辽宁省葫芦岛市普通高中2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题

2018年葫芦岛市普通高中教学质量监测
高二数学(文)
一、选择题
1．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知命题p：?x0∈R，使得|x﹣2|＜1；命题q：?x∈R使得x2﹣x﹣6＜0，则判断正确的是（　　）
A．命题“p∧q”为真命题
B．命题“p∧（￢q）”为真命题
C．命题“（￢p）∧q”为真命题
D．命题“（￢p）∧（￢q）”为真命题
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（　　）
A． B． C．1 D．
4．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．[0，6] D．[6，+∞）
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，asinBcosC+csinBcosAb，且c＞b，则∠B＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为，若经过F和P（0，）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
7．已知抛物线C：x2＝4y，点M是抛物线C上的一个动点，则点M到点A（2，0）的距离与点M到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
8．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+满足9，，则数列{an}的公比为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
9．已知函数y＝f（x）为定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）时f（x）的导函数，若af（），b＝（lg3）f（lg3），c＝（log2）f（log2），则（　　）
A．c＜b＜a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b
10．已知a，b是不相等的正数，x，y，z＝（ab）0.25，则x，y，z的大小关系是（　　）
A．x＞y＞z B．x＜y＜z C．y＞x＞z D．y＜z＜x
11．已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2＝63，则实数b的取值范围是（　　）
A．[3，] B．（3，] C．[2，2] D．（2，2]
二、填空题
12．命题“已知a，b为实数，若x2+ax+b≤0有非空解集，则a2﹣4b≥0”的逆命题是　 　．
13．在△ABC中，若acosB+bcosA＝csinC，其面积S（b2+c2﹣a2），则B＝　 　．
14．已知点P是椭圆1（xy≠0）上动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是　 　．
15．函数y＝f（x），对任意实数x，y均满足f（xy）＝yf（x）+xf（y），且f（3）＝3，数列{an}，{bn}满足an，bn，则下列说法正确的有　 　
①数列{an}为等比数列；
②数列{bn}为等差数列；
③若Sn为数列{an?bn}的前n项和，则Sn；
④若Tn为数列{}的前n项和，则Tn＜1；
⑤若Rn为数列{}的前n项和，则Rn．
三、解答题
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若3cosB（sin2A+sin2B﹣sin2C）＝sinAsinB，a＝6，求b+c的值．
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝1，b1＝﹣1，a2?b2＝2．
（1）若a3?b3＝6，求{bn}的通项公式
（2）若T3＝﹣13，求S5．
18．已知双曲线方程为1，双曲线的一支上不同的三点A（x1，y1），B（6，），C（x2，y2）到焦点F（5，0）的距离成等差数列．
（1）求m的值；
（2）试求x1+x2的值．
19．如图几何体是圆锥的一部分，它是Rt△ABC（及其内部）以一条直角边AB所在直线为旋转轴旋转150°得到的，AB＝BC＝2，P是弧上一点，且EB⊥AP．
（1）求∠CBP的大小；
（2）若Q为AE的中点，D为弧的中点，求二面角Q﹣BD﹣P的余弦值；
（3）直线AC上是否存在一点M，使得B、D、M、Q四点共面？若存在，请说明点M的位置；若不存在，请说明理由．

20．已知函数f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m，（m∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＜4x﹣m；
（2）若f（x）＜0的解集为（﹣4，1），g（x）＝f（x）﹣x+5，对于n∈N*，证明：．



