人教版七年级数学下册8.2消元——解二元一次方程组 教案（3课时）

8．2　消元——解二元一次方程组
第1课时　代入消元法



1．会用代入消元法解简单的二元一次方程组．
2．理解解二元一次方程组的思路是“消元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归的思想．

会用代入消元法解简单的二元一次方程组，体会解二元一次方程组的思路是“消元”．

理解“二元”向“一元”的转化，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤．


一、创设情景　明确目标
在上节课中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，若设胜的场数是x，负的场数是y，则可列出方程组怎样求解这个二元一次方程组呢？
思考：上面的二元一次方程组能否转化成一元一次方程呢？


二、自主学习　指向目标
自学教材第91页至93页，请完成学生用书部分．
1．将方程中的未知数的个数由多化少，并逐一解决的思想叫__消元__思想．
2．把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含__另一个__未知数的式子表示出来，再__代入__另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做__代入消元法__，简称__代入法__．
三、合作探究　达成目标
●一　代入消元法的概念
活动1：
阅读教材第91页，思考：
(1)解决本章引言中的问题，列二一次方程能求解吗？
(2)列出的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
(3)对于二元一次方程组你能写出求x的值的过程吗？
(4)把方程①变形后，代入方程①行吗？
(5)怎样求y的值？
(6)把x的值代入①或②行不行？怎样运算更简便？
(7)是否有办法得到关于x的一元一次方程？

展示点评：将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想是消元思想，它是解二元一次方程的核心思想．
小组讨论：在以上解答过程中，哪一步是最为关键的步骤？为什么？体现了什么数学思想？
反思小结：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程最为关键，这样实现消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解．体现了消元和转化的数学思想．
针对训练
1．用代入法解方程组，使得代入后比较容易变形的是( D )
A．由①得x＝　　　　　　　B．由①得y＝
C．由②得x＝ D．由②得y＝2x－5
2．完成教材第93页练习第1题．
●二　用代入法解二元一次方程组
活动2：用代入法解方程组

展示点评：把方程①变形后代入方程②，消去未知数x或y，然后解这个一元一次方程，求一个未知数的值，再代入方程①或②中，求出另一个未知数的值．
思考：(1)选择把哪个方程变形后代入另一方程？(2)把③代入①可以吗？把y＝－1代入①或②可以吗？用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤是什么？
小组讨论：如何选择把方程组中的方程变形更简单？
反思小结：1.当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解.2.若方程组中有未知数的系数为1(或－1)的方程，则选择系数为1(或－1)的方程进行变形比较简单．
针对训练
3．用代入法解方程组，为使计算简便应消去未知数( B )
A．x 　B．y
C．x，y中的任何一个 　D．无法确定
4.是方程组的解，则a－b等于____．
5．完成教材第93页练习第2题．
6．方程组的解是( B )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7．完成教材第93页练习第3题．
8．完成教材第93页练习第4题．
四、总结梳理　内化目标

五、达标检测　反思目标
1．已知方程x－2y＝8，用含x的式子表示y，则y＝____，用含y的式子表示x，则x＝__2y＋8．
2．解方程组把①代入②可得__－x＋2＝8__．
3．用代入法解方程组下列解法中最简便的是( C )
A．由①得x＝－y代入② B．由①得y＝－x代入②
C．由②得x＝8－3y代入① D．由②得y＝－代入①
4．解下列方程组：
(1)　(2)　(3)
解：(1)；　　　(2)；　　　(3).
5．学校有篮球和足球，其中篮球数比足球数的2倍少3个，且篮球数与足球数的比为3∶2，求学校有篮球和足球各多少个？
解：设学校有篮球x个，足球y个，则　解得
答：学校有篮球9个和足球6个．


(一)上交作业　教材第97至98页第1，2，4题．
(二)课后作业见学生用书．

本节学习了二元一次方程组的一种解法——代入消元法，通过学习让学生掌握了用代入消元法解方程组的方法，重点在于结合方程组中每个方程的特点进行等式变形，从而简化解法．
第2课时　加减消元法



