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导练第四章 圆与方程第二节 直线、圆的位置关系第一课时 直线与圆的位置关系目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业28 （点击进入）word板块 课件38张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第四章 圆与方程第二节 直线、圆的位置关系第二课时 圆与圆的位置关系目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业29 （点击进入）word板块 课件30张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第四章 圆与方程第二节 直线、圆的位置关系第三课时 直线与圆的方程的应用目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业30 （点击进入）word板块 课时作业31 课时作业28 直线与圆的位置关系
基础巩固
1．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D.不确定
解析：直线y＝kx＋1过点(0，1)，且该点在圆x2＋y2＝4内，所以直线与圆相交．
答案：C
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B.2或－12
C．－2或－12 D.2或12
解析：圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或b＝12，故选D.
答案：D
3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是 ( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求切线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.
答案：A
4．过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则k的取值范围是( )
A．k<－3或k>2
B．k<－3或2
C．k>2或－D．－解析：把圆的方程化为标准方程得：＋(y＋1)2＝16－k2，所以16－k2>0，解得－0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，所以实数k的取值范围为∪.
答案：D
5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，求直线l斜率k的取值范围．
解：圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，
设直线方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，
根据点到直线的距离公式，得<1，
即k2<，解得－即为直线l斜率的取值范围．
能力提升
1．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则这个圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
解析：圆心到直线的距离d＝＝.
r2＝d2＋()2＝4，解得r＝2，
故圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
答案：A
2．过点(2，1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D.x－3y＋5＝0
解析：∵过点(2，1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线经过圆心，∴该直线过点(2，1)和圆心(1，－2)，其方程为＝，整理得3x－y－5＝0.故选A.
答案：A
3．若直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
解析：圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2，1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”矛盾，所以mn<1.
答案：C
4．由直线y＝x－1上的一点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：在直线y＝x－1上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中，|CA|＝r＝1.要使|PA|最小，则|PC|应最小．又当PC与直线垂直时，|PC|最小，其最小值为＝.故|PA|的最小值为＝1.
答案：A
5．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是________．
解析：易知所求直线过圆心且与AB垂直，
圆心坐标为(1，0)．
设所求直线方程为3x－2y＋c＝0，
则3×1－2×0＋c＝0，c＝－3.
即所求直线方程为3x－2y－3＝0.
答案：3x－2y－3＝0
6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点的个数是________．
解析：圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，圆半径为2，圆心到直线l的距离为＝＝.
因此和l平行的圆的直径的两端点及与l平行的圆的切线的切点到l的距离都为，共3个点．
答案：3
7．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.
解析：圆心到直线的距离d＝＝，半径r＝2，
∴|AB|＝2＝2.
答案：2
8．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
解析：由题意可知圆的圆心为C(1，a)，半径r＝2，
则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离
d＝＝.
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝r＝2.
又|AB|＝2，
所以2＝2，
即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.
答案：4±
9．若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：数形结合的方法．如图1所示，
∠CAB＝∠BAD＝30°，
图1
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为
[0°，30°]∪[150°，180°)．
∴直线l的斜率的取值范围为.
答案：
10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.
(1)求过点P(1，2)，且与圆C相切的直线l的方程；
(2)直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．
解：(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由＝2，得k1＝0，k2＝－，
故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0.
(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则2＝2，∴d＝1，∴1＝，∴k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
11.已知实数x、y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4.
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
12．已知点P(x0，y0)是圆O：x2＋y2＝r2外一点，过点P作圆O的切线，两切点分别为A，B，试求直线AB的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵A，B在圆上，
∴过点A，B的两切线方程分别是x1x＋y1y＝r2，x2x＋y2y＝r2.
又∵点P(x0，y0)在两切线上，
∴
∴A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都是方程x0x＋y0y＝r2的解．
∴直线AB的方程是x0x＋y0y－r2＝0.
拓展要求
1．若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
解析：直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C：＝x－1表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1，0))．当直线l经过点(1，0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，直线记为l1；当l与半圆相切时，由＝1，得k＝，切线记为l2.分析可知当＜k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点，故选A.
