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导练第三章 直线与方程第三节 直线的交点坐标与距离公式第一课时 两条直线的交点坐标目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业23 （点击进入）word板块 课件36张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第三章 直线与方程第三节 直线的交点坐标与距离公式第二课时 两点间的距离目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业24 （点击进入）word板块 课件30张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第三章 直线与方程第三节 直线的交点坐标与距离公式第三课时 点到直线的距离、两平行线间的距离目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业25 （点击进入）word板块 课时作业23 两条直线的交点坐标
基础巩固
1．经过两点A(－2，5)，B(1，－4)的直线l与x轴的交点坐标是( )
A. B．(－3，0)
C. D．(3，0)
解析：过点A(－2，5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点坐标为.
答案：A
2．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
解析：直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可变形为a(x＋2y)＋(6－3x)＝0，由得
故直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)，
又点(2，－1)在第四象限，故该直线恒过第四象限．
答案：D
3．若三条直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一点，则实数a的值为( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
解析：由l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0，可得交点坐标为(1，3)，代入直线l1：ax＋2y＋6＝0，可得a＋6＋6＝0，∴a＝－12.故选A.
答案：A
4．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上答案均不对
解析：2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为，由＝得m＝±6.
答案：C
5．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}＝{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．
解析：首先解得方程组的解为代入直线y＝3x＋b得b＝2.
答案：2
能力提升
1．经过直线2x＋y＋5＝0与x－3y＋4＝0的交点且斜率为－的直线的方程为( )
A．19x－3y＝0 B．19x－9y＝0
C．9x＋19y＝0 D．3x＋19y＝0
解析：由直线方程解得交点坐标为，又k＝－，则方程为y－＝－，即3x＋19y＝0.
答案：D
2．已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为( )
A．4 B.－4
C．±4 D．与A有关
解析：由题意，l2与y轴的交点在l1上，又l2与y轴的交点为，所以A×0＋3×＋C＝0，C＝－4.故选B.
答案：B
3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(－2，－3) B.(2，1)
C．(2，3) D.(－2，－1)
解析：设N点坐标为(m，n)，因点N在x－y＋1＝0上，所以m－n＋1＝0，又MN垂直于x＋2y－3＝0，所以·＝－1，解得
答案：C
4．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
解析：由得交点(－1，4)．
∵所求直线与3x＋y－1＝0垂直，
∴所求直线斜率k＝，∴y－4＝(x＋1)，
即x－3y＋13＝0.
答案：B
5．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B.20
C．0 D.－4
解析：∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，
∴－·＝－1，∴m＝10.
又垂足为(1，p)，
代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，
∴m－n＋p＝20.
答案：B
6．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点 , 则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，故排除A，B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D.
答案：D
7．已知直线l1：a1x＋b1y＝1和直线l2：a2x＋b2y＝1相交于点P(2，3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是________．
解析：由题意得P(2，3)在直线l1和l2上，
所以有则点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐标是方程2x＋3y＝1的解，
所以经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是2x＋3y＝1.
答案：2x＋3y＝1
8．已知直线l被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点是原点O，则直线l的方程为________．
解析：由已知可设直线l的方程为y＝kx，
由得x＝－.
由得x＝.
由已知可得－＋＝0，
解得k＝－，故所求直线l的方程为y＝－x，
即x＋6y＝0.当斜率不存在时，不合题意．
答案：x＋6y＝0
9．已知直线l1：(k－3)·x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
解：(1)根据题意，
得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，
解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
(2)根据题意，
得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5.经检测，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5
10．过点M(0，1)作直线l，使它夹在两直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0之间的线段恰好被点M平分，求直线l的方程．
解：设l与直线l1的交点为N(m，n)．
∵M为中点，∴l与l2的交点坐标为(－m，2－n)，
∴得方程组解得
∵l过M、N两点，∴由两点式得＝，
即直线l的方程为：x＋4y－4＝0.
课时作业24 两点间的距离
基础巩固
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为 ( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
解析：由|AB|＝＝5，得(a＋2)2＝9，解得a＝1或－5.
