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导练第三章 直线与方程全章内容分析高考考向导析学习方法建议第一节 直线的倾斜角与斜率第一课时 倾斜角与斜率目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业17 （点击进入）word板块 课件25张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第三章 直线与方程第一节 直线的倾斜角与斜率第二课时 两条直线平行与垂直的判定（一）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业18 （点击进入）word板块 课件25张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第三章 直线与方程第一节 直线的倾斜角与斜率第三课时 两条直线平行与垂直的判定（二）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业19 （点击进入）word板块 课时作业17 倾斜角与斜率
基础巩固
1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1 B.135°，－1
C．90°，不存在 D.180°，不存在
解析：直线x＝1与y轴平行，∴倾斜角为90°，但斜率不存在，故选C.
答案：C
2．若直线过点(1，2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：由题意得k＝＝，
∴直线的倾斜角为30°.
答案：A
3．经过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：由两点斜率公式得＝1，解之得m＝1.
答案：A
4．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A．－2 B．－ C. D．2
解析：由＝，得m＝.故选C.
答案：C
5．已知直线l1的斜率为k1，倾斜角为α1，直线l2的斜率为k2，倾斜角为α2，则( )
A．k1>k2?α1>α2 B．k1C．α1<α2?k1答案：D
图1
6．已知直线l1的倾斜角为α，直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为________．
解析：如图1所示，可得直线l2与l1的倾斜角互补，故直线l2的倾斜角为180°－α.
答案：180°－α
7．设斜率为m(m＞0)的直线上有两点(m，3)，(1，m)，则此直线的倾斜角为________．
解析：由m＝得，m2＝3，
∵m＞0，∴m＝.
又在[0°，180°)内tan 60°＝，
∴此直线的倾斜角为60°.
答案：60°
能力提升
1．在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为( )
A．－2 B．0 C. D.2
解析：如图2，易知kAB＝，kAC＝－，
故kAB＋kAC＝0.
图2
答案：B
2．若经过点A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m<1 B.m>1
C．m<－1 D．m>－1
解析：由直线l的倾斜角为锐角，可知kAB＝>0，
即m<1.
答案：A
3．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0°，60°]
B．[60°，90°]
C．[0°，60°]∪(90°，180°)
D．[60°，180°)
解析：因为直线的斜率k∈(－∞，]，故当k∈[0，]时，倾斜角α∈[0°，60°]；当k∈(－∞，0)时，倾斜角α∈(90°，180°)，故选C.
答案：C
4．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1，0] B.[0，1]
C．[1，2] D.[0，2]
图3
解析：由图3可知，当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.
答案：D
5．直线l1和l2都过点M，l1的倾斜角为α1，l2的倾斜角为α2，有下面三个命题：
①若sinα1＝sinα2，则l1与l2重合；
②若cosα1＝cosα2，则l1与l2重合；
③若tanα1>tanα2，则l1的倾斜角大于l2的倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：依据斜率和倾斜角的定义，并结合sinα，cosα，tanα在[0°，180°)上的变化规律知，只有②正确．
答案：A
6．给出下列命题：
①若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα；
②若直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；
③直线的倾斜角越大，它的斜率也越大；
④若直线的倾斜角为α，则sinα>0.
其中错误命题的序号为__________．
解析：①α＝90°时，tanα无意义；
②未规定α的取值范围，倾斜角α∈[0°，180°)；
③α∈[0°，90°)时，tanα>0，
α∈(90°，180°)时，tanα<0；
④α＝0°时sinα＝0，故①②③④均错．
答案：①②③④
7．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l2与l1的交点为A，把直线l2绕点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，求直线l2的斜率k.
解：如图4所示．
图4
易知直线l2的倾斜角为135°，
故直线l2的斜率k＝tan135°＝－1.
8．点M(x、y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2，5]时，求的取值范围．
解：＝的几何意义是过M(x，y)，
N(－1，－1)两点的直线的斜率．
因为点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2，5]，
所以设该线段为AB且A(2，4)，B(5，－2)，如图5.
图5
因为kNA＝，kNB＝－
所以－≤≤.
所以的取值范围为.
