浙江省杭州市第四中学（吴山）2018学年第一学期高二年级期末数学试卷

杭州四中(吴山) 2018学年第一学期高二年级期末数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（　　）
A．充要条件充 B．分而不必要条件
C．必要而充分不条件 D．既不充分也不必要条件
2．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为（　　）

A．2π B．4π C．6π D．8π
3．在空间直角坐标系中点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（　　）
A．（1，﹣5，6） B．（1，5，﹣6） C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6）
4．下列命题错误的是（　　）
A．不在同一直线上的三点确定一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
5．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
7．点P在直线3x+y﹣5＝0上，且点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，则P点坐标为（　　）
A．（1，2） B．（2，1）
C．（1，2）或（2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，1）
8．与3x+4y＝0垂直，且与圆（x﹣1）2+y2＝4相切的一条直线是（　　）
A．4x﹣3y＝6 B．4x﹣3y＝﹣6 C．4x+3y＝6 D．4x+3y＝﹣6
9．四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BQ所成的角为（　　）
A． B． C． D．
10．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形是（　　）
A．一条线段
B．一个锐角三角形
C．一个钝角三角形
D．一条线段或一个钝角三角形
二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为　 　．
12．长、宽、高分別为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　 　．
13．若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为　 　、　 　．
14．已知空间向量，，若∥，则xz＝　 　．
15．若直线l为：3yx+6，则直线l的倾斜角为　 　．
16．圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是　 　．
17．设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有　 　条．
二.解答题（共4小题，共42分）
18．（1）求两条垂直的直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0的交点坐标．
（2）求平行于直线x﹣y﹣2＝0，且与它的距离为的直线方程．
19．已知：a＞0，p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
20．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若直线l与圆C交于不同的两点A、B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
21．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EB⊥平面ABCD且EB∥FD．
（1）求证：平面AEC⊥平面BEFD；
（2）若AB＝2，∠BAD＝60°，EB＝FD，设EA与平面ABCD所成夹角为α，且，求二面角A﹣EC﹣F的余弦值．




一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．A
2．C
3．B
4．C
5．C
6．C
7．C
8．B
9．C
10．D
二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．若函数f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称．
12． 9π
13．（0，﹣1），1．
14． 9．
15． 30°
16．（﹣∞，]．
17．若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．
共有三种情况：如图，
当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；
当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；
当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．
综上，符合条件的直线PQ有4+6+3＝13条．

二.解答题（共4小题，共42分）
18．（1）∵两条垂直的直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0，∴?（）＝﹣1，求得a＝﹣1，
两条垂直的直线即 2x﹣y+2＝0和x+2y+1＝0，由，求得，
故直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0的交点坐标（﹣1，0）．
（2）设平行于直线x﹣y﹣2＝0，且与它的距离为的直线方程为x﹣y+m＝0，
则，求得m＝2，或m＝﹣4，
故要求的直线方程为x﹣y+2＝0，或x﹣y﹣4＝0．
19．由x2﹣8x﹣20＞0，解得x＞10或x＜﹣2．
即p：x＞10或x＜﹣2．
由x2﹣2x+1﹣a2＞0得x＞1+a，或x＜1﹣a．
即q：x＞1+a，或x＜1﹣a，a＞0，
若要使p是q的充分不必要条件，则p推出q，但q推不出p．
所以有，即，
解得0＜a≤3．
即a的取值范围是（0，3]．
20．（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0，即m（x﹣1）﹣y+1＝0，恒过（1，1），
代入x2+y2﹣2y﹣4＝1+1﹣2﹣4＜0，所以（1，1）在圆的内部，
所以直线l与圆C相交；
（2）圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，即x2+（y﹣1）2＝5，圆心（0，1），半径为，
因为|AB|＝3，
所以圆心到直线的距离为，
所以，
所以m＝±1，
所以直线l的方程为x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．
21．（1）证明：连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵EB⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥EB，
∵EB∩BD＝B，EB，BD?平面BEFD，
∴AC⊥平面BEFD，
∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BEFD；
（2）解：设BD∩AC＝O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD为等边三角形，则BD＝AB＝2，
∵O是BD的中点，∴AO＝CO，
∵EB⊥平面ABCD，∴∠EAB＝α，
∴在Rt△EAB中有，EA，则EB＝1，
以O为原点，作Oz∥EB，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，
则A（，0，0），C（，0，0），E（0，1，1），F（0，﹣1，1），
∴，，．
设平面AEC的法向量为，
由，取y＝1，得．
设平面ECF的法向量为，
由，取a，得．
设二面角A﹣EC﹣F的平面角为θ，则|cosθ|．
结合图可知，二面角A﹣EC﹣F的余弦值为．