1．了解加减消元法的概念；
2．掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法，体验转化的数学思想．

用加减消元法解二元一次方程组．

把相同的未知数的系数化成相同或相反数．



一、创设情景　明确目标
解方程组有没有其它方法来解呢？
思考：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

二、自主学习　指向目标
自学教材第94页至96页，请完成学生用书部分．
1．当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数__相反__或__相等__时，把这两个方程的两边分别__相加__或__相减__就能消去这个未知数，得到一个__一元一次__方程，这种方法叫加减消元法，简称加减法．
2．方程组的解为____．
3．用加减法解方程组.
解：
4．已知方程组，不解方程组，求x＋y的值．
解：将两个方程组相加，得7x＋7y＝35，所以x＋y＝5
三、合作探究　达成目标
●一　加减消元法的概念
活动1：阅读教材第94页，思考：
(1)用方程②－①得，请写出具体过程．这样做的依据是什么？
(2)用方程①－②也能消去未知数y，求得x吗？
(3)联系上面的解法，想一想怎样解方程组
(4)这个方程组中先消去哪个未知数简单？为什么？
(5)以上这两个方程组中，同一未知数的系数有什么特点？在解法上有什么相同点？
展示点评：当方程组中，同一未知数的系数相同或互为相反数时，用加减法解，其依据是等式的基本性质．
小组讨论：在什么情况下，选择用加减消元法解二元一次方程组？体现了什么数学思想？
反思小结：当方程组中同一未知数的系数相同或相反时，把两个方程相减或相加，消去其中的一个未知数，得到一个一元一次方程．这种解法体现了转化的数学思想．
针对训练
1．已知方程组，方程②－①得__x＋y＝－5__．
2．用加减法解方程组，若先求x的值，应先将这两个方程组__相加__；若先求y的值，应先将这两个方程组__相减__．
●二　用加减消元法解二元一次方程组
活动2：用加减消元法解方程组
分析：方程组的同一未知数的系数有相同或相反的吗？直接加减这两个方程能直接消元吗？如何把方程组同一未知数的系数变成相同或相反的．
展示点评：当方程组中，同一未知数的系数既不相同又不互为相反数时，可把两个方程中同一未知数的系数化成相同或互为相反数，然后再加减．
思考：如果用加减消元，消去x应如何解？解得的结果一样吗？
小组讨论：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么？应注意什么问题？
反思小结：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是：①变形；②加减；③求解；④回代；⑤检验、写解．用加减消元法时注意以下几点：①方程两边乘以相同倍数时，每项都乘，别漏项；②系数相同时用减法，系数相反时用加法；③检验所求结果是否正确时，必须将所求的一对数分别代入原方程组中的两个方程进行检验，既满足第一个方程，又满足第二个方程，才说明结果是正确的，否则，说明结果是错误或检验时计算有误．
针对训练
3．用加减法解方程组时，有下列四种变形，其中正确的是( C )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4．解方程组比较简便的方法为( B )
A．代入法 B．加减法 C．换元法 D．三种方法都一样
5．解下列方程组：
①　　　　　②
解：① ②
●三　用加减消元法解二元一次方程组的运用
例2　　2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
分析：1.你能找出本题的相等关系吗？2.怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢？


展示点评：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦xhm2和yhm2，则，解得.
小组讨论：列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么？
反思小结：列二元一次方程组解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题是一致的，都是要先找出题目中的相等数量关系．
针对训练
6．完成教材第97页练习第2题．
7．完成教材第97页练习第3题．

