课时作业44 有限样本空间与随机事件
知识点一 样本点、样本空间
1.根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间．
(1)任意抽取1张，记录它的花色；
(2)任意抽取1张，记录它的点数；
(3)在同一种花色的牌中一次抽取2张，记录每张的点数；
(4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张的点数之和．
解 (1)一副扑克牌有四种花色，所以样本空间为Ω＝{红心，方块，黑桃，草花}．
(2)扑克牌的点数是从1～6，所以样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
(3)一次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示．
故样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}．
(4)一次抽取2张，计算两张的点数之和，样本空间为Ω＝{3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
知识点二 事件
2.指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．
解 (1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．
(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件．
(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．
3．做掷红、蓝两个骰子的试验，用(x，y)表示样本点，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验包含的基本事件个数；
(3)用集合表示事件A：出现的点数之和大于8，事件B：出现的点数相同．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
(2)这个试验包含36个基本事件．
(3)A＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}．
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③抛一枚硬币，出现正面；④一个三角形的大边对大角，小边对小角．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．故选B.
2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
答案 C
解析 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C.
3．“连续掷两个质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有( )
A．6个 B．12个
C．24个 D．36个
答案 D
解析 该试验的样本点分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．故选D.
4．掷一个骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件一定发生的是( )
A．“出现奇数点” B．“出现偶数点”
C．“点数大于3” D．“点数是3的倍数”
答案 B
解析 “出现2点”这个事件发生，由于2为偶数，故“出现偶数点”这一事件一定发生．故选B.
5．在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
答案 C
解析 由题意知，10个学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.
二、填空题
6．给出下列事件：
①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；
③同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④射击1次，命中靶心；
⑤当x为实数时，x2＋4x＋4<0.
其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．
答案 ③ ⑤ ①②④
解析 根据事件发生的前提条件及生活常识知：①是随机事件，②是随机事件，③是必然事件，④是随机事件，⑤是不可能事件．
7．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为________．
答案 {0,1,2,3,4}
解析 取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，得Ω＝{0,1,2,3,4}．
8．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点数为________．
答案 4
解析 从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数，故所求事件包含的样本点数为4.
三、解答题
9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，下列事件：
(1)在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
(2)在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
(3)在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
(4)在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100.
哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
解 (1)(3)是随机事件；(2)是不可能事件；(4)是必然事件．
10．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}所表示的实际意义．
解 (1)样本空间为Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2，6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}．
(2)样本点的总数是12.
(3)“得到的点是第一象限内的点”包含以下4个样本点：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3)．
(4)事件A表示“得到的点是第三象限内的点”．
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课时作业45 事件的关系和运算
知识点一 事件的运算
1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )
A．E?F B．G?F
C．E∪F＝G D．E∩F＝G
答案 C
解析 根据事件之间的关系，知E?G，F?G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以E∩F＝?，故排除D；事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E∪F＝G.故选C.
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么？
解 (1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故C∩A＝A.
知识点二 事件关系的判断
3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
答案 C
解析 “恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；
“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；
“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；
“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C.
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与2名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
解 (1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是“1名男生和1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
5．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏．两个转盘各转一次，观察指针所指区域颜色(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，事件C表示“两转盘指针所指区域颜色相同”．
(1)用样本点表示A∩B，A∪B；
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件．
解 列表如下：
由上表可知，共有15种等可能的结果．
(1)由上表可知A＝{(黄，蓝)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，绿)，(黄，紫)}，B＝{(红，绿)，(黄，绿)，(蓝，绿)}，A∩B＝{(黄，绿)}，A∪B＝{(黄，绿)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，蓝)，(黄，紫)，(红，绿)，(蓝，绿)}．
(2)C＝{(蓝，蓝)，(黄，黄)，(红，红)}，因为A∩B＝{(黄，绿)}≠?、A∩C＝{(黄，黄)}≠?、B∩C＝?，所以事件A与B，A与C不是互斥事件，B与C是互斥事件.
易错点 分不清“互斥事件”与“对立事件”致误
6.已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G中任意两个事件均互斥
D．E与G对立
易错分析 解答本题易出现两个错误．一是对互斥事件与对立事件的概念模糊不清，理解不透；二是对“全是、全不是、至多、至少”搞不清楚，从而导致错误．
答案 D
正解 由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确．故选D.
一、选择题
1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A?D B．B∩D＝?
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
答案 D
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
2．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( )
A．至多有一次为正面 B．两次均为正面
C．只有一次为正面 D．两次均为反面
答案 D
解析 对于A，“至多有一次为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，“两次均为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，“只有一次为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，“两次均为反面”与“至少有一次为正面”，不能够同时发生，是互斥事件．故选D.
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是 ( )
A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球
C．3个都是红球 D．至少有一个红球
答案 C
解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是所取的3个球中没有白球，∴事件A的对立事件是3个都是红球．故选C.
