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导练第四章 圆与方程全章内容分析高考考向导析学习方法建议第一节 圆的方程第一课时 圆的标准方程目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业26 （点击进入）word板块 课件33张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第四章 圆与方程第一节 圆的方程第二课时 圆的一般方程目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业27 （点击进入）word板块 课时作业26 圆的标准方程
基础巩固
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是( )
A.π B．2π
C．2π D．2π
解析：根据圆的方程知半径为，
所以该圆的周长为2πr＝2π.故选B.
答案：B
2．已知点A(3，－2)、B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
解析：由题意得圆心的坐标为(－1，1)，
半径r＝|AB|＝＝5，
故选B.
答案：B
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，则圆心关于原点(0，0)对称的点为(2，0)，则所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
4．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B.(－∞，5)
C．(0，5) D．[0，5]
解析：由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5，又易知m＞0，∴0＜m＜5，故选C.
答案：C
5．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：根据圆心在直线x＋y－2＝0上可排除B，D.再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确．
答案：C
6．求圆心在x轴上，且过A(1，4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
解：设圆心为(a，0)，
则＝，所以a＝－2.
半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
能力提升
1．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半圆
解析：方程等价变形为：x2＋y2＝9(y≥0)，
∴表示半圆．
答案：D
2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
答案：D
3．直线l：kx－y－4k＋3＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的公共点的个数为( )
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
解析：∵l：k(x－4)＝y－3，∴l恒过定点(4，3)．
∵(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，
∴(4，3)在圆内，
∴直线过圆内一点，与圆恒有两个公共点．
答案：B
4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.
答案：B
5．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.
答案：5＋
6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．
解析：依题意设圆心坐标为(a，1)，
则1＝，又a＞0，∴a＝2.
所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
7．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
答案：1＋
8．△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)．
(1)求△ABC外接圆的标准方程；
(2)求BC边中线所在直线截其外接圆的弦长．
解：(1)设其外接圆方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为顶点在圆上，则：
解得a＝1，b＝3，r＝，
所以△ABC外接圆的标准方程为
(x－1)2＋(y－3)2＝5.
(2)BC的中点D，kAD＝，
所以直线AD的方程为x－7y＋15＝0，
圆心(1，3)到直线AD的距离d＝，
又因为半径为，
所以半弦长为 ＝，
所以弦长为3.
9．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4，2)．
(1)求圆C的方程；
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程．
解：(1)由题意，设圆C的方程为
(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
因为圆C过定点P(4，2)，
所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
所以r2＝2x02－12x0＋20.
所以圆C的方程为
(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x02－12x0＋20.
(2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x02－12x0＋20
＝2(x0－3)2＋2，
所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
拓展要求
设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈ N*)，有下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的序号是____________．(写出所有真命题的序号)
解析：组圆的圆心为(k－1，3k)，半径r＝k2，所以组圆的圆心都在直线y＝3x＋3上，圆与圆之间是包含关系，圆C1?圆C2?……所以①是假命题，②是真命题；与圆C1相交的直线必与圆Ck(k∈ N*)相交．③为假命题，反证推理，若存在直线l与所有的圆Ck(k∈ N*)都不相交，取直线l上一定点(x0，y0)，则有(x0－k＋1)2＋(y0－3k)2＞2k4(k∈ N*)恒成立，取k0≥max{|x0|，|y0|}，当k＞k0时(2k)2＋(4k)2＞2k4恒成立，但这是不可能的．④为真命题，使用验证法判断，(0－k＋1)2＋(0－3k)2＝2k4，即2k4－10k2＋2k＝1，其中(2k4－10k2＋2k)为偶数，而1为奇数，则该式中k没有正整数解．
答案：②④
课时作业27 圆的一般方程
基础巩固
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( )
A.π B．2π
C．2π D．4π
解析：因为圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，所以圆的半径是，则圆的周长等于2π.
答案：C
2．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心到直线x－y－2＝0的距离为( )
A. B．2 C．3 D．0
解析：圆的圆心坐标为(1，1)，所以圆心到直线x－y－2＝0的距离为＝.
答案：A
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1 C．3 D．－3
解析：将圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程
(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1，2)．
∵直线3x＋y＋a＝0过圆心，
∴将(－1，2)代入直线3×(－1)＋2＋a＝0，
解得a＝1.
答案：B
4．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
C．x2＋y2－4x－6y＝0
D．x2＋y2－4x＋6y＝0
解析：易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.
答案：D
5．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是( )
A．m>0 B．m<
C．0解析：x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为＋＝－m，
则－m>0，解得m<.
因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m>0，
即m>0，所以0答案：C
能力提升
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D.不存在
解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．
答案：A
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是( )
A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0
解析：∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，
∴D＝E≠0.
答案：D
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为
(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1，2)．
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案：C
4．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：
图1
如图1，结合圆的性质可知，
圆的半径
r＝
＝.
故所求圆的方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案：B
5．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A. B．5 C．2 D．10
解析：圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5.故选B.
答案：B
6．光线从点A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________．
解析：∵A(1，1)关于y轴对称点为A′(－1，1)，
∴所求的最短路程为|A′C|－2，
|A′C|＝＝6.
∴所求的最短路程为6－2.
答案：6－2
7．圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上．求圆C的方程；
解：解法1：直线AB的斜率k＝＝－1，
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.
线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为
x＝＝，
y＝＝.
因此，直线m的方程为y－＝x－，
即x－y－1＝0.
又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点．
联立方程组解得
所以圆心坐标为C(3，2)．
又半径r＝|CA|＝，
则所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法2：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得
解得
所以所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13.
8．(2019年广东实验中学高二检测)已知方程x2＋y2＋2x－6y＋m＝0.
(1)若m∈R，试确定方程所表示的曲线；
(2)若方程表示的是圆，且圆的圆心到直线2x－y－1＝0的距离等于半径，求m的值．
解：(1)原方程可变形为(x＋1)2＋(y－3)2＝10－m.
当m<10时，方程所表示的曲线是以(－1，3)为圆心、为半径的圆；
当m＝10时，方程表示的图形是点(－1，3)；
当m>10时，方程不表示任何曲线．
(2)当m<10时，圆心(－1，3)到直线的距离等于圆的半径，
即＝，∴m＝.
9．已知两个定点O(0，0)和A(3，0)，动点P到点O的距离与它到点A的距离的比是1∶2，求动点P的轨迹．
解：设点P的坐标为(x，y)．
因为＝＝，
整理得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4.
∴动点P的轨迹是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
10．动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半，求：
(1)动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，
则点M适合的条件可表示为
＝
平方后再整理，得x2＋y2＝16.
可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．
由于A(2，0)，且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝.
所以有x1＝2x－2，y1＝2y.①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，
所以M的坐标(x1，y1)满足x12＋y12＝16.②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.
所以M的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆．
11．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2
＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，
由二次函数的图象解得－＜t＜1.
(2)由(1)知r＝
＝，
∴当t＝∈时，
rmax＝，此时圆的面积最大，
所对应的圆的方程是＋＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·(4t2)＋16t4＋9＜0时，
点P恒在圆内，
∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜，
即t的取值范围是.