答案：A
2．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )
A. B．2
C. D.2
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1，1)，半径r＝1.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S△APC＝2××|PA|×r＝|PA|＝＝.要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|的最小值为圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离，即为＝＝2，所以四边形PACB面积的最小值为＝.
答案：C
课时作业29 圆与圆的位置关系
基础巩固
1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：两圆的圆心分别为(－2，2)，(2，－5)，则两圆的圆心距d＝＝.又两圆半径分别为1和4，则d>1＋4＝5，即两圆外离，因此它们有4条公切线．
答案：D
2．圆：x2＋y2－2x－2y＝0和圆：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B.x－y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D.2x－y－1＝0
解析：AB的垂直平分线就是两圆的连心线，两圆的圆心分别为(1，1)，(3，－1)，过两圆圆心的直线方程为x＋y－2＝0.
答案：C
3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D.不确定
解析：两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，
两圆的半径分别为3，2，
由题意得 ＝3＋2，
解得m＝2或m＝－5.
答案：C
4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝16
B．(x±4)2＋(y－6)2＝16
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：设所求圆心坐标为(a，b)，则|b|＝6.
由题意，得a2＋(b－3)2＝(6－1)2＝25.
若b＝6，则a＝±4；若b＝－6，则a无解．
故所求圆方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
答案：D
5．若点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为( )
A．3 B．2 C．1 D．4
解析：|PQ|的最小值应为圆心距减去两圆半径，
即(|PQ|)min＝|OC|－2＝3－2＝1.
答案：C
6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1相离，则a，b满足的条件是________．
解析：两圆的连心线的长为d＝.
∵两圆相离，∴d>＋1，
∴a2＋b2>3＋2.
答案：a2＋b2>3＋2
7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
解析：∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.
又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，
则|C1C2|＝＝＝2，
∴|C1C2|＝r1＋r2.∴两圆外切．
答案：外切
能力提升
1．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析：设动圆圆心(x，y)，则若两圆内切，则有＝4－1＝3，即(x－5)2＋(y＋7)2＝9；若两圆外切，则有＝4＋1＝5，即(x－5)2＋(y＋7)2＝25.
答案：D
2．若圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝0 B.x＋y＝2
C．x－y＝2 D.y＝x＋2
解析：因为kC1C2＝－1，C2C1的中点为(－1，1)，所以C2C1的垂直平分线即为所求直线l，其方程为y＝x＋2.
答案：D
3．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A．(0，－1) B．(0，1]
C．(0，2－] D．(0，2]
解析：由已知M∩N＝N知N?M，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，
∴2－r≥，∴0答案：C
4．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
解析：利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.
答案：B
5．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________．
解析：设圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的圆心为C，
则C(2，4)，
∵CP⊥OP，CQ⊥OQ，
∴过四点O，P，C，Q的圆的方程为
(x－1)2＋(y－2)2＝5.
两圆方程相减得直线PQ的方程为x＋2y－8＝0.
答案：x＋2y－8＝0
6．圆x2＋y2－x＋y－2＝0和圆x2＋y2＝5的公共弦长为________．
解析：由
②－①得，
两圆的公共弦所在直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为
d＝＝.
设公共弦长为l，∴l＝2＝.
答案：
7．与圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a＝ ________．
解析：两圆圆心分别为，(2，0)，则＝－1，且点在x－y－1＝0上，解得a＝2.
答案：2
8．过直线x－y＋4＝0上任意一点P(x，y)向圆x2＋y2＝1引切线，求切线长的最小值．
解：
图1
如图1，过点O向直线x－y＋4＝0引垂线，垂足为P，过P作圆x2＋y2＝1的一条切线PA，A为切点，此时点P是直线上所有点中到点O的距离最小的点．又|PA|2＝|PO|2－|AO|2，|AO|＝r，∴|PA|2＝()2－1＝7，∴|PA|＝，∴切线长的最小值为.
