人教版七年级数学下册5.1相交线 教案（4课时）

第五章　相交线与平行线
5．1　相交线
第1课时　相交线



1．理解邻补角，对顶角的概念，能找出图形中一个角的邻补角和对顶角；
2．掌握“对顶角相等”的性质．

对顶角的性质．

探索“对顶角相等”这一性质．



一、创设情景　明确目标
导入：教师出示剪刀和一张纸，演示剪纸的过程．
问题：请同学们看我手中的剪子，剪刀的两个把手之间的角发生了什么变化？剪刀张开的口又有什么变化？
二、自主学习　指向目标
自学教材第2至3页，请完成学生用书部分．
1．只有一条公共边，它们的另一边互为__反向延长线__，具有这种关系的两个角互为邻补角．
2．有一个公共__顶点__，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的__反向延长线__，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
3．邻补角__互补__；对顶角__相等__．
三、合作探究　达成目标
●一　邻补角和对顶角概念

活动1：
如图，直线AB、CD相交于点O，请观察图中的4个角，两两相配共组成几对角？各对角的位置关系如何？根据不同的位置怎么将它们分成两类？
展示点评：
(1)请根据观察完成下表：
两直线相交 分类 位置关系



(2)如果改变∠AOC的大小，会改变它与其他角的位置关系吗？(不会改变∠AOC与其他角的位置关系)
小组讨论：邻补角和对顶角有什么特殊的位置关系？从哪些要素进行判断？
反思小结：1.邻补角和对顶角是由两条直线相交构成的具有特殊位置关系的角，它们是成对出现的；2.在两直线相交的前提下，理解邻补角，注意：一有公共顶点，二有一条公共边；理解对顶角，注意：一有公共顶点，二无公共边．
针对训练
1．如图所示，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是( A )
A．∠2和∠3　　　　B．∠1和∠3　　　　C．∠1和∠4　　　　D．∠1和∠2
第1题图
　　　第2题图


2．如图所示，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是__∠2和∠4__．
●二　对顶角、邻补角的性质
活动2：


如图，直线AB、CD相交于点O，则∠1与∠2是什么角？它们的大小关系如何？∠1与∠3大小关系如何？请说明理由．


展示点评：如图：∵直线AB，CD相交于点O，∴∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°.∴∠1＝∠3.

例　　如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数．
思考：图中的∠2，∠3，∠4与∠1有什么关系？


变式：直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．





小组讨论：“对顶角相等”这一特质有哪些运用？
反思小结：判断两个角是否为对顶角，要看这两个角是否是两条直线相交得到的，还要看是否符合两点要求，才能根据“对顶角相等”来解决与计算有关的问题．

针对训练
3．如图，∠1＝27°29′，则∠2＝__152°31′__，∠3＝__27°29′__．
4．如图，直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠AOC＋∠BOD＝100°，求∠AOD的度数．

(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°，求∠AOC的度数．
解：(1)∵∠AOC＋∠BOD＝100°，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD＝50°，
∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝130°.
(2)∵∠BOC－2∠AOC＝33°，∠BOC＋∠AOC＝180°，∴∠AOC＝49°.
四、总结梳理　内化目标
回顾本节课学习内容，请回答下列问题：
1．对顶角和邻补角各有什么特征？产生这两类角的前提是什么？
2．邻补角与补角有什么区别？
3．对顶角有什么性质？这个性质是怎么推导出来的？
3．两条直线相交形成的四个角中，有几对对顶角？几对邻补角？
五、达标检测　反思目标
判断题：
1．如果两个角有公共顶点和一条公共边，而且这两角互为补角，那么它们互为邻补角．(　×　)
2．两条直线相交，如果它们所成的邻补角相等，那么一对对顶角就互补．(　√　)
填空题：
3．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是__∠AOF__，∠COF的邻补角是__∠COE和∠DOF__，若∠AOC：∠AOE＝2：3，∠EOD＝130°，则∠BOC＝__160°__．
第3题图
　　　第4题图


