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导练第四章 圆与方程第三节 空间直角坐标系第一课时 空间直角坐标系目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业32 （点击进入）word板块 课件34张PPT。同步导练/RJ·必修② 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练第四章 圆与方程第三节 空间直角坐标系第二课时 空间两点间的距离公式目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业33 （点击进入）word板块 课时作业32 空间直角坐标系
基础巩固
1．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
解析：点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
答案：A
2．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为( )
A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)
C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)
解析：点M关于y轴的对称点是M′(－4，7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4，0，－6)．
答案：C
3．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1，3，－5) B.(1，3，5)
C．(1，－3，5) D．(－1，－3，5)
解析：P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1，3，5)．
答案：B
4．设y∈R，则点P(1，y，2)的集合为( )
A．垂直于xOz平面的一条直线
B．平行于xOz平面的一条直线
C．垂直于y轴的一个平面
D．平行于y轴的一个平面
解析：由于点的横坐标、竖坐标均为定值，而纵坐标不确定，故该点的集合为垂直于平面xOz的一条直线．
答案：A
5．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可以写成(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可以写成(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可以写成(0，0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．
其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可以写成是(a，0，0)，①错；在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可以写成(0，b，c)，②对；在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可以写成(0，0，c)，③对；在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)，④对．正确命题的个数为3.
答案：C
6．点P(1，2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
解析：∵点P(1，2，－1)在xOz平面内的射影为B(1，0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.
答案：0
7．如图1所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________．
图1
解析：因为|OA|＝3，|AB|＝3，|AA1|＝2，
所以A(3，0，0)，A1(3，0，2)，B(3，3，0)，B1(3，3，2)．
由条件知M为OB1的中点，
所以M点的坐标为.
答案：
8．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________．
解析：设中点坐标为(x0，y0，z0)，
则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，
∴中点坐标为(4，0，－1)．
答案：(4，0，－1)
能力提升
1．已知点A(－3，1，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为( )
A．(1，－3，－4) B．(－4，1，－3)
C．(3，－1，－4) D．(4，－1，3)
解析：由题意可得：点A(－3，1，4)，所以根据空间中点的位置关系可得：点A关于原点的对称点A′的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数，所以可得A′(3，－1，－4)．故选C.
答案：C
2．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
解析：如图2所示，点A1(1，0，1)、B(1，1，0)、C1(0，1，1)、D(0，0，0)，此四点恰为正方体A1B1C1D1-ABCD上四个顶点，此四点构成了一个棱长为的正四面体，该正四面体在投影面xOz上的正投影为正方形A1D1DA.
图2
答案：A
3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图3是食盐晶胞的示意图(棱长为1的正方体)．其中“”代表钠原子，“·”代表氯原子．建立空间直角坐标系O-xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )
图3
A.
B．(0，0，1)
C.
D.
解析：易知x＝，y＝，z＝1.故选A.
答案：A
4．点P(2，－1，4)关于y轴对称的点的坐标为________
解析：空间直角坐标系O-xyz中，
点P(2，－1，4)关于y轴的对称点的坐标为
(－2，－1，－4)．
答案：(－2，－1，－4)
5．三棱锥各顶点的坐标分别为(0，0，0)，(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，3)，则三棱锥的体积是________．
解析：V＝Sh＝××1×2×3＝1.
答案：1
6．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点为O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．
解：长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点为O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A(－2，－3，－1)，其他7个顶点的坐标分别为：(－2，－3，1)，(－2，3，－1)，(2，－3，－1)，(2，3，－1)，(2，－3，1)，(－2，3，1)，(2，3，1).
7．如图4所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP.M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，射线OM，ON，OP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求A，B，C，D，E，F的坐标．
图4
解：易求出B点坐标为(1，1，0)．
因为A，C，D与B点分别关于xOz平面、yOz平面、坐标原点对称，所以A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)．
又因为E，F分别为PA，PB的中点，且P(0，0，2)，
所以E，F.
8．如图5所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．
图5
解：如图6所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C，D，P(0，0，2)，E.
图6
课时作业33 空间两点间的距离公式
基础巩固
1．点P(2，3，4)到y轴的距离是( )
A. B．2
C．5 D.
解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，
所以|PP′|＝＝＝2.
答案：B
2．空间点A(1，2，3)关于点C(3，5，1)的对称点B的坐标为( )
A．(1，1.5，1) B．(5，8，－1)
C．(－1，－1.5，－1) D．(－5，8，1)
解析：考查空间中的对称问题．设B(x，y，z)，
则有解得故选B.
答案：B
3．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
解析：点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1，2，1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2，1)，
故|BC|＝＝4.
答案：B
4．如图1所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．
图1
解析：由于点P在xOz平面内，故其纵坐标为0，
结合图形可知点P的坐标是(2，0，1)．
答案：(2，0，1)
5．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．
解析：由A(3，－1，2)，中心M(0，1，2)
所以C1(－3，3，2)．
正方体体对角线长为
|AC1|＝
＝2，
所以正方体的棱长为＝.
答案：
6．如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
图2
解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系．
图3
因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，
B1(0，2，2)，
由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
所以|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
能力提升
1．已知三点A、B、C的坐标分别为A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于( )
A．28 B．－28
C．14 D．－14
解析：∵AB⊥AC，
∴△ABC为直角三角形，|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.
而|BC|2＝λ2－2λ＋146，
|AB|2＝44，|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.
答案：D
2．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：|AB|＝
＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2.
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
3．在空间直角坐标系中，与点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)等距离的点的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
解析：由两点间距离公式可得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝.易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等．而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等．
答案：D
4．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为，则P点坐标为________．
解析：设点P的坐标为(x，0，0)，由题意，
得|P0P|＝，
即＝.
解得x＝9或x＝－1.
所以P点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．
答案：(9，0，0)或(－1，0，0)
5．与点A(－1，2，3)，B(0，0，5)的距离相等的点的坐标满足的条件为________．
解析：设满足条件的点的坐标为(x，y，z)，由题意可得
＝，
即2x－4y＋4z－11＝0.
答案：2x－4y＋4z－11＝0
6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．
图4
解：如图5分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
图5
∵|DD1|＝|CC1|＝2，
∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
∵N为CD1的中点，∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1，1，2)．
由两点间距离公式得
|MN|＝＝.
7．如图6所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．
图6
解：由题意有B(0，－2，0)，C(0，2，0)，
设D(0，y，z)，在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，
∴|BD|＝2，|CD|＝2，z＝.
∴y＝－1，∴D(0，－1，)．
又∵A，
∴|AD|＝
＝.
8．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6，5，1)的距离最小．
解：∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，
∴可设M(x，1－x，0)．
∴|MN|＝
＝≥，
当且仅当x＝1时取等号，
∴当点M坐标为(1，0，0)时，|MN|min＝.