9．求过点A(4，－1)，且与圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝5相切于点B(1，2)的圆的方程．
解：设所求圆的圆心M(a，b)，半径为r，
已知圆的圆心为C(－1，3)，
因为切点B在连心线上，即C，B，M三点共线，
所以＝，
即a＋2b－5＝0. ①
由于AB的垂直平分线为x－y－2＝0，
圆心M在AB的垂直平分线上，
所以a－b－2＝0.②
联立①②解得
故圆心坐标为M(3，1)，r＝|MB|＝，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.
10．已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．
解：设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．直线AB的方程为x＋y－2＝0.
两圆圆心连线的方程为x－y＝0.
解方程组
得圆心坐标为(1，1)．
圆心M(0，0)到直线AB的距离为d＝，
弦AB的长为|AB|＝2＝4，
所以所求圆的半径为2.
所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.
11．已知两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0(k<50)．当两圆有如下位置关系时：
(1)外切；(2)内切；(3)相交；(4)内含；(5)外离．
试确定上述条件下k的取值范围．
解：将两圆的方程化为标准方程：
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1；
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
则圆C1的圆心坐标C1(－2，3)，半径r1＝1，
圆C2的圆心坐标C2(1，7)，半径r2＝.
从而圆心距d＝＝5.
(1)当两圆外切时，d＝r1＋r2，即1＋＝5，
解得k＝34.
(2)当两圆内切时，d＝|r1－r2|，
即|1－|＝5，解得k＝14.
(3)当两圆相交时，|r1－r2|即|1－|解得14(4)当两圆内含时，d<|r1－r2|，
即|1－|>5，解得k<14.
(5)当两圆外离时，d>r1＋r2，
即1＋<5，解得k>34.
12．(2019年湖北省三校高二联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a，0)．
(1)若A在圆C内部，求a的取值范围；
(2)当a＝2时，若圆心为M(1，m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切，求圆M的方程；
(3)当a＝－1时，若l1、l2被圆C所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程．
解：(1)圆C：(x＋2)2＋y2＝4，
圆心坐标为(－2，0)，半径为2.
由A在圆C内部，可得(a＋2)2<4，则－4(2)设圆M的半径为r，由于圆M的两条切线互相垂直，故圆心M(1，m)到点A(2，0)的距离为r.
由
解得r＝2，m＝±，
∴圆M的方程为(x－1)2＋(y±)2＝4.
(3)当a＝－1时，l1、l2被圆C所截得的弦长相等，
由圆的对称性可知，直线l1的斜率k＝±1，
∴直线l1的方程为：x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
课时作业30 直线与圆的方程的应用(一)
基础巩固
1．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
解析：圆心的坐标为(3，2)，且圆与x轴相切．
当|MN|＝2时，弦心距最大，
由点到直线的距离公式得≤1，
解得k∈.
答案：A
2.直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得到的劣弧所对的圆心角为( )
A．30° B．45°
C．60° D.90°
解析：∵圆心到直线的距离为d＝＝，
圆的半径为2，
∴劣弧所对的圆心角为60°.
答案：C
3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20 C．30 D.40
解析：圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，最长弦为圆的直径，故最长弦为10，所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝×10×4＝20.
答案：B
4．圆x2＋y2＝4上与直线l：4x－3y＋12＝0距离最小的点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：圆的圆心(0，0)，过圆心与直线4x－3y＋12＝0垂直的直线方程为3x＋4y＝0.
3x＋4y＝0与x2＋y2＝4联立可得x2＝，
所以它与x2＋y2＝4的交点坐标是，.又圆上一点与直线4x－3y＋12＝0的距离最小，所以所求的点的坐标为.
答案：C
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：由题意知，圆心(0，0)到直线的距离小于1，即<1，|c|<13，－13答案：(－13，13)
6．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：两圆圆心分别为O(0，0)，O1(m，0)，
且<|m|<3.
又易知OA⊥O1A，
∴m2＝()2＋(2)2＝25，
∴m＝±5，∴|AB|＝2×＝4.