4．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°，∠AOC＝30°，∠FOB＝90°，则∠EOF＝__150°__．

(一)上交作业　教材第7至8页第1、2、8题．
(二)课后作业见学生用书．

本节课学习了对顶角和邻补角的定义及性质，主要是通过两直线相交的位置关系引导出来的，学生们要结合图形的特点来判断对顶角和邻补角，在学习对顶角和邻补角的运用过程中激发学生对几何图形的兴趣，增强他们认识知识的能力．

第2课时　垂　线(一)



1．理解垂线的定义；
2．掌握垂线的性质并会应用；
3．会过一点画已知直线的垂线．

垂线的概念和性质．

理解垂线的性质，过一点画已知线段或射线的垂线．



一、创设情景　明确目标
上节课我们已经探讨了两条直线相交共形成四个角，在相交线模型中，固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，a、b所形成的角α也会发生变化，当b旋转到什么位置时两直线互相垂直？
二、自主学习　指向目标
自学教材第3至5页，请完成学生用书部分．
1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是__直角__时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的__垂线__，它们的交点叫做__垂足__．
2．过一点有且只有__一条__直线与已知直线垂直．
3．如果直线AB⊥CD于O，那么∠AOC＝__90°__．
三、合作探究　达成目标
●一　垂线的概念
活动1：
阅读教材第3页至第4页，思考下列问题：
(1)两条相交直线在什么情况下是垂直的？什么叫垂线？什么叫垂足？
(2)垂线是一条直线还是线段？
(3)请举出生活中垂直的例子．
(4)在数学中我们用什么符号表示两条直线互相垂直？
展示点评：
请用数学符号表示右图中垂直的推理过程．

∵∠AOD＝90°
∴______⊥______
(　　　　　　　　　　　)
或者是：∵AB⊥CD
∴∠AOD＝______°(　　　　　　　)

例　　如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD于O，∠AOE：∠COE＝1∶3，求∠BOD的度数．



变式：如图，直线AB、CD相交于点O，若AO平分∠COE，且∠BOD＝45°，判断OE与CD的位置关系，并说明理由．

小组讨论：两条直线垂直与相交是什么关系？
反思小结：两条直线相交所得四个角中有一个角是90°时，这两条直线垂直，反之也成立．垂线的定义有判定和性质的双重作用，即知直角得线垂直，知线垂直得直角．垂直是相交的一种特殊情况．
针对训练
1．判断以下两条直线是否垂直：
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个是直角．( 垂直 )
(2)两条直线相交所成的四个角相等．( 垂直 )
(3)两条直线相交，有一组邻补角相等．( 垂直 )
(4)两条直线相交，对顶角互补．( 垂直 )

2．如图，已知AB⊥CD，垂足为O，图中∠1与∠2的关系是( B )
A．∠1＋∠2＝180° B．∠1＋∠2＝90°
C．∠1＝∠2 D．无法确定
●二　垂线的性质
活动2：
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画几条？
(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
(3)经过直线l外一点B画l的垂点，这样的垂线能画几条？

展示点评：一条直线有无数条垂线，但经过一点(不论是点在直线上或是直线外)只能画一条已知直线的垂线．
小组讨论：过一点画已知直线的垂线有什么性质？
反思小结：在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．过一点画已知直线的垂线，应分清是过直线上一点，还是过直线外一点画已知直线的垂线．画线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．
针对训练
3．见教材第5页练习第2题．
4．画一条线段的垂线，垂足在( D )
A．这条线段上 B．这条线段的端点上
C．这条线段的延长线上 D．以上都可以
四、总结梳理　内化目标
回顾本节课学习内容，请回答下列问题：