9．(1)已知直线l经过原点，且与以A(1，1)，B(3，－1)为端点的线段相交，试通过作图探索出直线l的斜率范围；
(2)已知直线l经过原点，且与以A(1，1)，B(－3，－1)为端点的线段相交，试通过作图探索出直线l的斜率范围；
(3)试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同，你能从中总结出什么规律来吗？
解：(1)如图6，当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时，即从OB旋转到OA的过程中斜率由负(kOB)到正(kOA)连续增大，因为kOB＝＝－，kOA＝＝1，所以直线l的斜率k的范围是－≤k≤1.
图6
(2)如图7，当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时，即从OA旋转到OB的过程中斜率从kOA开始逐渐增加到正无穷大，这时l与y轴重合，当l再旋转下去时，斜率从负无穷逐渐增大到kOB.因为kOB＝＝，kOA＝＝1，所以直线l的斜率k的范围是k≤或k≥1.
图7
(3)经比较可以发现：(1)中直线l的斜率介于kOA和kOB之间，而(2)中直线l的斜率处于kOA和kOB之外．一般的，如果直线l和线段AB相交，若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时，与线段AB不相交，则l斜率介于kOA和kOB(斜率均包含kOA和kOB)之间；若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时，与线段AB相交，则l斜率位于kOA和kOB(斜率均包含kOA和kOB)之外．
课时作业18 两条直线平行与垂直的判定(一)
基础巩固
1．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；两直线斜率都不存在时，两直线平行或重合，④不正确．只有③正确．
答案：A
2．下列各对直线互相平行的是( )
A．直线l1经过A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过M(－1，3)，N(2，0)
B．直线l1经过A(－1，－2)，B(1，2)，直线l2经过M(－2，－1)，N(0，－2)
C．直线l1经过A(1，2)，B(1，3)，直线l2经过C(1，－1)，D(1，4)
D．直线l1经过A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过M(1，－1)，N(3，2)
解析：对于A，k1＝＝－1，
k2＝＝－1，k1＝k2.
结合图形知l1∥l2；
对于B，k1＝＝2，
k2＝＝－，k1≠k2，
所以l1与l2不平行；
对于C，因为l1过(1，2)，(1，3)，l2过C(1，－1)，D(1，4)，结合图形可知，l1与l2重合，所以l1与l2不平行；
对于D，由于l1的斜率不存在，
k2＝＝，
所以两条直线不平行．故选A.
答案：A
3．已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为( )
A．(3，4) B.(4，3)
C．(3，1) D．(3，8)
解析：设点D(m，n)，直线AB，DC，AD，BC的斜率分别为kAB，kDC，kAD，kBC，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，
所以解得m＝3，n＝4.
所以顶点D的坐标为(3，4)．
答案：A
4．若过点A(2，－2)，B(5，0)的直线与过点P(2m，1)，
Q(－1，m)的直线平行，则m的值为( )
A．－1 B. C．2 D.
解析：由kAB＝kPQ，得＝，
即m＝.
答案：B
5．过点(1，2)和点(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．重合 D．以上都不对
解析：∵点(1，2)和点(－3，2)的纵坐标相等，
∴过点(1，2)和点(－3，2)的直线方程为y＝2，
∴此直线与直线y＝0平行．
答案：A
6．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线y＝2x＋1平行，则m＝( )
A．0 B．－8 C．2 D．10
解析：由题意可得：＝2，解得m＝0.
答案：A
7．已知l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)，则直线l1与l2的位置关系是________．
解析：由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．
答案：平行或重合
能力提升
1．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)，且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(0，－3) D．(0，3)
解析：∵k1＝2，l1∥l2，
∴k2＝2.设P(0，y)，
则k2＝＝y－1＝2，
∴y＝3，即P(0，3)．
答案：D
2．l1过点P(3－，6－)，Q(3＋2，3－)，且l2的倾斜角与l1的倾斜角互补，则直线l2的倾斜角是( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：kPQ＝tanα1＝－，
∴α1＝150°，∴α2＝180°－α1＝30°.
答案：D
3．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B.平行四边形
C．菱形 D.矩形
解析：如图1所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．
图1
答案：B
4．若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示的直线平行于x轴，则a的值是( )
A. B．－
C.或－ D．1
解析：∵直线(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0与x轴平行，
∴6a2－a－2＝0，3a2－5a＋2≠0，a－1≠0，
解得a＝－.