答案：4
能力提升
1．⊙A，⊙B，⊙C两两外切，半径分别为2，3，10，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B.直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：△ABC的三边长分别为5，12，13，52＋122＝132，所以△ABC为直角三角形．
答案：B
2．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为( )
A．0.5 h B.1 h
C．1.5 h D.2 h
解析：如图1，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|＝20，所以时间为1 h．故选B.
图1
答案：B
3．过点A(0，a)，在x轴上截得弦长为2a的动圆圆心轨迹方程是( )
A．x2＋(y－a)2＝a2 B．y2＝2ax
C．(x－a)2＋y2＝a2 D．x2＝2ay
解析：设圆心为C(x，y)，则其半径r＝
则()2＝＋y2，
整理得x2＝2ay.
答案：D
4．方程 ＝kx＋2有唯一解，则实数k的范围是( )
A．k＝± B．k∈(－2，2)
C．k<－2或k>2 D．k<－2或k>2或k＝±
解析：y＝表示单位圆x2＋y2＝1的上半部分，y＝kx＋2表示过定点(0，2)的直线，斜率在变化，数形结合即得．
答案：D
5．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线l的距离应小于等于，
∴≤，
∴＋4＋1≤0，
∴－2－≤≤－2＋.
∵k＝－，∴2－≤k≤2＋，
直线l的倾斜角的取值范围是.
答案：B
6．将直线2x－y－2＝0绕着其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线l，则直线l被圆x2＋y2＝1所截得的弦长等于________．
解析：记直线2x－y－2＝0的倾斜角为α，则tanα＝2.所以直线l的斜率k＝tan(α＋45°)＝＝－3.又l过点(1，0)，所以l的方程为y＝－3(x－1)，即3x＋y－3＝0.圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝.∴所截得弦长为2＝.
答案：
7．(2019年嘉兴市高三模拟)已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，且A(4，0)，B(6，8)，C(2，4)，则R的取值范围是__________．
解析：由题意，直线AC的方程为y＝(x－4)，
即2x＋y－8＝0，
原点到直线的距离为＝，
原点与点B的距离为10，
∴R的取值范围是.
答案：
8．求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程．
解：曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.
图2
过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图2所示，
圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为
＝，
则圆C2的半径为.
设C2的坐标为(x0，y0)，
则＝，
解得x0＝2(x0＝0舍去)，
所以圆心坐标为(2，2)，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
9．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点，并求出此定点；
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．
解：(1)圆的方程可整理为
(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0.
此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．
由得
所以已知圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.
①当两圆外切时，d＝r1＋r2，
即2＋＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)；
②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，
即|－2|＝，
解得a＝1－或a＝1＋(舍去)．
综上所述，a＝1±.
10．某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km(A在B的右侧)，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
图3
解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识可知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，点B在y轴上建立空间直角坐标系(如图3)，
则B(0，2)，A(，)．
设过A，B两点，且与x轴相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b>0)，因为圆心在AB中垂线上，且中垂线方程是x－y＋＝0，
所以
所以或
由实际意义知(舍去)
所以圆的方程为x2＋(y－)2＝2，与x轴的切点即原点，所以观景点应设在B景点在小路的射影处．
课时作业31 直线与圆的方程的应用(二)
基础巩固
1．若直线y＝kx－2k与圆(x－3)2＋y2＝1恒有两个交点，则实数k的取值范围为( )
A．R B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C. D.
解析：由题意可知＜1，即此不等式恒成立．
或直线y＝k(x－2)过定点(2，0)，
定点(2，0)在圆(x－3)2＋y2＝1上．
由于斜率k存在，故总有两个交点．
答案：A
2．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦AB长等于( )
A．4 B．2
C．2 D.
解析：直线y＝kx过圆心，被圆x2＋y2＝2所截得的弦长恰为圆的直径2.
答案：C
3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0
解析：∵AB是圆(x－1)2＋y2＝25的弦，
圆心为C(1，0)
∴设AB的中点是P(2，－1)满足AB⊥CP
因此AB的斜率k＝＝＝1
可得直线AB的方程是y＋1＝x－2，
化简得x－y－3＝0.