1．谈谈你对垂线的认识．
2．垂线的性质是什么？为什么这一性质要加上前提“在同一平面内”？
五、达标检测　反思目标
1．如图，OA⊥OB，OD⊥OC，O为垂足，若∠AOC＝35°，则∠BOD＝__145°__．
第1题图
　　　第2题图
　　　第3题图


2．如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝2∠AOC，则∠BOD＝__60°__．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠EOD＝40°，∠BOC＝130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是__AB⊥OE__．
4．如图，直线AB，垂线OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系．



解：OD⊥OE


(一)上交作业　教材第8至9页第4、5、12题．
(二)课后作业见学生用书．

本节课学生主要学习了垂线的定义及其性质，在学习垂线定义的过程中掌握如何画好已知直线的垂线，以及垂直在相交线中的特殊地位．培养了学生动手实践的能力．



第3课时　垂　线(二)



1．理解点到直线的距离的概念；
2．掌握垂线段的性质并会应用；
3．会过一点画已知直线的垂线段．

“垂线段最短”的性质．

体会点到直线的距离的意义，能准确判断点到直线的距离．



一、创设情景　明确目标
1．上学期我们曾经学过什么最短的知识？
线段的性质：________________________________________________________________________.
2．思考教材第5页图5.1－8中提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
如果把小河看成是直线L，把要挖的渠道看成是一条线段，则该线段的一个端点自然是农田P，另一个端点就是直线L上的某个点．那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题？
二、自主学习　指向目标
自学教材第5至6页，请完成学生用书部分．
1．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__垂线段__最短，简单说成__垂线段最短__．
2．直线外一点到这条直线的__垂线段__的长度，叫做点到直线的距离．

3．如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则B到AC的距离是__4__，点A到BC的距离是__3__，点C到AB的距离是__`2.4__．
三、合作探究　达成目标
●一　垂线段的性质
活动1：
在硬纸板上固定木条L，L外有一点P，用一根可以转动的木条a一端固定在点P，使木条a与L相交，左右摆动木条a，会发现它们的交点A随之变化，线段PA长度也随之变化，观察：当PA最短时，直线a与L的位置关系如何？用三角尺检验一下．画图验证：
(1)画直线L，在L外取一点P；

(2)过P点画PO⊥L，垂足为O；
(3)点A1，A2，A3…在L上，连接PA1、PA2、PA3…；
(4)用度量法比较线段PO、PA1、PA2、PA3…的大小，得出线段________最小．
(5)应用：请举出一个生活中运用“垂线段最短”的实例．
展示点评：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
小组讨论：垂线和垂线段有什么区别和联系？
反思小结：垂线是直线，垂线段是线段，它是过直线外一点画这条直线的垂线的一部分，它的端点分别是直线外一点与垂足．
针对训练

1．如图，小河北边有一个村庄A，计划用水管将小河的水引进A村，请你帮助设计从小河的哪点处引水能使所用的水管最节省？


解：过点A作AB垂直于小河岸边，垂足为B，则点B就是取水点．

2．小丽从家到河边提水，为了节省时间，她选择了家与河岸垂直的路线，理由是__垂线段最短__．
●二　点到直线的距离
活动2：
学习教材第5至第6页内容，思考：
(1)什么叫“点到直线的距离”？
(2)对照教材第5页图5.1－9，回答线段PO、PA1、PA2、PA3、PA4…中，哪一条或几条线段的长度是点P到直线L的距离？
(3)请教材第5页图5.1－8中画出“最短渠道”的位置，若比例尺为1∶100000，试计算农田P到小河的距离有多远？
展示点评：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
小组讨论：垂线段与点到直线的距离有什么区别？
反思小结：1.距离是一个数量，垂线段是图形，二者有本质的区别，不能混为一谈.2.确定点到直线的距离时，要先找准点，定准直线，再看这点到这条直线的垂线段的长度，必要时可把图形分离开来．
针对训练
3．如图，线段AD、BE、CF分别是△ABC的三条高，其中线段AD的长度是( C )