答案：C
2．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B.3＋2
C．6＋3 D．6＋
解析：∵|AB|＝＝3，
|BC|＝3，|AC|＝＝3，
∴△ABC的周长为6＋3.
答案：C
3．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．2 B．4
C．5 D.
解析：根据中点坐标公式，得＝1，且＝y.
解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
答案：D
4．到点A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
解析：设P(x，y)，则＝
，即3x＋y＋4＝0.
答案：B
5．在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5，8)的距离为5.
解：∵点P在直线2x－y＝0上，
∴可设P(a，2a)．
根据两点的距离公式，得
|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，
即5a2－42a＋64＝0，
解得a＝2或a＝，∴P(2，4)或.
能力提升
1．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
解析：设A(a，0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，
解得a＝4，b＝－2，
∴|AB|＝2.
答案：C
2．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C. D.
图1
解析：(如图1)A关于x轴对称点为A′(－3，－8)，
则A′B与x轴的交点即为M，
求得M坐标为(1，0)．
答案：B
3．以点A(1，－1)为对称中心，直线2x＋3y－6＝0关于A对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
解析：设P(x0，y0)为直线2x＋3y－6＝0上的点，
关于点A(1，－1)的对称点为P′(x，y)，
则∴
∵(x0，y0)在2x＋3y－6＝0上，
∴2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0.
整理得2x＋3y＋8＝0.
答案：D
4．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离是( )
A．5 B．2
C．5 D．10
解析：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．
所以|A′B|＝＝5.
答案：C
5．函数y＝＋的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：y＝＋
＝＋，
∴y表示x轴上的点P(x，0)到A(1，1)，B(3，2)两点的距离之和．
图2
如图2，点B关于x轴的对称点B′(3，－2)，
∴|BP|＝|B′P|.
又∵两点之间线段最短，
∴y的最小值为
|AB′|＝
＝.
答案：D
6．已知M(1，0)，N(－1，0)，点P在直线2x－y－1＝0上移动，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________．
解析：∵点P在直线2x－y－1＝0上，
可设P的坐标为(a，2a－1)，
∴|PM|2＋|PN|2＝(a－1)2＋(2a－1)2＋(a＋1)2＋(2a－1)2＝10a2－8a＋4.
∴|PM|2＋|PN|2的最小值为
＝2.4.
答案：2.4
7．直线l：y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在直线，若点A(－4，2)，B(3，1)．
(1)求点A关于直线l的对称点D的坐标；
(2)求点C的坐标；
(3)求△ABC的高CE所在的直线方程．
解：(1)设D(m，n)，
则?∴D(4，－2)．
(2)∵点D在直线BC上，
∴直线BC的方程为3x＋y－10＝0.
又∵C在直线y＝2x上，
∴?
∴C(2，4)．
(3)∵kAB＝＝－，
∴kCE＝7，又CE过点C(2，4)，
∴直线CE的方程为y－4＝7(x－2)，
即直线方程为：7x－y－10＝0.
8．在x轴上求一点P，使得
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大，并求出最大值；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小，并求出最小值．
解：(1)如图2，设直线BA与x轴交于点P，此时P为所求点，
图2
且|PB|－|PA|＝|AB|
＝＝5.
∵直线BA的斜率kBA＝＝－，
∴直线BA的方程为y＝－x＋4.
令y＝0，得x＝，即P.
故距离之差最大值为5，此时P点的坐标为.
(2)作A关于x轴的对称点A′，
则A′(4，－1)，连接CA′，
则|CA′|为所求最小值，直线CA′与x轴交点为所求点．
又|CA′|＝＝，
直线CA′的斜率kCA′＝＝－5，
则直线CA′的方程为y－4＝－5(x－3)．
令y＝0，得x＝，即P.
故距离之和最小值为，此时P点的坐标为.
拓展要求
1．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上．当|PA|＋|PB|取最小值时，求P点的坐标．
解：点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，连接A′B，则A′B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y＋3＝(x－1)，即y＝x－，与x＋y＝0联立，解得x＝，y＝－，故P点的坐标为.
