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导练第三章 直线与方程第二节 直线的方程第一课时 直线的点斜式方程目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业20 （点击进入）word板块 课件30张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第三章 直线与方程第二节 直线的方程第二课时 直线的两点式方程目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业21 （点击进入）word板块 课件34张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第三章 直线与方程第二节 直线的方程第三课时 直线的一般式方程目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业22 （点击进入）word板块 课时作业20 直线的点斜式方程
基础巩固
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( )
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
解析：点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．
答案：D
2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )
A．y＝x＋2 B.y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D.y＝x－2
解析：直线的倾斜角为60°，则其斜率为，利用斜截式得y＝x－2.
答案：D
3．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为( )
A．a＋b B．2a－b
C．b－2a D．|2a－b|
解析：由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a.
答案：C
4．直线l过点(－3，0)，且与直线y＋1＝2x垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3) B.y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D.y＝(x＋3)
解析：因为直线y＝2x－1的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－3，0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)，选B.
答案：B
5．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )
解析：对于A选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B选项，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D选项，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故选D.
答案：D
6．直线xtan＋y＝0的倾斜角是__________．
解析：k＝－tan＝tan＝tan，且∈[0，π)，所以倾斜角为π.
答案：
能力提升
1．已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，若l1∥l2，则a的值为( )
A．4 B．2 C．－2 D.±2
解析：∵l1∥l2，∴a2－3＝1，∴a＝±2.
又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则a≠1，
即a≠2，故a＝－2.
答案：C
2．将直线y＝(x－2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是( )
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y＋2＝0 D.x－y－2＝0
解析：∵直线y＝(x－2)的倾斜角是60°，∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2，0)．∴其方程为y－0＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.
答案：A
3．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D.y－3＝－3(x－1)
解析：由对称性可得B(2，0)，∴kAB＝＝－3，
∴直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)．
答案：D
4．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( )
( )
A．1 B．2
C．－ D．2或－
解析：当2m2＋m－3≠0时，在x轴上的截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－.
答案：D
5.若直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3, 3)，则直线l的方程为________．
解析：直线y＝x＋1的斜率为1，则倾斜角为45°，所以直线l的倾斜角为90°，且l过点P(3，3)，所以直线l的方程x＝3.
答案：x＝3
6．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是________．
解析：将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)．
答案：(2，3)
7．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
图1
如图1，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
8．与直线l：y＝x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________.
解析：依题意设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0可得纵截距为b，
令y＝0可得横截距为－b，
∴－b＋b＝1，∴b＝－3，
所以直线方程为y＝x－3.
答案：y＝x－3
9．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，
(1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限；
(2)为了使直线l不过第二象限，求a的取值范围．
解：(1)证明：直线l的方程可化为
y－＝a，
图2
由点斜式方程可知直线l的斜率为a， 且过定点A，由于点A在第一象限，所以直线一定过第一象限．
(2)如图2，直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间，
kAO＝＝3，直线AP的斜率不存在，故a≥3.
10．已知在△ABC中，A(0，0)，B(3，1)，C(1，3)．
(1)求AB边上的高所在直线的方程．
(2)求BC边上的高所在直线的方程．
(3)求过点A与BC平行的直线方程．
解：(1)直线AB的斜率k1＝＝，AB边上的高所在直线的斜率为－3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1)．
(2)直线BC的斜率k2＝＝－1，BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的方程为y＝x.
(3)由第二问知过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其方程为y＝－x.
11．求经过点A(－2，2)，并且和x轴的正半轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程．
解：因为直线的斜率存在且不为0，
所以设直线方程为y－2＝k(x＋2)，
令x＝0，得y＝2k＋2，
令y＝0，得x＝－，
由2k＋2>0，－>0，得－1由已知得(2k＋2)＝1，
整理得2k2＋5k＋2＝0，
解得k＝－2或k＝－，
因为－1所以直线方程为y－2＝－(x＋2)．
12．已知直线l：ax＋y－4＝0(－1≤a≤1)，求直线l的倾斜角α的取值范围．
解：设l的斜率为k，∴k＝－，
∵－1≤a≤1，∴－≤k≤.
当0≤k≤时，α∈，
当－≤k<0时，α∈，
∴α的取值范围是∪.
课时作业21 直线的两点式方程
基础巩固
1．下列语句中正确的是( )
A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示
解析：A不正确，该方程无法表示直线x＝x0；C不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D不正确，该方程无法表示与x轴垂直的直线，B正确．
答案：B
2．已知M，A(1，2)，B(3，1)，则过点M和线段AB的中点的直线的斜率为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：AB的中点坐标为，即，
又点M，故所求直线的斜率k＝＝2.
答案：B
3．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0
解析：设直线方程为＋＝1或y＝kx，
将P(2，3)分别代入求出a＝－1或k＝.
所以所求的直线方程为x－y＋1＝0或3x－2y＝0.
