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导练第一章 空间几何体全章内容分析高考考向导析学习方法建议第一节 空间几何体的结构目标导向知识导学重点导析思维导悟温示提馨课时作业1 （点击进入）word板块 课时作业1 空间几何体的结构
基础巩固
1．下列说法正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故A、B错误；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱，故D正确．
答案：D
2．具备下列条件的多面体是棱台的是( )
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
解析：四棱台、五棱柱、长方体各表面均为平面，是多边形，均为多面体，圆锥体的侧面为曲面，底面是圆，均不是多边形，因此不是多面体．故选D.
答案：D
3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )
A．圆台 B．圆锥
C．圆柱 D．球
解析：由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，所以形成的几何体是圆锥．故选B.
答案：B
4．下列说法正确的有( )
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．
答案：C
5．图1中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )
图1
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
解析：当截面不过旋转轴时，截面图形是(5)，故选D.
答案：D
6．下列说法正确的是( )
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．
解析：①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边的中线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错，③对．
答案：③
能力提升
1．关于如图2所示几何体的正确说法为( )
图2
①这是一个六面体 ②这是一个四棱台 ③这是一个四棱柱 ④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到 ⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到
A．①②③ B.①③④
C．①②④⑤ D.①③④⑤
解析：①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．④⑤都正确．如图3所示．
图3
答案：D
2．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A．至多有一个是直角三角形
B．至多有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
图4
D．必然都是非直角三角形
解析：注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图4所示的长方体中，三棱锥A-A1C1D1的三个侧面都是直角三角形．
答案：C
3．已知正四棱锥V-ABCD中，底面面积为16，侧棱的长为2，则该棱锥的高是________．
解析：如图5，取正方形ABCD的中心O，连接VO、AO，则VO就是正四棱锥V-ABCD的高．
图5
因为底面面积为16，
所以AO＝2.
因为侧棱的长为2，
所以VO＝
＝＝6.
所以正四棱锥V-ABCD的高为6.
答案：6
4．圆台的两底面半径分别为2，5，母线长是3，则其轴截面面积是________．
解析：设圆台的高为h，则h＝＝9，∴轴截面面积S＝(4＋10)×9＝63.
答案：63
5．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为________．
图6
解析：如图6，设圆锥的母线长为y，圆台的上、下底面半径为x，4x，根据相似三角形的比例关系得＝，也就是4(y－10)＝y，所以y＝ cm，所以圆锥的母线长为 cm.
答案： cm
6．下列说法中，正确的有________个．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
②正棱锥的侧面是等边三角形；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
解析：
图7
①错误．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图7所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．
图8
②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．
③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图8所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．
答案：0
7．直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，分别以AB，BC，AC所在直线为轴旋转一周，分析所形成的几何体的结构特征．
解：在Rt△ABC中，分别以三条边AB，BC，AC所在直线为轴旋转一周所得的几何体，如图9.
图9
其中图(1)和图(2)是两个不同的圆锥，它们的底面分别是半径为4和3的圆面，母线长均为5.
图(3)是由两个同底圆锥构成的几何体，在圆锥AO中，AB为母线，在圆锥CO中，CB为母线．
8．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
图10
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
拓展要求
1．如图11，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
图11
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
解析：如图12.
图12
∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)，因此呈棱柱形状．
答案：A
2．已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．
解：
图13
过内接正方体的体对角线作圆锥的轴截面，如图13.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽△VMN，
所以＝，即＝，
所以hx＝2rh－2rx，即x＝.
故这个正方体的棱长为.