4．打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则事件A＝A1∪A2∪A3表示( )
A．全部未击中 B．至少有一次击中
C．全部击中 D．至多有一次击中
答案 B
解析 事件A0，A1，A2，A3彼此互斥，且0＝A1＋A2＋A3＝A，故A表示至少击中一次．
5．如果事件A与B是互斥事件，则( )
A．A∪B是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.∪是必然事件
答案 D
解析 由互斥事件的意义可知，互斥事件是不能同时发生的事件，它与对立事件不同，它们的补集的和事件一定是必然事件，故选D.
二、填空题
6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A∪ 包含的样本点有________．
答案 2,4,5,6
解析 A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}，＝{5,6}，A∪＝{2,4,5,6}．
7．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：
①“这张牌是红心”与”这张牌是方块”；
②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；
③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；
④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”．
其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．
答案 ②④
解析 从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是对立事件．故答案为②④.
8．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少遇到两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C的关系是________．
答案 2 互斥但不对立
解析 根据题意，画出如图所示的树状图．
由图可得A∩B＝{红红红，绿红红}，包含2个样本点，C＝{红绿绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C＝?，故事件A∩B与C互斥，又(A∩B)∪C≠Ω，故事件A∩B与C的关系是互斥但不对立．
三、解答题
9．掷一枚骰子，有下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．
(1)用样本点表示事件A∩B，事件B∩C；
(2)用样本点表示事件A∪B，事件B∪C；
(3)用样本点表示事件，事件∩C，事件∪C，事件∪.
解 由题意可得A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，
C＝{1,2}，D＝{3,4,5,6}，E＝{3,6}．
(1)A∩B＝{1,3,5}∩{2,4,6}＝?.
B∩C＝{2,4,6}∩{1,2}＝{2}．
(2)A∪B＝{1,3,5}∪{2,4,6}＝{1,2,3,4,5,6}，
B∪C＝{2,4,6}∪{1,2}＝{1,2,4,6}．
(3)＝{1,2}，＝{2,4,6}，∩C{2,4,6}∩{1,2}＝{2}，＝{1,3,5}，∪C＝{1,3,5}∪{1,2}＝{1,2,3,5}，＝{1,2,4,5}，∪＝{1,2}∪{1,2,4,5}＝{1,2,4,5}．
10．如图，转盘①的三个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3，转盘②的四个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3,4.转动①，②转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字记录下来(不考虑指针落在分界线上的情况)．
事件A表示“两数字之积为偶数”，事件B表示“两数字之和为偶数”，事件C表示“两数字之差的绝对值等于3”．
(1)用样本点表示A∩B，A∪B；
(2)判断事件A与C，B与C的关系．
解 由题意列表如下：
由上表可知：
(1)A＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)}，
B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)}，
A∩B＝{(2,2)，(2,4)}，
A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}．
(2)C＝{(1,4)}，A∩C＝{(1,4)}，故A与C能同时发生，不互斥也不对立．
B∩C＝?，B∪C≠Ω，故B与C互斥但不对立．
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课时作业46 古典概型
知识点一 样本点个数的计算
1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
答案 C
解析 把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.
2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验的样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)样本点的总数为6.
(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1).
知识点二 古典概型的判断
3.下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
答案 ③
解析 ①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.
知识点三 古典概型概率的计算
4.一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2,4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次性摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个样本点．
(2)因为(1)中的15个样本点出现的可能性是相等的，事件“摸出的2个球颜色不同”包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8个，故所求事件的概率P＝.
5．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
解 记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．
(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝＝，故无放回地选取2张标签，这2张标签上数字为相邻整数的概率为.
(2)从4张标签中有放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点，这6个样本点出现的可能性是相等的．由古典概型的概率计算公式知P(A)＝＝，故有放回地选取2张标签，这2张标签上数字为相邻整数的概率为.
6．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 甲校的男教师用A，B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E，F表示．
(1)根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，这个试验的样本空间Ω1＝{AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}，共有9个样本点，这9个样本点发生的可能性是相等的．
其中“选出的2名教师性别相同”包含的样本点有AD，BD，CE，CF，共4个．
故选出的2名教师性别相同的概率P1＝.
(2)若从报名的6名教师中任选2名，这个试验的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．
其中“选出的2名教师来自同一个学校”包含的样本点有AB，AC，BC，DE，DF，EF，共6个样本点．
故选出的2名教师来自同一学校的概率P2＝＝.
易错点 对样本空间列举不全致误
7.任意掷两个骰子，计算：
(1)出现点数之和为奇数的概率；
(2)出现点数之和为偶数的概率．
易错分析 本题易出现样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)}的错误；忽略先后顺序导致对样本空间列举不全致误．
正解 任意掷两个骰子，这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的．
(1)“出现点数之和为奇数”包含的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18个．因此点数之和为奇数的概率为＝.