答案：B
4．经过点A(1，3)和B(a，4)的直线方程为________．
解析：当a＝1时，直线AB的斜率不存在，
所求直线的方程为x＝1；
当a≠1时，由两点式，得＝，
整理，得x－(a－1)y＋3a－4＝0，
在这个方程中，当a＝1时方程也为x＝1，
所以，所求直线的方程为x－(a－1)y＋3a－4＝0.
答案：x－(a－1)y＋3a－4＝0
5．若两点A(x1，y1)和B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线方程是________．
解析：两点确定一条直线，点A、B均满足方程3x－5y＋6＝0.
答案：3x－5y＋6＝0
6．直线l过P(－6，3)，且它在x轴上的截距等于它在y轴上的截距，l的方程是__________．
解析：①截距不为0时，可设＋＝1，
代入P(－6，3)得a＝－3.
∴＋＝1，即x＋y＋3＝0.
②截距为0时，直线过原点，则设y＝kx，
代入P(－6，3)得k＝－，
故y＝－x，即x＋2y＝0.
答案：x＋y＋3＝0或x＋2y＝0
能力提升
1．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：设直线的方程为＋＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴＋＝1，|ab|＝2，解得或或∴满足条件的直线有3条．
答案：C
2．直线＋＝1过一、二、三象限，则( )
A．a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0
解析：∵＋＝1过一、二、三象限，且a是x轴上的截距，b是y轴上的截距，∴a＜0，b＞0.
答案：C
3．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为( )
A．y＝－x＋5 B．y＝x－5
C．y＝x＋5 D．y＝－x－5
解析：因为两直线互相垂直，所以2×1－1×a＝0，
所以a＝2，所以线段AB的中点为P(0，5)，
设A(x0，2x0)、B(－2y0，y0)，则由中点坐标公式，
得
解得所以A(4，8)，B(－4，2)，
由直线的两点式方程，得直线AB的方程为＝，即y＝x＋5.故选C.
答案：C
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B.－1
C．－2或－1 D.－2或1
解析：令x＝0得纵截距为a＋2，
令y＝0得横截距为，
依题意可得a＋2＝.
解得a＝－2或a＝1.故选D.
答案：D
5．过点(－2，0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是( )
A.＋y＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋y＝1或＋＝1
解析：因为直线过点(－2，0)，
所以在x轴上的截距为－2.
又直线在两坐标轴上的截距之差为3，
所以直线在y轴上的截距为1或－5.
所以直线方程为＋y＝1或＋＝1.
答案：D
6．经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为________．
解析：由题意设直线方程为
＋＝1或＋＝1，
把点(2，1)代入直线方程得
＋＝1或＋＝1，
解得a＝3或a＝1，
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋y－3＝0或x－y－1＝0.
答案：x＋y－3＝0或x－y－1＝0
7．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
解析：直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
答案：3
8．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解：(1)设顶点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式得解得
∴点C的坐标为(1，－3)．
(2)由(1)知点M，N的坐标分别为M，N，由直线的截距式方程得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－，即2x－10y－5＝0.
9．已知直线l过点P(4，1)，
(1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
解：(1)∵直线l过点P(4，1)，Q(－1，6)，
所以直线l的方程为＝，
即x＋y－5＝0.
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，
所以设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－4)．
令x＝0得，y＝1－4k；令y＝0得，x＝4－.
∴1－4k＝2，解得k＝或k＝－2.
∴直线l的方程为
y－1＝(x－4)或y－1＝－2(x－4)，
即y＝x或2x＋y－9＝0.
10．已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，
C(－8，0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线的方程.
解：(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.
由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)，
由两点式，得BD所在直线的方程为
＝，
即2x－y＋10＝0.
(3)由kAC＝，得AC边上的中垂线的斜率为－2.
又AC的中点坐标为(－4，2)，
由点斜式，得AC边上的中垂线的方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0.
课时作业22 直线的一般式方程
基础巩固
1．直线x－y＋3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D.90
解析：由x－y＋3＝0，得y＝x＋3.
其斜率为1，倾斜角为45°.
答案：B
2．直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是( )
A.，－ B.，
C.，－2 D.，－2
解析：将3x－2y－4＝0化成截距式为＋＝1，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是，－2.
答案：D
3．过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为( )
A．4x＋3y＋12＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y＋12＝0 D．4x－3y－12＝0
解析：由已知得方程为＋＝1，
即4x－3y＋12＝0.
答案：C
4．(2019年重庆第二外国语学校高二上学期第三次月考)若A－B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0必经过点( )
A．(0，1) B．(1，0)
C．(1，－1) D．(－1，－1)
解析：∵A－B＋C＝0，
即直线Ax＋By＋C＝0中，
x＝1，y＝－1时，Ax＋By＋C＝0恒成立，
故直线Ax＋By＋C＝0必经过点(1，－1)，故选C.
答案：C
5．如果方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，则A、B、C满足( )
A．B·C＝0
B．A≠0
C．B·C＝0且A≠0
D．A≠0且B＝C＝0
解析：直线是y轴，则斜率不存在且过点(0，0)．斜率不存在，得B＝0.又过点(0，0)，得C＝0，若A＝0，则Ax＋By＋C＝0不是方程，也不表示直线，与题意不符，所以A≠0.所以选D.
