人教版七年级数学下册6.1平方根 教案（2课时）
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学下册6.1平方根 教案（2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 76.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-14 23:26:19 | ||
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文档简介
第六章 实 数
6．1 平方根
第1课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性．
2．会求一些数的算术平方根．
3．会用有理数估计无理数的大致范围．
算术平方根的概念与求解．
求一个非负数的算术平方根．
一、创设情景 明确目标
学校要进行美术展，小红想裁一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块画布的边长应取多少分米呢？为什么？
如果知道了正方形的面积，如何求它的边长？
一个正方形的面积是4，它的边长是多少？
一个正方形的面积是9，它的边长是多少？
一个正方形的面积是16，它的边长是多少？
二、自主学习 指向目标
自学教材第40页至44页，请完成学生用书部分．
1．一个正方形的面积是16，那么这个正方形的边长是__4__.
2．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个__正数x__叫做a的__算术平方根__．a的算术平方根，记为____，读做“__根号a__”，a叫做__被开方数__．例如：∵42＝16，∴16的算术平方根是__4__，即＝__4__.
3.≈__1.414__，≈__1.732__，≈__2.236__．
三、合作探究 达成目标
●一 算术平方根的概念
活动1：
阅读教材第40页，思考下列问题：
(2)填写教材中的表格，然后说出表中已知什么，求什么？
(2)什么叫算术平方根？请举出几个例子．
(3)如何表示一个非负数的算术平方根？算术平方根各部分的名称叫什么？0的算术平方根是多少？
(4)你能根据等式：x2＝144，说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
(5)负数有没有算术平方根？为什么？算术平方根中被开方数的取值范围是多少？
展示点评：一般地，如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”，a叫做被开方数．
小组讨论：负数是否有算术平方根？被开方数a的取值范围是什么？
反思小结：由于任何数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根．在式子中，被开方数a的取值范围是a≥0，即只有正数和0才有算术平方根．根据算术平方根意义可知，具有非负性，即≥0，规定0的算术平方根是0．
针对训练
1．判断：
(1)5是25的算术平方根；( √ )
(2)－6是36的算术平方根；( × )
(3)0的算术平方根是0；( √ )
(4)0.01是0.1的算术平方根；( × )
(5)－5是－25的算术平方根．( × )
●二 求一个非负数的算术平方根
活动2：求下列各数的算术平方根：
(1)100；(2)；(3)0.0001.
展示点评：(1)＝10；(2)＝；(3)＝0.01.
小组讨论：从例题的解答中可以看出：被开方数与它对应的算术平方根有什么关系？
反思小结：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
针对训练
2．3的算术平方根是____，25的算术平方根是__5__.
3.的算术平方根是( C )
A．6 B．±6 C. D．±
4．求下列各数的算术平方根：
(1)625；(2)；(3)(－2)4.
解：(1)25 (2) (3)4
●三 估 算
活动3：小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
展示点评：由题意，可求得长方形纸片的长为3cm，宽为2cm，3>21.所以小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
小组讨论：如何估算一个正数的算术平方根在哪两个整数之间？
反思小结：对一个正数的算术平方根的估算，通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较．
针对训练
5．估计的值( C )
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
6．比较大小：
__＜__12.(填“>”“<”或“＝”)
四、总结梳理 内化目标
1．算术平方根的定义、表示方法和性质．
2．求一个非负数的算术平方根．
3．估算．
五、达标检测 反思目标
1．3的算术平方根是____，169的算术平方根是__13__．
2．若＝2，则x＝__4__；若4a＋1的算术平方根是3，则a＝__2__．
3．下列计算正确的是( D )
A.＝±1.2 B.＝ C.＝－2 D.＝
4．下列各式中，正确的是( B )
A．2＜＜3 B．3＜＜4 C．4＜＜5 D．14＜＜16
5．下列说法中正确的是( C )
A．4是8的算术平方根 B．－a没有算术平方根
C.是5的算术平方根 D．(－2)2的算术平方根是－2
6．求下列各数的算术平方根：
(1) (2)36 (3)(－3.9)2 (4)0.09
解：(1) (2)6 (3)3.9 (4)0.3.
(一)上交作业 教材第47页第1、2、5、6题．
(二)课后作业见学生用书．
算术平方根是平方根中的一种，本节课中让学生记住x2＝a，x是非负数时，x才能叫做a的算术平方根，记作，读作根号a.重难点是让学生理解并掌握和a的非负性．
第2课时 平方根
1．了解平方根的概念，掌握平方根的特征．
2．能利用平方与开平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．
平方根的概念．
平方根与算术平方根的区别与联系．
一、创设情景 明确目标
什么数的平方是49？平方得81的数有几个？分别是什么？
一对互为相反数的平方有什么关系？
二、自主学习 指向目标
自学教材第44页至46页，请完成学习用书部分．
1．平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的__平方根__(或__二次方根__)．即如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__．
2．一个非负数a的平方根记为__±__，读做__正负根号a__，求一个数平方根的运算叫__开平方__．
例如：∵(±3)2＝9，∴9的平方根是__±3__，记做__±＝±3__.