A．点B到AC的距离 B．点C到AB的距离
C．点A到BC的距离 D．以上都不对
4．见教材第6页课后练习．
5．点P为直线l外一点，A、B、C为直线l上三点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则点P到直线l的距离为( D )
A．2 B．3 C．4 D．不大于2
★归纳反思：
解决最短路线问题，往往需要运用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”．
四、总结梳理　内化目标
回顾本节课学习内容，请回答下列问题：
1．本节课你学到了哪些知识或方法？
2．知识类比
(1)垂线段与垂线有何区别与联系？
(2)垂线段与线段有何区别与联系？
五、达标检测　反思目标
1．在下列语句中，正确的是( C )．
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条
C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离

2．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C、D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M、N的位置并说明理由．解：分别过点C、D画CM⊥AB于M，DN⊥AB于N.
理由：垂线段最短．
3．判断对错，并说明理由：

(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离．
(2)如图，线段AE是点A到直线BC的距离．
(3)如图，线段CD的长是点C到直线AB的距离．
解：(1)(2)(3)都错

4．如图，在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短．小明说垂线段最短，因此线段AD的长是点A到BF的距离，对小明的说法，你认为对吗？
解：不对，因为AD不一定与BF垂直．

5．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，则点B到AC的距离是__12cm

__，点A到BC的距离是__5cm__，点C到AB的距离是cm，AC＞CD的依据是__垂线段最短__．

(一)上交作业　教材第8至9页第6、7、10题
(二)课后作业见学生用书．

本节课让学生准确地认识垂线段的定义，在区别垂线与垂线段的两个定义的同时，分别理解了它们各自的作用和地位．掌握“最短路段”与“垂线段最短”之间的联系，让学生灵活掌握作图的方法与步骤．



第4课时　同位角、内错角、同旁内角



1．了解同位角、内错角、同旁内角的概念；
2．同位角、内错角、同旁内角的识别．

能在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角．

掌握同位角、内错角、同旁内角的特征，能正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角．


一、创设情景　明确目标

如图，将木条a，b与木条c钉在一起，木条在转动过程中，两个交点处共形成8个角，在不同顶点处各取一个角，则他们是对顶角吗？是邻补角吗？若都不是，那么它们是具有什么关系的角呢？
二、自主学习　指向目标
自学教材第6至7页，请完成学生用书部分．
1．两条直线被第三条直线所截，没有公共顶点的两个角的位置关系有__同位角__、__内错角__和__同旁内角__．

2．如图，∠1和∠2是直线__a__和__b__被直线__d__所截得的__内错角__；∠2和∠3是直线__c__和__d__被直线__b__所截得的__同位角__．
三、合作探究　达成目标
●一　同位角、内错角、同旁内角的概念
活动1：
(一)同位角

1．定义：如图，∠1和∠5，分别在被截两直线AB、CD的________，在截线EF的________．具有这种位置关系的一对角叫做同位角．
2．请你找出图中还有哪几对角构成同位角．
3．两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有________对同位角．
(二)内错角
1．定义：如上图，∠3和∠5，分别在被截两直线AB、CD的________，在截线EF的________．具有这种位置关系的一对角叫做内错角．
2．请你找出图中还有哪几对角构成内错角．
3．两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有________对内错角．
(三)同旁内角
1．定义：如图，∠3和∠6，分别在被截两直线AB、CD的________，在截线EF的________．具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
2．请你找出图中还有哪几对角构成同旁内角？
3．两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有________对同旁内角．
展示点评：产生同位角、内错角、同旁内角的前提条件是两条直线被第三条直线所截，它们的名称反映了两角之间的位置关系．
小组讨论：如何判断两个角是否具有同位角、内错角、同旁内角的关系？
反思小结：辨认同位角要注意位置上的两个“同”字，在截线的同旁，被截两直线的同方；辨认内错角要注意“内”“错”两字，在被截两直线之内，在截线的两旁，“错”是交错的意思；辨认同旁内角要注意“同”“内”两字，在截线的同旁，在被截两直线之内．
针对训练
1．教材第7页课后练习第1题．
2．下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( B )