2．如图3所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．
图3
解：以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图4所示的平面直角坐标系．
图4
因为AD＝5 m，AB＝3 m，
所以C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)．
设点M的坐标为(x，0)，因为AC⊥DM，
所以kAC·kDM＝－1，
即·＝－1.
所以x＝3.2，即BM＝3.2 m，
即点M的坐标为(3.2，0)时，两条小路AC与DM相互垂直．
故在BC上存在一点M(3.2，0)满足题意．
由两点间距离公式得DM＝＝ m.
课时作业25 点到直线的距离、两平行线间的距离
基础巩固
1．已知两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
A．4 B.
C. D.
解析：∵直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，
∴＝≠，解得m＝2.
∴两条直线方程分别为3x＋y－3＝0与6x＋2y＋1＝0，
即6x＋2y－6＝0与6x＋2y＋1＝0.
∴两条直线之间的距离为d＝＝.
答案：D
2．已知点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8，0) B．(－12，0)
C．(8，0)或(－12，0) D．(0，0)
解析：设P(a，0)，则＝6，
解得a＝8或a＝－12，
故点P的坐标为(8，0)或(－12，0)．
答案：C
3．已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C．3 D．6
解析：|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．
由平行线间的距离公式得d＝＝3.
答案：C
4．过点(1，2)，且与原点距离最大的直线方程为( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
解析：由已知得，所求直线过(1，2)，
且垂直于(0，0)与(1，2)两点的连线，
∴所求直线的斜率k＝－，
∴y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
答案：A
5．若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB|＝＝.
答案：B
能力提升
1．经过直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点间的距离为1的直线的条数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由可解得故直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1，3)，且过该点的直线与原点的距离为1.分类讨论：
若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；
若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，则有＝1，即9－6k＝1，解得k＝，
所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．
综上，满足条件的直线有2条．
答案：C
2．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：设所求点为(x，y)，则根据题意有
解得或
所以所求点的个数为2.
答案：B
3．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝的最小值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：解法1：因为x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，所以上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)的距离．即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)的距离．所以S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝＝.
解法2：因为x＋y＋1＝0，所以y＝－x－1，
所以S＝
＝＝，
所以x＝－时，Smin＝＝.故选C.
答案：C
4．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
解析：由点到直线的距离公式得：＝2，化简得3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0.
答案：B
5．直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
解析：由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，
∵kAB＝＝，∴kl＝－3，
由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
答案：C
6．两平行线分别过点A(3，0)和B(0，4)，则它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0C．3≤d≤5 D．0解析：如图1，0图1
答案：D
7．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P坐标是________．
解析：∵点P在直线x＋3y＝0上，
∴设点P(－3t，t)，由已知得：
＝
即|t|＝，
解得t＝或t＝－.
∴P或.
答案：P或
8．已知直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，求l的方程．
解：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；
当l的斜率存在时，设l的斜率为k，
则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵点A，B到l的距离相等，
∴＝，
∴|1－3k|＝|3k－5|，
解得k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.
综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0.
9．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理，得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式，得＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1，5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
解：(1)点P(1，5)到lCD的距离为d，
则d＝.
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1，5)到lAB的距离也等于d，
则＝，
又∵m≠－13，∴m＝－19，
即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1，5)到lAD的距离等于P(1，5)到lBC的距离，
且都等于d＝，
＝，解得n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以， 正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0，3x－y＋5＝0，3x－y－1＝0.
拓展要求
已知A(－2，0)，B(2，－2)，C(0，5)，过点M(－4，2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分，求此两部分面积的比．
解：由两点式得直线AB的方程为＝，即x＋2y＋2＝0.设过点M(－4，2)且平行于AB的直线l的方程为x＋2y＋m＝0，
将点M(－4，2)的坐标代入得m＝0，
所以过点M(－4，2)且平行于AB的直线l的方程为x＋2y＝0，此直线将三角形的面积分成两部分，通过点到直线的距离
其中△CPQ的边PQ上的高d1＝＝2，
△ABC的边AB上的高d2＝＝，
△CPQ的面积与△ABC的面积之比为
＝＝＝，
所以两部分的面积之比为＝.