三、合作探究 达成目标
●一 平方根的概念
活动1：
阅读教材第44至45页，思考下列问题：
(1)填写第45页中的表格，说一说平方根的概念．
(2)请举例说明什么是一个非负数的平方根．
(3)什么叫开平方？
(4)举例说明平方运算和开平方运算有什么关系？用什么方法求一个非负数的平方根？
(5)负数有没有平方根？为什么？
(6)一个非负数的平方根和它的算术平方根有什么关系？
展示点评：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．
小组讨论：平方根与算术平方根之间有什么区别和联系？
反思小结：①二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那一个；②存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根；③0的平方根和算术平方根都是0．
针对训练
1．下面说法中正确的有( A )
①0的平方根是0；②1的平方根是1；③(－1)2的平方根是－1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．下列各式是否有意义：
(1)±；(2)；(3)；(4)－.
解：(1)有 (2)无意义 (3)有 (4)有
●二 求一个非负数的平方根
活动2：求下列各数的平方根：
(1)100；(2)；(3)0.25.
展示点评：(1)±＝±10；(2)±＝±；(3)±＝±0.5.
思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
小组讨论：用什么符号表示正数的两个平方根？符号只有当a≥0时有意义，a＜0时无意义．这是为什么呢？
反思小结：正数的平方根可以用符号“±”表示，读做“正、负根号a”．任何一个数的平方都是非负数，所以符号只有当a≥0时才有意义．
针对训练
3．(中考·盐城)4的平方根是( C )
A．2 B．16 C．±2 D．±16
4．一个数的平方根就是这个数的算术平方根，这个数是( B )
A．1 B．0 C．－1 D．1或0
5．若－是m的一个平方根，则m＋7的平方根是__±3__.
6．求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)0.81；(3)；(4)0；(5).
解：(1)±11，11 (2)±0.9，0.9 (3)±， (4)0，0 (5)±3，3
●三 开平方的运用
活动3：求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±.
展示点评：(1)＝6；(2)－＝－0.9；(3)±＝±.
小组讨论：如果知道是一个数的算术平方根就可以立即写出它的负的平方根，为什么？
反思小结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；其中正的平方根即为它的算术平方根，由此就可以写出它的负的平方根．开平方和平方互为逆运算，根据这种互逆关系由平方根或算术平方根可以求被开方数，反过来由被开方数可以求平方根或算术平方根．
针对训练
7．2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
解：由题意得： 解得，∴a＋2b＝9，9的平方根是±3
8．某建筑工地用一根钢筋围成面积是25m2的正方形后还剩下7m，你能求出这根钢筋的长吗？
解：27m
四、总结梳理 内化目标
1．概念：平方根．
2．方法：如何求一个非负数的平方根．
3．平方根与算术平方根的区别与联系？
五、达标检测 反思目标
1．|－9|的平方根是__±3__，它的算术平方根是__3__；(－4)2的平方根是__±4__，它的算术平方根是__4__．
2．(1)__64__的平方根是8和－8，__64__的算术平方根是8；
(2)____的平方根是和－，____的算术平方根是.
3．判断题：对的画“√”，错的画“×”．
(1)0的平方根是0；( √ )
(2)－25的平方根是－5；( × )
(3)－5的平方是25；( √ )
(4)5是25的一个平方根；( √ )
(5)25的平方根是5；( × )
(6)25的算术平方根是5；( √ )
(7)52的平方根是±5；( √ )
(8)(－5)2的算术平方根是－5.( × )
4．求下列各数的平方根
(1)；(2)0；(3)64；(4)(－1)2.
解：(1)±；(2)0；(3)±8；(4)±.
5．说出下列各式的意义，并求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±；(4).
解：(1)13；(2)－0.8；(3)±；(4)5.
6．如果一个正数的两个平方根为a＋1和2a－7，请你求出这个正数．
解：由题意可得：a＋1＋2a－7＝0，解得：a＝2.所以a＋1＝3，则这个正数是9.
