平面垂直于β，故①正确；在②中，过P垂直于l的直线有可能垂直于α，但不垂直于β，故②错误；在③中，由线面平行的判定定理得过P垂直于α的直线平行于β，故③正确；在④中，由面面垂直的性质定理得过P垂直于β的直线在α内，故④正确．
答案：①③④
能力提升
1．如图3，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( )
图3
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D.△ABC的内部
解析：因为BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，
所以AC⊥平面ABC1.
因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.
又平面ABC∩平面ABC1＝AB，
所以过点C1再作C1H⊥平面ABC，则H∈AB，
即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．
答案：A
2．如图4，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
图4
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
解析：因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
答案：B
图5
3．如图5所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，
平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，
∴AC⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC.
∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
答案：D
4．如图6，四面体P-ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________．
图6
解析：取AB的中点E，连接PE，EC(图略)．
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，∴CE＝5.
∵PA＝PB＝13，E是AB的中点，
∴PE⊥AB，PE＝12.
∵平面PAB⊥平面ABC，
平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PE⊥平面ABC.
∵CE?平面ABC，
∴PE⊥CE.
在Rt△PEC中，PC＝＝13.
答案：13
5．(2019年湖北武汉模拟)如图7，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′.
图7
(1)求证：平面A′DE⊥平面A′EF；
(2)求三棱锥A′-DEF的体积．
解：(1)证明：折叠前，AD⊥AE，CD⊥CF.
折叠后，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.
又∵A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF.
∵A′D?平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面A′EF.
(2)∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴AE＝BE＝BF＝1，EF＝.
折叠后，A′E＝A′F＝1，
∴A′E2＋A′F2＝EF2，∴A′E⊥A′F，
∴S△A′EF＝A′E×A′F＝×1×1＝.
由(1)知，A′D⊥平面A′EF，
∴VA′-DEF＝VD-A′EF＝S△A′EF·A′D
＝××2＝.
图8
6．在斜三棱柱A1B1C1-ABC(侧棱与底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.若D是BC的中点．
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
证明： (1)因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC，
因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，
所以AD⊥侧面BB1C1C，所以AD⊥CC1.
(2)如图9，取BC1的中点E，
连接ME，DE.
因为D为BC的中点，
图9
所以DE∥CC1，DE＝CC1.
因为AA1∥CC1，
AA1＝CC1，且M为AA1的中点，
所以AM∥CC1且AM＝CC1.
所以DE∥AM，DE＝AM，
所以四边形ADEM是平行四边形，所以EM∥AD.
因为AD⊥平面BB1C1C，
所以EM⊥平面BB1C1C.
又EM?截面MBC1，
所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
拓展要求
如图10①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图10②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1?BCDE.
图10
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1?BCDE的体积为36，求a的值．
解：(1)证明：在图10①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.
即在图10②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC，又易得CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1?BCDE的高．
由图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2
从而四棱锥A1?BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.
课时作业16 空间距离(习题课)
基础巩固
1．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
图1
A. B．1
C. D.
解析：因为正棱柱AC1中， BB1⊥平面ABCD，所以AB1与平面ABCD所成的角是∠B1AB.由AB＝1可得BB1＝. 因为AA1⊥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离为.故选D.
答案：D
2．把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是 ( )
A．a B.a C.a D.a
解析：折后BC＝，∴点A到BC的距离为＝.
答案：D
3．△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为 ( )
A．7 B．9 C．11 D．13
解析：BC＝＝21.
∴△ABC外接圆半径R＝＝7，
∴点P到α的距离为＝7.
答案：A
4．如图2，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离是 ( )
图2
A.a B.a
C.a D.a
解析：取BD的中点O连AO、OC，作OE⊥AC于E，则OE为所求，∴AO＝CO＝AC＝，OE＝OC·cos30°＝a·＝a.
答案：A
5．设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4 cm和1 cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB的长是________．
解析：当点A、B在α同侧时，AB＝＝2；
当点A、B在α异侧时，AB＝＝.
答案：2 cm或 cm
6．如图3，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为________．
图3
解析：三棱锥A-DED1的体积等于三棱锥E-DD1A的体积，即VA-DED1＝VE-DD1A＝××1×1×1＝.
答案：
能力提升
1．空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为( )
A.a B.a
C.a D．a
解析：P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意，求得PQ＝a.
答案：B
图4
2．如图4，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有 ( )
A．1C．d1<1解析：点C到平面PAB的距离d1＝，点B到平面PAC的距离
d2＝＝，
∵<<1，
∴d2答案：D
3．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝( )
A．2 B. C. D．1
解析：如图5，过C作CE∥BD，连接BE，AE，易得BE⊥AE，AC＝CE＝1，AE＝，AB＝2，BE＝CD＝.
图5
答案：C
4．二面角α-MN-β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离为________.
解析：作AC⊥MN于C，连BC，则BC⊥MN，
∴∠ACB＝60°，又MN⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面α，作BD⊥AC于D，则BD⊥α，
∴BD的长即为所求，得BD＝2.
答案：2
5．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直．∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C.
(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离．
解：(1)如图6所示，作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC
图6
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角
∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C
∴∠A1AD＝45°为所求．
(2)作DE⊥AB垂足为E，连A1E，
则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．
由已知AB⊥BC得DE∥BC，
又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2
∴DE＝1，AD＝A1D＝，tan∠A1ED＝＝，
故∠A1ED＝60°为所求．
(3)连结A1B，根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C?A1AB的高h.
由VC?A1AB＝VA1?ABC得
S△AA1B·h＝S△ABC·A1D
即×2·h＝×2×，
∴h＝为所求．
6．(2019年衡水高三一调)如图7的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为CD的中点．
图7
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求此几何体的体积．
解：(1)证明：取CE的中点G，连接FG，BG.
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF＝DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又AB＝DE，∴GF＝AB，
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
(2)取AD的中点M，∵△ACD为等边三角形，
∴CM⊥AD.
又∵DE⊥面ACD，
∴DE⊥CM.
又DE∩AD＝D，
∴CM⊥面ADEB.
又∵CM＝，AD＝2，
∴S梯形ABED＝＝3，
∴V＝3××＝.