●二　同位角、内错角、同旁内角的识别
活动2：
如图，直线DE、BC被直线AB所截．

(1)∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？
(2)如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
(3)这三组角从位置上各有什么特征？它们分别在两被截直线和截线的什么地方？若把图形分离出来，各形如哪个字母？
(4)∠2与∠4是具有什么位置关系的角？大小关系如何？
(5)∠3和∠4是具有什么位置的角？大小关系又如何？
展示点评：如果∠1＝∠4，则∠1＝∠2；如果∠4与∠3互补，那么∠1与∠3也互补．
小组讨论：同位角、内错角、同旁内角各有什么特征？
反思小结：同位角、内错角、同旁内角的特征：“三线八角”；同位角：“F”字形，“同旁同侧”；内错角：“Z”字形，“之间两侧”；同旁内角：“U”字形，“之间同侧”．
针对训练
3．教材第7页练习第2题．
4．如图，∠1和∠2是两条直线__AD、BC__被直线__BD__所截而成__内错__角，∠A和∠3是两条直线__AD、BC__被直线__AB__所截而成的__同位__角；∠C和∠ABC是两条直线__AB、CD__被直线__BC__所截而成的__同旁内__角．
eq \o(\s\up7(,第4题图)　　　　,第5题图)　　　　,第6题图)
5．如图，∠1和∠2是__同位__角，∠5和∠6是__内错__角，∠2和∠6是__同旁内__角．
6．如图，下列判断错误的是( C )
A．∠1与∠2是同旁内角　　　B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠5与∠8是同位角
四、总结梳理　内化目标
回顾本节课学习内容，请回答下列问题：
1．“三线八角”中，判断同位角、内错角、同旁内角的三个步骤：
一看角的顶点；二看角的两边；三看角的方位．这“三看”离不开主线“截线”的确定．
2．遇到较复杂的图形，可以从分解图形入手，把复杂图形化为若干个基本图形．
3．数学思想：化归思想，辩证思想．
五、达标检测　反思目标
1．如图，∠1与∠2是__内错__角，是直线__AB__和直线__BC__被直线__AC__所截而成的，∠1与∠3是__同旁内__角，是直线__AC__和直线__BC__被直线__AB__所截而形成的．
第1题图
　　　　第2题图
　　　　第3题图


2．如图，已知AB、CB被DG截于E、F两点，则∠1的同位角是__∠AED__，∠1的内错角是__∠BEF__，∠1的同旁内角是__∠AEF__，∠1的对顶角是__∠BFG__，∠1的邻补角是__∠EFB、∠CFG__．
3．如图，(1)∠1与∠2是__同位__角，是直线__AD__和直线__BE__被直线__BF__所截而形成的．
(2)∠5与∠6是直线__AD__和直线__BE__被直线__AC__所截而形成的__内错__角．
(3)∠2的同位角有__∠1、∠4和∠FAC__，∠2的同旁内角有__∠3、∠6和∠BAD__．

4．如图，∠1与∠2，∠3与∠4，∠1与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的什么角？
解：∠1与∠2是由DE，BC被AB所截得的同位角，∠3与∠4是由AB，AC被DE所截得的同旁内角，∠1与∠4是由AB，AC被DE所截得的内错角．

(一)上交作业　教材第9页第11、13题．
(二)课后作业见学生用书．

本节课通过画两条直线被第三条直线所截引出了“同位角、内错角、同旁内角”，让学生根据角的位置特征来判断它们分别是“同位角、内错角还是同旁内角”，然后让学生从单一的图形到复杂的组合图形中找出三种角，而且能准确地说出是由那两条直线被哪条直线所截而形成的．