答案：B
5．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1∥l2，则m＝________．
解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，
若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程
2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
答案：2
6．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x，6)，且l1∥l2，则logx＝__________．
解析：l1∥l2，即2＝kAB＝，∴x＝3，
∴log3＝－.
答案：－
7．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°？
(2)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行？
解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，
解得m＝－或m＝1.
(2)令＝＝－2，
解得m＝或m＝－1.
8．若直线x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线2mx＋4y＋16＝0平行，则m的值等于多少？
解：第一条直线斜率不存在时m＝－1，此时两直线不平行；斜率存在时，由题意得＝≠，解得m＝1.
课时作业19 两条直线平行与垂直的判定(二)
基础巩固
1．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是( )
A．20°，20° B.70°，70°
C．20°，110° D．110°，20°
解析：∵直线l的倾斜角为20°，l1∥l，
∴l1的倾斜角α＝20°.
∵l2⊥l，∴l2的倾斜角为20°＋90°＝110°.
答案：C
2．已知直线l1和l2互相垂直，且都过点A(1，1)，若l1过原点O(0，0)，则l2与y轴交点的坐标为( )
A．(2，0) B．(0，2)
C．(0，1) D．(1，0)
解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，l2与y轴交点坐标为(0，b)，
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
∴×＝－1，
解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0，2)．
答案：B
3．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
解析：易知kAB＝＝－，
kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，
∴AB⊥AC，∠A为直角．
答案：C
4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为( )
A．1 B．3
C．0或1 D.1或3
解析：∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
答案：D
5．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是________.
解析：由l1⊥l2，得kAB·kMN＝－1，
所以·＝－1，解得m＝1或6.
答案：1或6
能力提升
1．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论：
①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由斜率公式知：
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，
kPS＝＝，kQS＝＝－4，
kPR＝＝，
所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.而kPS≠kQS，
所以PS与QS不平行，
故①②④正确，选C.
答案：C
2．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)，且与经过点
(－2，1)斜率为－的直线垂直，则实数a的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：易知a＝0不符合题意．直线l的斜率k＝＝－(a≠0)，所以－·＝－1，所以a＝－，故选A.
答案：A
3．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为( )
A．135° B．45°
C．30° D．60°
解析：由题意知，PQ⊥l.
∵kPQ＝＝－1，
∴kl＝1，即tan α＝1，
∴α＝45°.
答案：B
4．过点A，B(7，0)的直线l1与过点C(2，1)，D(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
解析：如图1所示，∵圆的内接四边形对角互补，
∴l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，
则l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
图1
∵k1＝＝－，
k2＝＝k，∴k＝3.
答案：B
5．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：∵l的斜率为－1，则l1的斜率为1，
∴kAB＝＝1，∴a＝0.
由l1∥l2，得－＝1，得b＝－2，
所以a＋b＝－2.
答案：B
6．已知点A(0，1)，点B的横坐标x与纵坐标y满足x＋y＝0.若AB⊥OB，则点B的坐标是________．
解析：设点B的坐标为(x，－x)，
∵AB⊥OB，∴x≠0，且·＝－1，
解得x＝－.
∴点B的坐标为.
答案：
7．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
解析：由两点的斜率公式可得：kPQ＝＝1，
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
答案：－1
8．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．
解：OP边所在直线的斜率kOP＝t，
QR边所在直线的斜率kQR＝＝t，
OR边所在直线的斜率kOR＝－，
PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－.
∵kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四边形OPQR是平行四边形．
又kQR·kOR＝t·＝－1，
∴QR⊥OR.
∴四边形OPQR是矩形．
9．已知平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1) 求点D的坐标；
(2)试判定平行四边形ABCD是否为菱形？
解：(1)设D(a，b)，
由平行四边形ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，
即解得
∴D(－1，6)．
(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1，
∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD为菱形
10．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
解：由斜率公式可得kAB＝＝，
kBC＝＝0，
kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
故BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
图2
设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，
由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1，
即k1＝－1，5k2＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
综上可知，BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－；
AC边上的高所在直线的斜率为－.