(一)上交作业 教材第47至48页第3、4、7、8题．
(二)课后作业见学生用书．
平方根是算术平方根知识的进一步深化，让学生们充分地认识到一个正数有两个平方根，其中一个是算术平方根，而且它们是相反数，0的平方根是0，本节的重难点是开平方的掌握与应用，它与平方互为逆运算．
6．1 平方根
第1课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性．
2．会求一些数的算术平方根．
3．会用有理数估计无理数的大致范围．
算术平方根的概念与求解．
求一个非负数的算术平方根．
一、创设情景 明确目标
学校要进行美术展，小红想裁一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块画布的边长应取多少分米呢？为什么？
如果知道了正方形的面积，如何求它的边长？
一个正方形的面积是4，它的边长是多少？
一个正方形的面积是9，它的边长是多少？
一个正方形的面积是16，它的边长是多少？
二、自主学习 指向目标
自学教材第40页至44页，请完成学生用书部分．
1．一个正方形的面积是16，那么这个正方形的边长是__4__.
2．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个__正数x__叫做a的__算术平方根__．a的算术平方根，记为____，读做“__根号a__”，a叫做__被开方数__．例如：∵42＝16，∴16的算术平方根是__4__，即＝__4__.
3.≈__1.414__，≈__1.732__，≈__2.236__．
三、合作探究 达成目标
●一 算术平方根的概念
活动1：
阅读教材第40页，思考下列问题：
(2)填写教材中的表格，然后说出表中已知什么，求什么？
(2)什么叫算术平方根？请举出几个例子．
(3)如何表示一个非负数的算术平方根？算术平方根各部分的名称叫什么？0的算术平方根是多少？
(4)你能根据等式：x2＝144，说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
(5)负数有没有算术平方根？为什么？算术平方根中被开方数的取值范围是多少？
展示点评：一般地，如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”，a叫做被开方数．
小组讨论：负数是否有算术平方根？被开方数a的取值范围是什么？
反思小结：由于任何数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根．在式子中，被开方数a的取值范围是a≥0，即只有正数和0才有算术平方根．根据算术平方根意义可知，具有非负性，即≥0，规定0的算术平方根是0．
针对训练
1．判断：
(1)5是25的算术平方根；( √ )
(2)－6是36的算术平方根；( × )
(3)0的算术平方根是0；( √ )
(4)0.01是0.1的算术平方根；( × )
(5)－5是－25的算术平方根．( × )
●二 求一个非负数的算术平方根
活动2：求下列各数的算术平方根：
(1)100；(2)；(3)0.0001.
展示点评：(1)＝10；(2)＝；(3)＝0.01.
小组讨论：从例题的解答中可以看出：被开方数与它对应的算术平方根有什么关系？
反思小结：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
针对训练
2．3的算术平方根是____，25的算术平方根是__5__.
3.的算术平方根是( C )
A．6 B．±6 C. D．±
4．求下列各数的算术平方根：
(1)625；(2)；(3)(－2)4.
解：(1)25 (2) (3)4
●三 估 算
活动3：小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
展示点评：由题意，可求得长方形纸片的长为3cm，宽为2cm，3>21.所以小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
小组讨论：如何估算一个正数的算术平方根在哪两个整数之间？
反思小结：对一个正数的算术平方根的估算，通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较．
针对训练
5．估计的值( C )
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
6．比较大小：
__＜__12.(填“>”“<”或“＝”)
四、总结梳理 内化目标
1．算术平方根的定义、表示方法和性质．
2．求一个非负数的算术平方根．
3．估算．
五、达标检测 反思目标
1．3的算术平方根是____，169的算术平方根是__13__．
2．若＝2，则x＝__4__；若4a＋1的算术平方根是3，则a＝__2__．
3．下列计算正确的是( D )
A.＝±1.2 B.＝ C.＝－2 D.＝
4．下列各式中，正确的是( B )
A．2＜＜3 B．3＜＜4 C．4＜＜5 D．14＜＜16
5．下列说法中正确的是( C )
A．4是8的算术平方根 B．－a没有算术平方根
C.是5的算术平方根 D．(－2)2的算术平方根是－2
6．求下列各数的算术平方根：
(1) (2)36 (3)(－3.9)2 (4)0.09
解：(1) (2)6 (3)3.9 (4)0.3.
(一)上交作业 教材第47页第1、2、5、6题．
(二)课后作业见学生用书．
算术平方根是平方根中的一种，本节课中让学生记住x2＝a，x是非负数时，x才能叫做a的算术平方根，记作，读作根号a.重难点是让学生理解并掌握和a的非负性．
第2课时 平方根
1．了解平方根的概念，掌握平方根的特征．
2．能利用平方与开平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．
平方根的概念．
平方根与算术平方根的区别与联系．
一、创设情景 明确目标
什么数的平方是49？平方得81的数有几个？分别是什么？
一对互为相反数的平方有什么关系？
二、自主学习 指向目标
自学教材第44页至46页，请完成学习用书部分．
1．平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的__平方根__(或__二次方根__)．即如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__．
2．一个非负数a的平方根记为__±__，读做__正负根号a__，求一个数平方根的运算叫__开平方__．
例如：∵(±3)2＝9，∴9的平方根是__±3__，记做__±＝±3__.