一、选择题
1．C
2．B
3．D
4．A
5．B
6．A
7．D
8．B
9．B
10．C
11．B
二、填空题
12．已知a，b为实数，若a2﹣4b≥0，则x2+ax+b≤0有非空解集．
13． ．
14．（0，3）．
15．③④．
三、解答题
16．（1）由三角形的面积公式可得S△ABCacsinB，
∴3csinBsinB＝2b，
由正弦定理可得：3sinCsinBsinB＝2sinB，
∵sinB≠0，
∴sinBsinC；
（2）∵3cosB（sin2A+sin2B﹣sin2C）＝sinAsinB，
∴由正弦定理可得：3cosB（a2+b2﹣c2）＝ab，可得：3cosB?2abcosC＝ab，可得：cosBcosC，
∴cos（B+C）＝cosBcosC﹣sinBsinC，
∴B+C，可得A，
∵a＝6，
∴36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣bc，即：（b+c）2＝36+bc，
又∵，可得：b＝4sinB，c＝4sinC，
∴bc＝48sinBsinC＝4832，
∴（b+c）2＝36+bc＝36+32＝78，解得：b+c．
17．（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，
等比数列{bn}的前n项和为Tn，设公比为q，
由于：a1＝1，b1＝﹣1，a2﹣b2＝2．
所以：（1+d）﹣（﹣1）q＝2①，
由于a3﹣b3＝6，
则：（1+2d）﹣（﹣1）q2＝6②，
由①②得：q2﹣2q﹣3＝0，
解得：q＝﹣1或3，
故：或．
（2）由T3＝﹣13，
所以：﹣1+（﹣q）+（﹣q2）＝﹣13，
解得：q＝﹣4或3．
由于：d+q＝5或﹣2．
故：d＝5或﹣2．
①当d＝5时，an＝5n﹣4．
所以S5＝55
②当d＝﹣2时，an＝﹣2n+3，
所以：S5＝﹣15．
18．（1）由点B（6，）上在双曲线方程为1，
则1，
解得m＝13，
（2）由（1）可知双曲线的方程为1，
由题设知，A、B、C在双曲线的同一支上，且x1，x2均大于0，
∴由双曲线的焦半径公式可知|AF|＝ex1﹣2，|BF|＝6e﹣2，|CF|＝ex2﹣2，|
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
∴ex1﹣2ex2﹣212e﹣4
∴x1+x2＝12．
19．（1）∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，
又EB⊥AP，AB∩AP＝A，
∴BE⊥平面ABP，则EB⊥BP，
又∠EBC＝150°，∴∠CBP＝60°；
（2）过Q作QF⊥BE，垂直为F，则QF⊥平面BEC，
过F作FG⊥BD，垂直为G，连接QG，
则∠QGF为二面角Q﹣BD﹣E的平面角，
∵D为弧EP的中点，∴∠FBG＝45°，
∵Q是AE的中点，∴QF，BF，
则FG，QG．
在Rt△QGF中，可得cos∠QGF，
∴二面角Q﹣BD﹣P的余弦值为；
（3）直线AC上存在一点M，使得B、D、M、Q四点共面．
事实上，若直线AC与平面BQD相交，则交点为所求点M．
下面说明直线AC与平面BQD相交，若AC∥平面BQD，
连接EC，交平面BQD于H，连接QH，则QH∥AC．
∵Q为AE的中点，则H为EC中点，
由∠EBD＝45°，∠CBD＝105°，可知H不是EC中点，矛盾．
∴直线AC与平面BQD相交，交点为所求点M．

20．（1）f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m，f（x）+x2﹣1＜4x﹣m，
∴（m﹣1）x2+3x﹣2m+x2﹣1＜4x﹣m，
即mx2﹣x﹣（m+1）＜0，
即（x+1）[mx﹣（m+1）]＜0，
当m＝0时，﹣x﹣1＜0，解得x＞﹣1，
当m＞0时，原不等式为（x+1）[x﹣（1）]＜0，解得﹣1＜x＜1，
当m＜0时，原不等式为（x+1）[x﹣（1）]＞0，令（x+1）[x﹣（1）]＝0，解得x＝﹣1或x＝1，
若﹣1＞1，即m＜0，解得x＞﹣1或x＜1，
若﹣1＝1，即m，解得x≠﹣1，
若﹣1＜1，即m，解得x＜﹣1或x＞1，
综上所述：当m＞0，不等式的解集为（﹣1，1），
当m＝0时，不等式的解集为（﹣1，+∞），
当m＜0，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（﹣1，+∞），
当m时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），
当m，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
（2）∵f（x）＜0的解集为（﹣4，1），
∴f（x）＝（m﹣1）x2+3x﹣2m＝0的两个根为﹣4，1
∴﹣4+1，﹣4×1，
解得m＝2，
∴f（x）＝x2+3x﹣4，
∴g（x）＝f（x）﹣x+5＝x2+3x﹣4﹣x+5＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴，
要证明，
只要证，
即证，
∵，
∴11，
∵，
∴═，
∴．