人教新课标A版选修2-1第三章 空间向量与立体几何本章综合与测试利用空间向量求角和距离(31张PPT）

课件31张PPT。第二课时　利用空间向量求角和距离新知探求 素养养成知识点一 空间角与向量的关系问题1:(1)如图(1)所示,直线l与平面α相交,所成的角为θ,直线的方向向量为a,平面的法向量为n,在图(1)中,角θ与 角有什么关系?
(2)如图(2)所示,平面α∩β=l,平面α的法向量为m,平面β的法向量为n.在图(2)中,两平面所成的二面角与法向量m,n所成的角之间具有怎样 的关系?答案:(1)两角互余,即θ+ =90°.(2)互补.梳理　空间角与向量的关系[0,π]知识点二 空间距离与向量的关系问题2:如图所示,直线AB与平面α相交于点A,BO⊥平面α,垂足为O.在图中,如何借助法向量求B点到平面α的距离BO的长?梳理　空间距离与向量的关系 题型一 求异面直线所成的角课堂探究 素养提升【例1】 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点.求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解:不妨设正方体棱长为2,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),一题多变:将题目中的点F改为“AB的中点”,求异面直线AE与C1F所成角的余弦值.方法技巧 (1)用基向量法求异面直线的夹角的方法
①作空间几何体的图形,并找出基底;
②用基底表示两异面直线的方向向量;
③利用公式cos= ,求出两直线的方向向量的夹角;
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.
(2)用坐标法求异面直线的夹角的方法
①建立恰当的空间直角坐标系;
②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式;
③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.【备用例1】 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.
(1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;解:(1)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
因为∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,AD=2.所以B(2,4,0).由PD⊥平面ABCD,
得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,所以∠PAD=60°.
在Rt△PAD中,由AD=2,得PD= .所以P(0,0, ).(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.题型二 求直线与平面所成的角【例2】 (2018·镇江高二期中)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.方法技巧 利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量 ;
(3)求平面的法向量n;
(4)计算:设线面角为θ,则sinθ= .即时训练2-1:(2017·启东市高二期末)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D为棱PB的中点,求AD与平面PAC所成角的正弦值.【备用例2】 (2018·南昌高二期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,CD=13,AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,点E,F分别是 PB,DC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;解:取CB的中点G,连接DG,因为AD∥BG且AD=BG,所以四边形ABGD为平行四边形,所以DG=AB=12,又因为AB⊥AD,所以DG⊥AD,又PD⊥平面ABCD,故以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.因为BC=10,AD=5,PD=8,
所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),
C(12,-5,0),G(12,0,0).
因为E,F分别是PB,DC的中点,所以E(6,2.5,4),F(6,-2.5,0).(2)求EF与平面PDB所成角的正弦值.题型三 二面角的求法【例3】(2017·上饶高二期中)如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.(1)证明:因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.因为四边形ABCD是正方形,
所以AC⊥BD,DE∩BD=D.从而AC⊥平面BDE.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求二面角F-BE-D的余弦值.方法技巧 用向量法求二面角的大小的求解步骤:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;
(3)求两个法向量的夹角;
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角;
(5)确定二面角的大小.即时训练3-1:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是AB的中点.
(1)求证:B1C⊥平面AED1; (1)证明:如图,因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,以D为坐标原点,DA为x轴的正半轴, DC为y轴的正半轴,DD1为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,由题知,A(1,0,0), E(1,1,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),B1(1,2,1),(2)求二面角A-D1E-C的大小.(2)解: 设二面角A-D1E-C的平面角为θ,由(1)知平面AED1的一个法向量为n=(1,0,
1);同理,设n1=(x1,y1,z1)为平面D1EC的一个法向量,题型四 求空间点到平面的距离【例4】 四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分别为AD,PC的中点.
(1)求证:DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.方法技巧 利用向量法求点到平面距离的特点是不必作出垂线段,而是转化为求已知点与平面内一点连线对应的向量在平面法向量上的投影,具体求解过程如下:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求出已知点P与平面α内任一点A对应的向量 ;
(3)求出平面α的法向量n;
(4)求点P到平面α的距离,即d= .即时训练4-1:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.【备用例3】 在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.解:如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,谢谢观赏！