(2)“出现点数之和为偶数”包含的样本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．因此点数之和为偶数的概率为＝.
一、选择题
1．下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有样本点的个数只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝.
其中所有正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①③
C．③④ D．①③④
答案 D
解析 ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D.
2．将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 这个试验的样本空间中共包含36个样本点，且这36个样本点发生的可能性是相等的，“点数之和为3的倍数”包含的样本点有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个，因此所求概率为＝.
3．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 这个试验的样本空间Ω＝{12,13,21,23,31,32}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的样本点有31,32，共2个，所以所求概率P＝＝.
4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1，b2，b3.
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜．共6种情况，且这6种情况发生的可能性是相等的．
其中田忌获胜的只有一种情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为.故选D.
5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，这个试验共包含16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的，其中“|a－b|≤1”包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为＝.
二、填空题
6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．
答案
解析 设一、二等奖分别用A，B表示，另一张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取一张，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，BA，BC，CA，CB}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中两人都中奖的事件包含的样本点有AB，BA，共2个，故所求的概率P＝＝.
7．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
答案
解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为＝.
8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．
答案
解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，且组成这24个自然数的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以组成的三位数为“有缘数”的概率为＝.
三、解答题
9．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A∪B)．
解 用数对(x，y)表示抛掷结果，则这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，
共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P(A)＝＝.
B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)}，包含15个样本点，所以P(B)＝＝.
AB＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，所以P(AB)＝＝.
A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含18个样本点，所以P(A∪B)＝＝.
10．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况)．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以样本点总数n＝16，且这16个样本点发生的可能性是相等的．
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3
则事件B包含的样本点共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
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课时作业47 概率的基本性质
知识点一 概率的性质
1.下列结论正确的是( )
A．事件A发生的概率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．如果A?B，那么P(A)答案 B
解析 因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1，所以A错误；不可能事件的概率规定为0，必然事件的概率规定为1，所以B正确；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，但并不是不发生，大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，所以C错误；由概率的单调性可知，如果A?B，那么P(A)≤P(B)，所以D错误.
知识点二 互斥事件的概率
2.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
答案
解析 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
3．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：
等候人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.05 0.14 0.35 0.30 0.10 0.06
求：(1)等候人数不超过2的概率；
(2)等候人数大于等于3的概率．
解 设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A∪B∪C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.
(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D∪E∪F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.
知识点三 对立事件的概率
4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
答案 C
解析 由对立事件的概率关系知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.
5．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：
环数 7环以下 7 8 9 10
命中概率 0.13 a b 0.25 0.24
已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值；
(2)求命中10环或9环的概率；
(3)求命中环数不足9环的概率．
解 (1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，
所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.
(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.
(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.
易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式
6.掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．
易错分析 由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解，而致误．
正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4.
故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
一、选择题
1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可知
即即解得
2．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
答案 A
解析 根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B错误．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝?时，事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生，A，B都发生；A，B中恰有一个发生包括A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B互斥时，事件A，B至少有一个发生的概率等于事件A，B恰有一个发生的概率，故D错误．
3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 A
解析 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.
4．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )
①A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1∪A2＋A3是必然事件；
③P(A2∪A3)＝0.8；
④P(A1∪A2)≤0.5.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.故选B.
5．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是( )
A．都是一级品
B．都是二级品
C．一级品和二级品各1件
D．至少有1件二级品
答案 D
解析 设A1，A2，A3分别表示3件一级品，B1，B2分别表示2件二级品．任取2件，则样本空间Ω＝{A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2}，共10个样本点，每个样本点出现的可能性相等．
事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，
则P(A)＝，
事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，
则P(B)＝，
事件C表示“2件中一件一级品、一件二级品”，包含6个样本点，则P(C)＝＝.
事件A，B，C互斥，P(B)＋P(C)＝，B∪C表示“至少有1件二级品”，故选D.
二、填空题
6．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________.
答案
解析 事件A，B为互斥事件，由题意可知P(A)＝，P(B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
7．在掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪发生的概率为________．(表示B的对立事件)
答案
解析 随机掷一枚质地均匀的骰子一次共有六种不同的结果，且每种结果发生的可能性是相等的．其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P(A)＝＝.
事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，
P(B)＝＝，P()＝.
且事件A和事件是互斥事件，所以P(A∪)＝＋＝.
8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是________，________，________.
答案
解析 设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，且事件A，B，C，D两两互斥，根据题意，得
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
三、解答题
9．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，由对立事件概率公式得P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
10．甲、乙两人玩一种游戏，每次甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若事件A表示“和为6”，求P(A)；
(2)现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解 (1)易知样本点总数n＝25，且每个样本点出现的可能性相等．
事件A包含的样本点共5个：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．所以P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次．
(3)这种游戏规则不公平．
和为偶数的样本点有：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．共13个，
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为1－＝，
所以这种游戏规则不公平．
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