三、合作探究 达成目标
●一 平方根的概念
活动1：
阅读教材第44至45页，思考下列问题：
(1)填写第45页中的表格，说一说平方根的概念．
(2)请举例说明什么是一个非负数的平方根．
(3)什么叫开平方？
(4)举例说明平方运算和开平方运算有什么关系？用什么方法求一个非负数的平方根？
(5)负数有没有平方根？为什么？
(6)一个非负数的平方根和它的算术平方根有什么关系？
展示点评：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．
小组讨论：平方根与算术平方根之间有什么区别和联系？
反思小结：①二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那一个；②存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根；③0的平方根和算术平方根都是0．
针对训练
1．下面说法中正确的有( A )
①0的平方根是0；②1的平方根是1；③(－1)2的平方根是－1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．下列各式是否有意义：
(1)±；(2)；(3)；(4)－.
解：(1)有 (2)无意义 (3)有 (4)有
●二 求一个非负数的平方根
活动2：求下列各数的平方根：
(1)100；(2)；(3)0.25.
展示点评：(1)±＝±10；(2)±＝±；(3)±＝±0.5.
思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
小组讨论：用什么符号表示正数的两个平方根？符号只有当a≥0时有意义，a＜0时无意义．这是为什么呢？
反思小结：正数的平方根可以用符号“±”表示，读做“正、负根号a”．任何一个数的平方都是非负数，所以符号只有当a≥0时才有意义．
针对训练
3．(中考·盐城)4的平方根是( C )
A．2 B．16 C．±2 D．±16
4．一个数的平方根就是这个数的算术平方根，这个数是( B )
A．1 B．0 C．－1 D．1或0
5．若－是m的一个平方根，则m＋7的平方根是__±3__.
6．求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)0.81；(3)；(4)0；(5).
解：(1)±11，11 (2)±0.9，0.9 (3)±， (4)0，0 (5)±3，3
●三 开平方的运用
活动3：求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±.
展示点评：(1)＝6；(2)－＝－0.9；(3)±＝±.
小组讨论：如果知道是一个数的算术平方根就可以立即写出它的负的平方根，为什么？
反思小结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；其中正的平方根即为它的算术平方根，由此就可以写出它的负的平方根．开平方和平方互为逆运算，根据这种互逆关系由平方根或算术平方根可以求被开方数，反过来由被开方数可以求平方根或算术平方根．
针对训练
7．2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
解：由题意得： 解得，∴a＋2b＝9，9的平方根是±3
8．某建筑工地用一根钢筋围成面积是25m2的正方形后还剩下7m，你能求出这根钢筋的长吗？
解：27m
四、总结梳理 内化目标
1．概念：平方根．
2．方法：如何求一个非负数的平方根．
3．平方根与算术平方根的区别与联系？
五、达标检测 反思目标
1．|－9|的平方根是__±3__，它的算术平方根是__3__；(－4)2的平方根是__±4__，它的算术平方根是__4__．
2．(1)__64__的平方根是8和－8，__64__的算术平方根是8；
(2)____的平方根是和－，____的算术平方根是.
3．判断题：对的画“√”，错的画“×”．
(1)0的平方根是0；( √ )
(2)－25的平方根是－5；( × )
(3)－5的平方是25；( √ )
(4)5是25的一个平方根；( √ )
(5)25的平方根是5；( × )
(6)25的算术平方根是5；( √ )
(7)52的平方根是±5；( √ )
(8)(－5)2的算术平方根是－5.( × )
4．求下列各数的平方根
(1)；(2)0；(3)64；(4)(－1)2.
解：(1)±；(2)0；(3)±8；(4)±.
5．说出下列各式的意义，并求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±；(4).
解：(1)13；(2)－0.8；(3)±；(4)5.
6．如果一个正数的两个平方根为a＋1和2a－7，请你求出这个正数．
解：由题意可得：a＋1＋2a－7＝0，解得：a＝2.所以a＋1＝3，则这个正数是9.
(一)上交作业 教材第47至48页第3、4、7、8题．
(二)课后作业见学生用书．
平方根是算术平方根知识的进一步深化，让学生们充分地认识到一个正数有两个平方根，其中一个是算术平方根，而且它们是相反数，0的平方根是0，本节的重难点是开平方的掌握与应用，它与平方互为逆运算．