答案：C
4．圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9中弦长为2的弦的中点的轨迹方程是________．
解析：设弦的中点为M(x，y)，因为弦长为2，圆的半径为3，则点M到圆心的距离为2.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝8
5．过点A(2，4)向圆x2＋y2＝4所引的切线方程为________．
解析：显然x＝2为所求切线之一，另设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.
又＝2，解得k＝，
所以切线方程为3x－4y＋10＝0，
故所求切线为x＝2，或3x－4y＋10＝0.
答案：x＝2或3x－4y＋10＝0
6．圆x2＋y2＝4中一组斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程是________．
解析：轨迹为过点(0，0)的直线y＝－x在圆x2＋y2＝4内的一部分．
答案：y＝－x(－能力提升
1．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
解析：设过A，B，C三点的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则，
解得D＝－2，E＝4，F＝－20，
所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，
令x＝0，得y2＋4y－20＝0，
设M(0，y1)，N(0，y2)，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，
所以|MN|＝|y1－y2|
＝＝4.
答案：C
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是( )
A. B. C. D. π
解析：在平面直角坐标系中绘制函数y＝|x|与圆x2＋y2＝4的图象，如图1所示，所围成部分较小的面积为半径为2的圆的，
图1
∴面积为×π×22＝π.
答案：D
3．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( )
A. 2.4米 B. 3米
C. 3.6米 D. 2.0米
图2
解析：如图2，AB＝2，圆的半径为，则圆心到该直线的距离为h＝＝3，即这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过3米，故选B.
答案：B
4．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析：由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.
答案：D
5．(2019年广东广州一模)已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在直线为l1 ，直线l2的方程为ax＋by＋r2＝0，那么( )
A．l1∥l2，且l2与圆O相离
B．l1⊥l2，且l2与圆O相切
C．l1∥l2，且l2与圆O相交
D．l1⊥l2，且l2与圆O相离
解析：已知直线l1过点P且与PO垂直，kPO＝，故l1的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－(a2＋b2)＝0.∵kl1＝kl2＝－，∴l1∥l2.又∵P是圆O内一点，∴a2＋b2＝r，故l2与圆O相离，综上，选A.
答案：A
图3
6．过圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心，作直线分别交x、y轴的正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分(如图3所示)．若这四部分图形面积满足SⅠ＋SⅣ＝SⅡ＋SⅢ，则这样的直线AB有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析：令f＝SⅠ＋SⅣ－(SⅡ＋SⅢ)，Ⅱ和Ⅳ的面积固定，当直线AB的斜率变大时，Ⅲ的面积变小，Ⅰ的面积变大，所以f关于AB的斜率单调递增．当直线AB的斜率接近于0时，f>0，当直线AB的斜率接近于负无穷时，f<0，所以有且仅有1条直线符合题意．
答案：B
7．与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________．
解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，
则＝1①
由两圆外切，得＝1＋2＝3②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，
所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－5)2＋(y＋1)2＝1
8．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________
解析：数形结合，由平面几何可知△ABP是等边三角形，
∴|OP|＝2，则P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
图4
答案：x2＋y2＝4
9．求过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3，1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
10．已知Rt△ABC中，已知A(－1，0)、B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)设C(x，y)，则kAC＝，kBC＝.
∵AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
由于A、B、C不共线，∴y≠0.
故顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)设M(x，y)、C(x1，y1)．
由(1)知(x1－1)2＋y12＝4(y1≠0)．①
又B(3，0)，M为BC的中点，由中点坐标公式，
知x＝，y＝，∴x1＝2x－3，y1＝2y.
代入①式，得中点M的轨迹方程为
(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
拓展要求
若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
解析：由题意得C1：(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1是以(1，0)为圆心，1为半径的圆．m＝0时C2表示与x轴重合的直线，此时直线与圆只有2个不同的交点．m≠0时C2表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有2个不同的交点．∵l与x轴相交，∴圆心C1到l的距离d＝答案：B