四、总结梳理　内化目标

五、达标检测　反思目标
1．用加减法解下列方程组较简便的消元方法是：将两个方程__相加__，消去未知数__y__．
2．已知方程组用加减法消x的方法是__①×3－②×2__；用加减法消y的方法是__①×2＋②×3__．
3．已知(3x＋2y－5)2与│5x＋3y－8│互为相反数，则x＝__1__，y＝__1__．
4．用加减消元法解方程组的解法如下：
(1)①×2，②×3得
(2)③－④，得y＝－5；
(3)把y＝－5代入②，得x＝11；
(4)所以原方程组的解是
上述解题的过程中，开始错的一步是( A )
A．(1)　　B．(2)　　C．(3)　　D．(4)
请写出正确的解答过程．
解：①×2，②×3得
(2)③－④，得y＝1；
(3)把y＝1代入②，得x＝2；
(4)所以原方程组的解是
5．用加减消元法解下列方程组：
(1)　(2)　(3)　(4)
解：(1)　　(2)　　　(3)　　　(4)

(一)上交作业　教材第98页第3、7题．
(二)课后作业见学生用书．

加减消元法是解二元一次方程组常见的一种方法，简单易用，通过学习学生们能够认真掌握方程组中各方程中系数的特征，要先对原方程运用等式的性质进行系数变化才能运用加减法进行运算，体现“消元”的基本思想．
第3课时　二元一次方程组的解法



1．能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组；
2．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程组模型的重要性．

根据二元一次方程组的特点，选择合适的解法．

列二元一次方程组解决实际问题．


一、创设情景　明确目标
1．解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？
2．解下列方程
(1)　　(2)

二、自主学习　指向目标
自学教材第97页，请完成学生用书部分．
1．解二元一次方程组的基本思路是化__二元__为__一元__，即通过消去两个__未知数__中的一个，将二元一次方程组转化为__一元一次方程__来解．
2．将方程5x－2y＋12＝0写成用含x的式子表示y的形式__y＝__．
3．用代入消元法解方程组可以由__②__得__y＝2x＋4__③，把③代入__①__中，得一元一次方程__2x－7(2x＋4)＝8__，解得__x＝－3__，再把求得的值代入③中，求得__y＝－2__，从而得到原方程组的解为____．
4．用代入法解方程组最简单的方法是把方程__①__用含__y__的式子表示出__x__，并代入__②__．
5．方程组中x的系数特点是__相同__，方程组中y的系数特点是__互为相反数__，这两个方程组用__加减__法解较简便．
6．方程组若用加减消元法解，可将方程①变形为__3x－3y＝9__③，这时方程②与③相__加__，消去未知数__y__，得到一元一次方程．
三、合作探究　达成目标
●　　选用适当的方法解二元一次方程组
活动1：解下列方程组：(1)；　(2).
分析：方程组中未知数的系数有小数怎么办？


展示点评：题(1)中，方程①未知数y的系数为1，因此选用代入消元法较为简单；题(2)中，未知数y的系数是互为相反数，因此选用加减消元法较为简单．
小组讨论：解二元一次方程组有哪些方法？你是如何根据方程组的特点，选择方程组的解法的？
反思小结：任何一个二元一次方程组都可用代入法和加减法解．当方程组中有某一未知数的系数为1或－1时，将该方程变形使用代入消元法解比较简便；当方程组中有某一个未知数的系数相等或相反时，用加减法解比较简便；当方程组较复杂时，应先化简，再根据特点选择方法．
针对训练
1．解方程组：
解：
2．解方程组：
解：
3．至少运用两种方法解方程组：

解：
四、总结梳理　内化目标
1．异同：代入法和加减法．
2．数学思想．
五、达标检测　反思目标
1．已知方程组的解是则m＝__2__，n＝__3__．
2．已知则x－y的值是__1__．
3．解下列方程组：
(1)(2)　(3)
解：(1)　　　(2)　　　(3)
4．王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元，种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？
解：设种茄子x亩，种西红柿y亩，
则解得　10×2400＋15×2600＝63000(元)．
答：王大伯一共获纯利63000元．
5．若方程组的解满足x＋y＝12，求m的值．
解：m＝14.

(一)上交作业　教材第98页第5、8题．
(二)课后作业见学生用书．

本节是对代入消元法和加减消元法这两种解二元一次方程组方法的综合运用的学习，让学生能够根据方程特点来确定运用哪种消元法来解，提高了学生的综合知识运用能力和判断力．