答案：D
6．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
解析：依题意可知k＝tan 45°＝1，∴－＝1，且a2－9≠0.解得a＝－或a＝3(舍去)．
答案：－
能力提升
1．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为( )
A．2 B.－3
C．2或－3 D.－2或－3
解析：若m＝－1，则l1的斜率不存在，l2的斜率为，此时l1与l2不平行；若m≠－1，则l1的斜率为k1＝－，l2的斜率为k2＝－.因为l1∥l2，所以k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或m＝－3.经检验均符合题意．
答案：C
2．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a的值为( )
A．1 B.－
C．－ D.－2
解析：由题意，得×(－1)＝－1，a＝－2.
答案：D
3．如果AC>0且BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
解析：将Ax＋By＋C＝0化成斜截式，得y＝－x－.因为AC>0且BC>0，所以AB＞0，－＜0，－<0，故直线不通过第一象限．
答案：A
4．若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是( )
A．a≠±1 B.a≠1，a≠2
C．a≠－1 D.a≠±1，a≠2
解析：因为直线x＋ay＝3恒过点(3，0)，所以此直线只需不和x＋y＝0，x－y＝0两直线平行就能构成三角形．所以a≠±1.
答案：A
5．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足( )
A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0
C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝0
解析：直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形：
(1)截距等于0，此时只要c＝0即可；
(2)截距不等于0，此时c≠0，直线在两坐标轴上的截距分别为－、－.若相等，则有－＝－，即a＝b.
综合(1)(2)可知，若ax＋by＋c＝0 (ab≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则a＝b或c＝0.
答案：D
图1
6．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图1所示，则( )
A．b＞0，d＜0，a＜c
B．b＞0，d＜0，a＞c
C．b＜0，d＞0，a＞c
D．b＜0，d＞0，a＜c
解析：由题图可知直线l1、l2的斜率都大于0，即k1＝－＞0，k2＝－＞0且k1＞k2，所以a＜0，c＜0且a＞c.又l1的纵截距－＜0，l2的纵截距－＞0，所以b＜0，d＞0.
答案：C
7．将一张坐标纸折叠一次，使点(0，2)与点(4，0)重合，且点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n的值为( )
A．8 B. C．4 D．11
解析：点(0，2)与点(4，0)关于直线y－1＝2(x－2)对称，则点(7，3)与点(m，n)也关于直线y－1＝2(x－2)对称，
则，解得，
故m＋n＝.
答案：B
8．(2019年广东省佛山市高二期中)把直线x－y＋－1＝0绕其上一点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是( )
A．y＝－x B．y＝x
C．x－y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
解析：已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，
则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，
∴直线l的斜率为k＝tanα＝tan60°＝，
∴直线l的方程为y－＝(x－1)，即y＝x.
答案：B
9．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是________．
解析：由题意知，2m2＋m－3与m2－m不能同时为0，
由2m2＋m－3≠0得m≠1且m≠－；
由m2－m≠0，得m≠0且m≠1，故m≠1.
答案：m∈R且m≠1
10．已知直线l：3x－2y＋5＝0及定点P(3，－2)，根据下列条件求直线l1和l2的方程：
(1)l1过点P且l1∥l；
(2)l2过点P且l2⊥l.
解：(1)解法1：∵l1∥l，k＝，∴k1＝.
又l1过点P(3，－2)，代入点斜式得y＋2＝(x－3)．
∴直线l1的方程为3x－2y－13＝0.
解法2：设l1的方程为3x－2y＋m＝0.
∵点P(3，－2)在l1上，
∴m＝－3×3＋2×(－2)＝－13.
∴直线l1的方程为3x－2y－13＝0.
解法3：由l1过点P(3，－2)，且l1∥l，
可得l1的方程为3(x－3)－2(y＋2)＝0，
即所求直线l1的方程为3x－2y－13＝0.
(2)解法1：∵l2⊥l，k＝，∴k2＝－.
又l2过点P(3，－2)，∴y＋2＝－(x－3)．
∴直线l2的方程为2x＋3y＝0.
解法2：设l2的方程为2x＋3y＋m＝0.
∵点P(3，－2)在l2上，
∴m＝－2×3－3×(－2)＝0.
∴直线l2的方程为2x＋3y＝0.
解法3：由l2过点P(3，－2)，且l2⊥l，
可得l2的方程为2(x－3)＋3(y＋2)＝0，
∴直线l2的方程为2x＋3y＝0.
11．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．
(1)l在x轴上的截距为－3；
(2)斜率为1.
解：(1)令y＝0，依题意得
由①得m≠3且m≠－1；
由②得3m2－4m－15＝0，
解得m＝3或m＝－.
综上所述，m＝－
(2)由题意得
由③得m≠－1且m≠，
解④得m＝－1或m＝，∴m＝.
